Prescription of Q-curvature on closed Riemannian manifolds
本文证明了：给定维数大于4且具有正Paneitz不变量的闭光滑流形上的任意光滑正函数f，M上存在一个度量使得$Q_g$ = f.
2010-03-29 math.AP math.DG
Q curvature on a class of manifolds with dimension at least 5
对于具有正Yamabe不变量、正Q曲率且维数至少为5的光滑紧致黎曼流形，我们证明了具有常Q曲率的共形度量的存在性.我们的方法是基于一个新的功能，涉及Paneitz算子的极值问题的研究。
2015-10-05 math.AP math.DG
Nodal solutions to Paneitz-type equations
该研究在带恰当等参函数的闭黎曼流形上，针对Paneitz型四阶椭圆方程，通过先建立正f-不变解的C0估计、再构造任意大能量山路解的方法，证明了当非线性指标满足1<q<q_f时方程存在无穷多f-不变结点解。
2024-03-13 math.AP math.DG
Lower bounds for the critical CR GJMS operator
University of Tsukuba（筑波大学）
本文在闭伪厄米流形上建立临界CR GJMS算子的下界，利用海森堡微积分和平方根构造，证明三维CR Paneitz算子有下界，并揭示Rossi球上该算子负特征值以零为唯一聚点。
2026-09-23 math.AP math.CV math.DG
Extrinsic Paneitz operators and $Q$-curvatures for hypersurfaces
对于黎曼流形$X$的任何超曲面$M$，最近的工作引入了外在共形拉普拉斯算子和外在$Q$ -曲率的概念。在这里，我们推导出显式公式的外在版本${\bf P}_4$的Paneitz运营商和相应的外在四阶$Q$曲率${\bf Q}_4$一般尺寸。这个结果涉及到嵌入$M^4 \hookrightarrow X^5$（定义在Weyl张量和无迹第二基本形式中）的一系列明显的局部共形不变量和非平凡的局部共形不变量$\mathcal{C}$。反过来，我们将$\mathcal{C}$确定为两个局部共形不变量$J_1$和$J_2$的线性组合。此外，$J_1$和$J_2$的线性组合可以用嵌入$M \hookrightarrow X$的明显的局部共形不变量来表示。这最终将${\bf Q}_4$结构的非平凡部分简化为非平凡不变式$J_1$。对于闭的$M^4 \hookrightarrow {\mathbb R}^5$，我们将$J_i$的积分与Guven和Graham-Reichert的泛函联系起来.此外，在一般背景下，我们建立了超曲面$M^4 \hookrightarrow X^5$的Graham-Reichert泛函的一个E-Schwimmer型分解.在这种情况下，我们发现一个进一步的局部共形不变$J_3$。最后，我们得到了一个显式公式的奇异Yamabe能量的封闭$M^4 \hookrightarrow …
2022-10-08 hep-th math.DG
Embeddability for Three-Dimensional Cauchy-Riemann Manifolds and CR Yamabe Invariants
设M^3是闭CR 3-流形.本文导出了Kohn-Laplacian的一个Bochner公式，其中伪厄米挠率不起作用。通过这个公式，我们证明了当CR Paneitz算子是非负的且Webster曲率为正时，Kohn-Laplacian算子的非零特征值由一个正的常数下有界.我们对非零特征值的下界是很精确的，并且在S^3上得到。我们的下界的一个推论是：所有具有非负CR Paneitz算子和正CR Yamabe常数的紧致CR 3-流形都是可嵌入的. CR Paneitz算子的非负性和CR Yamabe常数的正性都是CR不变条件，并且不依赖于接触形式的共形变化。此外，我们证明了在上述可嵌入性的充分条件下，嵌入在Burns和Epstein意义下是稳定的。我们还表明，对于Rossi例子的非嵌入性，CR Paneitz算子是负的。对于接近$S^3$上标准结构的CR结构，我们证明了CR Paneitz算子在关于$S^3$上标准CR结构的多重调和函数空间上是正的.
