All-angles bisection of polygon area
研究如何找到给定方向上平分简单多边形面积的直线方程及以最少计算改变方向，针对‘平分凸’多边形给出解决方案。
2026-07-22 cs.CG math.MG
Area Problems Involving Kasner Polygons
通过对初始多边形执行迭代过程生成的多边形序列已经被广泛研究。最流行的序列之一是有时称为{ \it Kasner多边形}的序列。给定多边形$K$，通过将$K'$的顶点放置在$K$的边的中点处来获得$K$的第一Kasner后代$K'$。更一般地，对于$(0,1)$中的任何固定的$m$，可以定义多边形序列$\{K^{t}\}_{t\ge 0}$，其中每个多边形$K^{t}$是通过将$K^{t-1}$的每个边在逆时针（或顺时针）方向上划分成比率$m:(1-m)$并将这些划分点作为$K^{t}$的顶点来获得的。我们感兴趣的是下面的问题{ \it设$m$是$(0,1)$中的固定数，设$n\ge 3$是固定整数。进一步地，令$K$是凸$n$ -边形，并且用$K'$表示$K$的第一$m$后代，即，$K'$的顶点将$K$的边划分成比率$m:(1-m)$。当$K$在凸$n$ -ε类中变化时，关于$K'$的面积与$K$的面积之间的比率，可以说什么？}我们对这个问题提供了一个完整的答案。
2009-10-02 math.CO math.MG
Area of Polygons in Hyperbolic Geometry
考虑双曲几何的庞加莱圆盘模型。在本文中，一个方便的计算公式，随着美学的几何解释。两个证明，一个几何和一个分析，每个结果。
2004-07-08 math.MG
On the area of ordinary hyperbolic reduced polygons
本文研究双曲平面中约化凸体的面积问题，针对一类双曲约化n边形，证明正n边形在该族中面积最大。
2024-09-02 math.MG
More about areas and centers of Poncelet polygons
本文研究了Poncelet多边形的外接圆质心的轨迹，以及退化Poncelet多边形的质心极限（当我们把多边形看作是一个“齐次薄层”时）。我们还提供了一个证明丹Reznik不变量台球轨迹。另外，我们来看看当我们切换到球面几何时场景的样子。
2020-04-11 math.DG math.DS math.MG
Extremal Area of Polygons sliding along Curves
本文研究多边形顶点沿曲线滑动时的面积函数，给出临界点几何判据及Hesse矩阵，为Morse理论方法奠基，并引出内面积台球这一新概念。
2022-11-25 math.MG
Holmes-Thompson area of inscribed polygons and convex projective structures
Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数理科学研究所）；Sam Houston State University（山姆休斯顿州立大学）
本文研究了正向旗在三维空间中定义的凸多边形，并探讨了霍姆斯-汤普森面积与希尔伯特度量之间的关系，以及有限面积凸实投影结构的参数化问题。
2026-01-07 math.GT math.MG
Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area
这第二部分的多边形在双曲平面是基于第一部分，其中涉及的唯一性和存在性的共循环多边形规定的边长。这里的主题是这些多边形面积的最大值问题。证明了最大副本必须是上循环的、有向凸的或具有特殊的共线形状。最大副本是唯一的刚性双曲运动。共圈性是指顶点位于距离圆、距离线或均圈上，这三种类型的圈在双曲平面上。不同的圆类型的现象与欧几里得的情况形成鲜明的对比，并为双曲讨论中的各种困难付出了代价。
2010-08-23 math.MG
Unions of regular polygons with large perimeter-to-area ratio
T.凯莱蒂问，是否比周长和面积的有限联盟的单位平方总是在最多4。在本文中，我们提出了一个例子，其中的比例是大于4。我们也回答了类似的问题，正三角形否定和列表的一些开放的问题。
2014-06-22 math.MG
A Geometric proof for the Polygonal Isoperimetric Inequality
本文利用约束问题的最优性条件与三角形几何基本思想，从几何角度证明了在给定面积下最小化周长的多边形必定是正多边形。
2023-09-11 math.MG
Tight bounds on the maximal perimeter of convex equilateral small polygons
小多边形是直径为1的多边形。当满足$s \ge 4$条件时，不知道具有$n=2^s$边的凸等边小多边形的最大周长。本文构造了一族凸等边小$n$ -簇，$n=2^s$和$s \ge 4$，并证明了它们的周长在最大周长的$O(1/n^4)$之内，并且超过了文献中已知的最佳值.特别是，对于第一个开放的情况$n=16$，我们的结果证明，Mossinghoff的等边六边形是次优的。
2022-05-25 math.CO math.MG math.OC
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
The Area of a Polygon with an Inscribed Circle
