精细紧化 Prym 簇的 Fourier–Mukai 变换
Fourier-Mukai transform for fine compactified Prym varieties
AI总结：
本文针对由平面奇异谱曲线定义的紧化 Prym 簇构造 Fourier–Mukai 变换，建立其与等变导出范畴的等价，从而得到稠密一类奇异谱曲线上 SL(n,C) 与 PGL(n,C) Hitchin 纤维的导出等价。
摘要：
考虑由一条约化、射影、平面曲线 $C$ 到光滑射影曲线 $X$ 的有限覆盖 $\beta:C\to X$。与 $C$ 上两个一般极化 $q$ 和 $q'$ 相关联，可以构造相应的紧化 Prym 簇 $\overline{\mathrm{P}}_\beta(q)$ 与 $\overline{\mathrm{P}}_\beta(q')$。设 $\Gamma$ 为其挠阶与 $\beta$ 的次数相同的线丛所组成的群。本文在 $\overline{\mathrm{P}}_\beta(q)$ 的导出范畴与 $\overline{\mathrm{P}}_\beta(q')$ 的 $\Gamma$-等变导出范畴之间构造了一个 Fourier–Mukai 变换。因此，对于一类稠密的奇异谱曲线，我们得到了 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin 纤维与其相关的 $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin 纤维之间的导出等价。我们的工作进而推广了由 Arinkin 以及 Melo–Rapagnetta–Viviani 所构造的 Fourier–Mukai 变换；该变换对应于这类奇异谱曲线中 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin 纤维的自对偶性。
英文摘要：
Consider a finite covering $β: C \to X$ of a smooth projective curve $X$ by a reduced, projective, planar curve $C$. Associated to two general polarizations on $C$, $q$ and $q'$, one can construct the corresponding compactified Prym varieties $\overline{\mathrm{P}}_β(q)$ and $\overline{\mathrm{P}}_β(q')$. Consider $Γ$ to be the group of line bundles whose torsion coincides with the order of $β$. In this article we construct a Fourier-Mukai transform between the derived categories of $\overline{\mathrm{P}}_β(q)$ and the $Γ$-equivariant derived category of $\overline{\mathrm{P}}_β(q')$. Hence, we obtain a derived equivalence between the $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin fibre and its associated $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin fibre for a dense class of singular spectral curves. Our work then provides the extension of the Fourier-Mukai transform constructed by Arinkin and Melo-Rapagnetta-Viviani, which corresponds to autoduality of $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$-Hitchin fibres in this class of singular spectral curves.
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