2010-10-25 math.AP math.CV math.DG
Multiplicity results for constant Q-curvature conformal metrics
本文证明闭流形上次临界Paneitz-Branson方程至少存在Cat(M)个正解，进而得出正爱因斯坦流形乘积共形类中常数Q-曲率度量的多重性。
2023-06-23 math.AP math.DG
$C_0$-positivity and a classification of closed three-dimensional CR torsion solitons
闭CR 3-流形有$C_{0}$ -正的伪厄米曲率，如果对任何$0\neq X\in T_{1,0}(M)$都有$(W+C_{0}Tor)(X,X)>0$.我们发现了闭CR 3-流形具有$C_{0}$ -正伪厄米曲率的一个障碍.当$C_{0}=1$和势函数位于Paneitz算子的核中时，我们根据$C_{0}$ -正性和$C_{0}$ -负性对封闭的三维CR Yamabe孤子进行了分类.此外，我们还证明了任何封闭的三维CR扭孤子必是标准的Sasakian空间型。最后，我们从伪Einstein接触形式出发，讨论了$C_{0}$ -正性沿CR挠流的持续性。
2019-02-28 math.DG
The uniqueness of Poincaré type extremal Kähler metric
本文在闭凯勒流形的光滑除子上研究庞加莱型极值凯勒度量，在自同构群平凡条件下证明其在保持除子的全纯变换下唯一，从而将 Berman-Berndtson 的唯一性结果推广到完备非紧流形。
2025-04-11 math.AP math.DG
Nonexistence of extremals for an inequality of Adimurthi-Druet on a closed Riemann surface
在Mancini-Thizy [28]的基础上，得到了Adimurthi-Druet [1]的一个不等式在闭Riemann曲面$(Σ,g)$上的极值不存在性.如果$λ_1(Σ)$是Laplace-Beltrami算子在零均值条件下的第一特征值，则存在正实数$α^\ast<λ_1(Σ)$，使得对于所有的$α\in (α^\ast,λ_1(Σ))$，上确界$$\sup_{u\in W^{1,2}(Σ,g),\,\int_Σudv_g=0,\,\|\nabla_gu\|_2\leq 1}\int_Σ\exp(4πu^2(1+α\|u\|_2^2))dv_g$$不能由任何具有$\int_Σudv_g=0$和$\|\nabla_gu\|_2\leq 1$的$u\in W^{1,2}(Σ,g)$得到，其中$W^{1,2}(Σ,g)$表示通常的Sobolev空间，$\|\cdot\|_2=(\int_Σ|\cdot|^2dv_g)^{1/2}$表示$L^2(Σ,g)$ -范数.这补充了我们在[39]中的结果。
2018-12-14 math.AP math.DG
Pseudo-Einstein and Q-flat metrics with eigenvalue estimates on CR-hypersurfaces
设$M^{2n-1}$是完备Stein流形$V^{2n}$中有界强伪凸区域$Ω$的光滑边界.则（1）对于$n \ge 3$，$M^{2n-1}$允许伪类素度量;（2）对于$n \ge 2$，$M^{2n-1}$允许CR Q曲率为零的Fittman度量;（3）对于紧致严格伪凸CR可嵌入3-流形$M^3$，它的CR Paneitz算子$P$是闭算子.
2007-10-15 math.CV math.DG
Branson's Q-curvature in Riemannian and Spin Geometry
在四维闭黎曼流形上，我们给出了Yamabe算子第一特征值的平方关于全Branson Q曲率的一个下界.因此，如果流形是自旋的，我们将狄拉克算子的第一本征值与全布兰森Q曲率联系起来。在一个封闭的n维流形$n\ge 5$上，我们通过第一特征值比较了三个基本的共形协变算子：Branson-Paneitz算子、Yamabe算子和Dirac算子（如果流形是自旋的）。平等案件也有特点。
2008-02-06 math.DG
Global existence and convergence for the CR Q-curvature flow in a closed strictly pseudoconvex CR 3-manifold
本文证明了长开猜想的部分答案：任何闭的可嵌入严格伪凸CR $3$ -流形都有CR $Q$ -曲率为零的切触形式$θ$.更准确地说，我们变形的接触形式根据CR模拟$Q$ %曲率流在一个封闭的严格伪凸CR $3$ -流形$(M,\ J,[θ_{0}])$消失的第一陈类$c_{1}(T_{1,0}M)$。假设$M$是可嵌入的，且CR Paneitz算子$P_{0}$是非负的，其核由CR多重调和函数组成.证明了CR $Q$ -曲率流的解在$M\times \lbrack 0,\infty ).$上始终存在且光滑渐近收敛.从而在第一类为零且挠为零的闭严格伪凸CR $3$ -流形中证实了该猜想.