Heron公式指出，三角形的面积$K$由边$a$、$b$和$c$给出为$$ K=\sqrt {s(s-a) (s-b) (s-c)} $$，其中$s$是半周长$(a+b+c)/2$。Brahmagupta，Robbins，Roskies和Maley将这个公式推广到了内接于圆内的多边形的八条边。在本文中，我们推导出公式给出任何$n$ -gon，奇$n$，在边长的有序列表，如果$n$ -gon是外切一个圆（而不是内接在一个圆）的面积。与循环多边形问题不同，边的顺序无关紧要，对于内切圆问题（我们的情况），它很重要。这个解比循环多边形问题容易得多，但它确实很容易推广到所有奇数$n$。我们还提供了即使在$n$的情况下也有解充要条件。
2012-03-15 math.MG
Extremal Area of Polygons, sliding along a Circle
本文研究了顶点在圆或椭圆上的多边形面积函数的临界构型，计算了孤立临界点的莫尔斯指数，并将退化点与特征值问题关联，揭示了偶数维中的非孤立奇点结构。
2020-10-08 math.GT math.MG
Tight bounds on the maximal perimeter and the maximal width of convex small polygons
小多边形是单位直径的多边形。当满足$s \ge 4$条件时，顶点为$n=2^s$的凸小多边形的最大周长和最大宽度是未知的。本文构造了一类凸小$n$ -簇，$n=2^s$和$s\ge 3$，并证明了对于某些正的常数$a$和$b$，对于大的$n$，所得到的周长和宽度的改进不能分别超过$a/n^6$和$b/n^4$.此外，假设一个猜想的Mossinghoff是真的，我们制定的最大周长问题作为一个非线性优化问题，涉及三角函数，并为$n=2^s$与$3 \le s\le 7$，我们提供了全球最优解。
2022-06-02 math.CO math.MG math.OC
Hedgehog Reconstruction of Polygons: Non-Central Sections and Slabs
University of the Fraser Valley（弗雷泽河谷大学）
本文提出通过非中心截面和板面积重建多边形的方法，证明了其唯一性及中心对称多边形的重建可能性。
2026-07-20 math.MG
Morse index of a cyclic polygon
已知平面多边形连杆机构的循环位形是有符号面积函数的临界点。本文给出了一个计算循环构形符号面积的Morse指数的显式公式。它不仅依赖于一个循环构型的组合数学，而且还包括一些度量特征。
2010-09-03 math.MG
Area bounds for planar convex bodies containing a fixed number of interior integral points
本文研究包含固定数量内部整点的平面凸体的面积界问题，利用格宽数据证明面积界，并给出有理多边形依赖于分母的精确面积界及基于诺特公式的格多边形面积方程。
2025-07-02 math.CO math.MG
On the maximum area of inscribed polygons
给定一个凸$n$边形$P$和一个正整数$m$使得$3\le m\le n-1$，令$Q$表示包含在$P$中的最大面积凸$m$边形.我们感兴趣的是$Δ(Q)/Δ(P)$的最小值，即这两个多边形的面积之比。更准确地说，给定正整数$n$和$m$，用$3 \le m \le n-1$定义\begin{equation*} f_n(m)=\min_{P\in \mathcal {P}_n} \max_{Q \subset P,|Q|=m} \frac{Δ(Q)}{Δ(P)} \end{equation*}，其中最大值取于$P$中包含的所有$m$ -类，最小值取于$\mathcal{P}_n$，整个凸$n$ -类。$f_4(3)$、$f_5(4)$和$f_6(3)$的值是已知的。在本文中，我们计算的值的$f_5(3)$，$f_6(5)$和$f_6(4)$。此外，我们证明，对于所有的$n\ge 6$，我们有\begin{equation*} \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\fracπ{n}\right)\le 1-f_n(n-1)\le \min\left(\frac{1}{n}, \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\frac{2π}{n}\right)\right). \end{equation*}这些界限可以用来改善已知的估计$f_n(m)$。
2021-04-25 math.CO math.MG
Signature Calculation of Area Hermitian Form on Some Spaces of Polygons
这一章的动机是由文件瑟斯顿三角形的领域和奇异平坦度量的领域。Thurston用适当维数的复双曲空间局部参数化了球面上具有正曲率的奇异平坦度量的模空间。这项工作可以被认为是他在论文中所做的厄米特形式的签名计算的推广。球面上具有单位面积的奇异平坦度量的模空间可以局部参数化为一定的多边形空间。这可以通过从固定奇点到其他点通过长度最小化测地线切割奇异平坦球体来完成。在这种情况下，当存在$n+1$奇点时，多边形空间是维数为$n-1$的复向量空间。在这个向量空间上也存在签名$(1,n-2)$的自然面积埃尔米特形式。在这一章中，我们计算了某些多边形空间上的面积Hermitian型的特征，这些多边形空间局部地参数化了球面上具有单位面积的奇异平坦度量的模空间，该球面上具有一个负曲率的奇点。我们得到的公式只依赖于具有正曲率的奇点的曲率之和。本文将出现在书中“在瑟斯顿的传统，第二卷”，施普林格，2022年。
2021-12-10 math.MG
On triangulations with fixed areas
本文证明固定面积的三角剖分数量有限，且代数顶点下等分剖分具有代数性质。
2024-02-09 math.AG math.CO math.MG