2019-07-05 math.CV math.DG
Locally extremal geodesic loops on Riemannian manifold
本文证明了黎曼流形中任何局部极值非自共轭测地线环路都是闭测地线。因此，任何完备的不可收缩的黎曼流形，如果其内射半径沿发散序列发散，且没有与其自身共轭的点，则具有极小化的闭测地线。
2017-09-22 math.DG
The Yamabe problem for Q-curvature
本文证明了在一般条件下，在维数大于4的光滑闭黎曼流形上，存在一个度量在任意度量的共形类中，使得该度量的$Q$ -曲率为常数.解的存在性是通过变分方法，二阶Sobolev不等式，和$W^{2,2}$ blow-up理论的Hebey和罗伯特的组合。正的解决方案是从一个新的论点证明这里的第一次，是植根于保形协方差属性的Paneitz-Branson运营商和积极的半定性的二阶导数的$C^2$功能在局部极小值。
2012-01-31 math.AP math.DG
A nonlocal $\mathbf Q$-curvature flow on a class of closed manifolds of dimension $\mathbf{n \geq 5}$
在本文中，我们采用了一个受Gursky-Malchiodi的工作启发的非局部\cite{gur_mal}-曲率流来解决一类闭流形上的$Q$ -曲率问题：对于$n \geq 5$，设$(M^n,g_0)$是一个光滑的封闭流形，它不共形地与标准球面同构，满足Gursky-Malchiodi的半正性假设：标量曲率$R_{g_0}>0$和$Q_{g_0} \geq 0$不为零或Hang-Yang的：Yamabe常数$Y(g_0)>0$、Paneitz-Sobolev常数$q(g_0)>0$和$Q_{g_0} \geq 0$不为零。设$f$是$M^n$上的光滑正函数，$x_0$是$f$的某个极大点。假设（a）$n=5,6,7$或$(M^n,g_0)$是局部共形平坦的;或（b）$n \geq 8$，在$x_0$处的Weyl张量非零。此外，假设$f$的所有偏导数在$x_0$处消失，直到$n-4$阶，则存在$g_0$的共形度量$g$，其$Q$ -曲率$Q_g$等于$f$。这一结果推广了Escobar-Schoen的工作[Invent. 1986]关于正数量曲率的局部共形平坦流形上的规定数量曲率问题。
2015-04-02 math.AP math.DG
On a new functional for extremal metrics of the conformal laplacian in high dimension
本文引入了一个新的泛函，用于刻画维数至少为3的闭流形M上共形拉普拉斯算子的共形谱。对于这个新的功能，我们提供了Korevaar型的结果。本文的主体涉及的情况下，领域，但一节是专门用于更一般的闭流形。
2020-10-22 math.DG
Locally Extremal Timelike Geodesic Loops on Lorentzian Manifolds
闭测地线存在的条件是黎曼几何中一个经典的、研究得很多的课题，有许多优美的结果和强有力的技巧。然而，许多在这种情况下工作得很好的技术在洛伦兹几何中的效果要差得多。在这里重新讨论这个问题时，我们引入了类时测地线同伦的概念，这是对洛伦兹流形上类时回路的更标准的类时同伦（也称为$t$ -同伦）的测地线的限制。这个工具结合了一个局部的缩短/拉伸长度参数，提供了一些新的结果上存在封闭的类时测地线紧凑的洛伦兹流形。
2022-01-24 math.DG
Extremal Eigenvalues Of The Conformal Laplacian Under Sire-Xu Normalization
设$(M^n,g)$是维数为$n\ge 3$的闭黎曼流形.研究了$k$阶本征值泛函$\tilde g\in[g] \mapsto λ_k(L_{\tilde g})$在Sire-Xu提出的非体积归一化下的变分性质.我们讨论了在这种正规化下存在极值特征值的必要条件。并讨论了当$k=1$ .
2020-11-11 math.DG
Extremal metrics for spectral functions of Dirac operators in even and odd dimensions
设（M^n，g）是闭光滑黎曼自旋流形，用D表示其Atiyah-Singer-Dirac算子.本文研究了D^2的zeta函数和泛函行列式的黎曼度量的变化，证明了Morse指标在平稳度量上的有限性，以及在度量的一般变化（即不仅是共形变化）下在平稳度量上的局部极值性.在偶数维，这也是一个新的情况下，共形拉普拉斯算子，相关的稳定性算子的日志-多齐次伪微分型，我们证明了新的结果的独立利益，对这种运营商的频谱。我们用它来证明黎曼度量变分下的局部极值，在重要的例子中，当（M^n，g）是圆n-球面时，给出了布兰森关于极值模式的猜想的部分验证。因此，当维数分别为（4k，4k + 1，4k + 2，4k + 3）时，det（D^2）具有局部（max，max，min，min）。
2009-09-01 math.DG math.SP
Heat Flows for Extremal Kähler Metrics
设$(M,J,Ω)$是闭的Kähler型极化复流形.设$G$是$(M,J)$的自同构群的极大紧子群.在Kähler度量的空间上，这些度量在$G$下是不变的，并且代表上同调类$Ω$，我们定义了一个流方程，其临界点是极值度量，这些极值度量最小化数量曲率的$L^2$ -范数的平方。我们证明了由该流定义的度量空间中的动力系统不具有周期轨道，并且它的唯一不动点是极值度量。我们证明了该流的局部时存在性，并得出结论：若解的寿命有限，则其曲率张量的范数的上确界必然随着时间的逼近而爆破，同时我们还证明了极值孤子只存在于非紧情形，并且数量曲率的全纯势的范围是一个区间，与选择来表示$Ω$的度量无关。在适当的几何条件下，我们得到了整体解的存在性和收敛性。
2005-10-20 math.AP math.DG
Metric Perturbations of Extremal Surfaces
受全息纠缠熵的HRRT公式的启发，我们考虑以下问题：在扰动几何中，极值曲面的位置和表面积是多少？我们推导出明确的表达的位置和表面积的变化，从而提供了一个封闭的形式的正则能量的表达。我们发现，由一些小参数$λ$的扰动产生一个高度非局部的表达式，涉及多个积分的几何量在原始极值表面的表面积的扩展。
2019-04-01 gr-qc hep-th math.DG
The Sasaki Cone and Extremal Sasakian Metrics
研究了给定闭流形上Sasaki型CR结构的Sasaki锥.我们在锥上引入一个能量泛函，并利用它的临界点来选出强极值Reeb向量场.如果一个这样的向量场是极值集的成员，则表示它的Sasaki极值度量的数量曲率将在可以表示锥中的向量场的所有固定体积的Sasaki度量中具有最小的$L^2$ -范数。我们使用孤立的超曲面奇点的链接来产生Sasaki型流形的例子，其中许多是在5维，其Sasaki锥与极值集重合，以及极值集为空的例子。最后，我们证明了一个猜想Orlik关于扭转的同调群，这些联系持有的五维情况。
2007-12-31 math.DG
Deformation of extremal metrics, complex manifolds and the relative Futaki invariant
设（X，Ω）是一个闭极化复流形，g是X上表示Kähler类Ω的一个极值度量，G是等距群Isom（X，g）的一个紧连通子群.假设相对于G的Futaki不变量在g处是非退化的。考虑（X，Ω）\simeq（M_0，Θ_0）的极化复形变的光滑族$(M \to B)$，G的全纯作用在B上具有平凡作用.则对每个充分小的t \in B，存在M_t上的h^{1，1}（X）维极值Kaehler度量族，其Kähler类任意接近于Θ_t.我们应用这种变形理论表明，某些复杂的变形Mukai-Umemura 3倍承认凯勒-爱因斯坦度量。
2012-03-01 math.AG math.DG
Extremals of determinants for Laplacians on discrete surfaces
本文研究 Osgood-Phillips-Sarnak 定理的离散类比，证明离散 cotan 拉普拉斯算子的行列式在常离散高斯曲率度量处驻定，并通过数值计算发现这些驻点为极小值，与光滑情形相反。
2023-12-04 math.DG
An optimal Loewner-type systolic inequality and harmonic one-forms of constant norm
给出了闭黎曼流形X上一个新的最优收缩不等式，它推广了包括C.洛纳我们用X的Abel-Jacobi映射A_X的几何刻划了边界相等的情形。对于一个极值度量，映射A_X是一个具有极小纤维的黎曼浸入到一个平坦环面上。我们用A.- M. Bergé和J. Martinet。给定一个闭流形X，它允许一个浸入F到它的Jacobi环面T^{b_1（X）}，我们构造X上所有实现不等式中的相等的度量。虽然可以在F的纤维上选择任意固定体积的度量，但水平空间是使用J. Moser构造体积保持流的多参数版本来选择的。
2003-04-30 math.DG
Sharp upper bounds on the length of the shortest closed geodesic on complete punctured spheres of finite area
在有限面积的完备黎曼度量下，对具有三个或四个端点的穿孔球面上的最短闭测地线的长度建立了精确的普适上界。这些尖锐的曲率自由的上界表示在穿孔的球体的面积。在这两种情况下，我们描述的极值度量，这是仿照卡拉比-克罗克球或四面体球。我们还将这些最优不等式推广到可逆和不一定可逆的Finsler度量。在这种情况下，我们获得了最佳的边界与大量的穿刺领域。最后，我们提出了一个近似渐近最优的上界的最短闭测地线的长度的领域/曲面的大量的穿刺的面积。
2020-09-21 math.DG
Cahen-Gutt moment map, closed Fedosov star product and structure of the automorphism group
证明了如果紧致Kaehler流形$M$具有非负里奇曲率，且其上有闭Fedosov星积，则$M$上的全纯向量场的约化李代数是约化的.这与La Fuente-Gravy先前发现的阻塞有关。更一般地，我们考虑Cahen-Gutt矩映射映射的平方范数与cscK问题中的数量曲率的Calabi泛函具有相同的性质，并证明了关于极值Kaehler流形的全纯向量场的李代数结构的Calabi定理的Cahen-Gutt版本.该证明使用Cahen-Gutt矩映射的平方范数的Hessian公式。
2018-10-28 math.DG
Minimal stretch maps between hyperbolic surfaces
本文发展了一个类似于拟共形比较理论的双曲曲面Lipschitz比较理论。构造了极值Lipschitz映射（极小拉伸映射）和Lipschitz度量的测地线.极值Lipschitz常数等于所测层合板长度的最大比值，该比值在简单闭曲线上以概率1获得。灾变被引入，通过允许沿着断层的两个方向的更猛烈的剪切来概括地震。灾变为Teichmuller空间提供了有用的坐标，便于计算Teichmuller空间和测量层空间中几何函数的导数。
1998-01-09 math.DG math.GT
CM-stability of blow-ups and canonical metrics
给出了在平坦闭子格式处爆破的平坦族的Tian-Paul CM-线的一个渐近公式。作为应用，我们证明了极化流形沿（相对）Chow-不稳定子流形的爆破不存在（极值）常数数量曲率Kahler度量，使得例外因子足够小.并给出了射影空间中点的相对Chow不稳定构形的一个几何刻划。由此，我们得到新的例子类承认没有极值Kahler度量的情况下，也在射影平面爆破在一个有限集的点。
2008-10-30 math.AG math.DG