New variational arguments regarding the Blaschke-Lebesgue theorem
本文通过计算Reuleaux多边形面积对顶点扰动的敏感性，证明正则多边形是唯一的临界多边形，从而为Blaschke-Lebesgue和Firey-Sallee定理提供了新的变分证明。
2024-12-18 math.MG math.OC
On the Areas of Cyclic and Semicyclic Polygons
我们调查的“广义海伦多项式”，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆的平方，其边长。对于一个（2 m +1）-边形或（2 m +2）-边形，我们将它表示为从具有m-1个二重根的二元（2 m-1）-形式簇导出的某个簇的定义多项式。从而得到了循环七边形和循环八边形面积的显式公式，并阐明了循环五边形和循环六边形面积的Robbins公式的某些神秘性质。我们还介绍了一个同伴家庭的多项式，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆，其一侧是直径，平方长度的其他方面。通过类似的代数技巧，我们得到了这些多项式的显式公式，所有n <= 7。
2004-07-16 math.MG
General method of Complex Polynomial for determining the radius of the circle circumscribed to a cyclic polygon an arbitrary number of sides, and some important consequences
本文提出了一种利用复数的概念，在已知循环多边形$n$边的长度的情况下，求出该循环多边形边的圆周半径的一般方法。作为半径$r$，获得，然后可以计算多边形面积的问题，应用已知的表达式，这需要后，$n=4$，一个强大的计算工具。也给出了类似的元素关于非凸多边形循环，虽然在这方面它加深少，不考虑，当然，计算面积。
2015-12-19 math.MG
Maximum-Area Small Polygons of Even Order
Faculty of Law and Administration, War Studies University（法律与行政学院，华沙战争大学）
该研究解决了直径不超过1的最大面积小多边形的缺失偶数阶问题，证明n≥8时最大面积小n边形的构型，结合已有结果得到n≥3时所有情况的精确解。
2026-08-20 math.MG math.OC
Amicable Lattice Rhombuses are Amicable
本文研究了相亲菱形的性质，证明了所有相亲的整数格菱形实际上都是等量的。
2026-05-19 math.MG
A central limit theorem for random disc-polygons in smooth convex discs
University of Szeged（塞格德大学）
本文证明了在光滑凸盘中随机圆多边形面积的定量中心极限定理，采用Stein方法和Fodor等人证明的方差渐近下界。
2023-10-27 math.MG math.PR
A "right" path to cyclic polygons
众所周知，海伦定理提供了一个三角形面积的显式公式，作为其边长的对称函数。它已延长由Brahmagupta到四边形内接在一个圆（循环四边形）。一个自然的问题是试图进一步推广的结果，以循环多边形与大量的边缘，令人惊讶的是，这是远远不够简单。在本文中，我们调查这样一个问题，通过以下一个新的和基本的方法。我们从一个简单的观察开始：一个直角三角形的内切圆与它的hypothenuse相交于一点，该点将它分成两段，两段长度的乘积等于三角形的面积。从这个奇怪的事实，我们得出在几行：一个不寻常的证明毕达哥拉斯定理，苍鹭定理的直角三角形，苍鹭定理的一般三角形，和婆罗门笈多定理的循环四边形。这表明，通过适当的点切割循环多边形的边应该是“正确的”工作方法。事实上，根据这一想法，我们得到一个明确的公式，任何凸循环多边形的面积，作为一个对称函数的分割段的边缘由一个三角形的incircles。我们还表明，这样的对称性可以重新发现在苍鹭的和Brahmagupta的结果，从而代表特殊情况下的一般提供的公式。
2019-10-17 math.CO math.HO math.MG
On the polygon determined by the short diagonals of a convex polygon
令$K$是平面中的凸五边形，并且令$K_1$是由$K$的对角线限定的五边形。证明了当$K$为仿射正五边形时，$K_1$和$K$的面积之比达到最大。本文证明了这一猜想。我们还表明，多边形至少有六个顶点的平凡的答案是最好的可能。
2018-12-18 math.HO math.MG
Outer length billiards on polygons
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究多边形台面上的外长度台球系统，描述远离台面的轨道行为，并对正方形台面的逃逸轨道提出猜想，补充了处理光滑正曲率台面的相关研究。
2025-10-13 math.DS math.MG
On generalized disc-polygons in plane convex bodies with a higher degree of smoothness
本文证明了平滑平面凸体中随机 $L$-凸多边形的顶点数期望与遗漏面积的幂级数展开式，扩展了已有渐近公式并推及 $L$-凸浮体与相对仿射表面积。
2025-09-15 math.MG
Convex hulls of uniform samples from a convex polygon
Groeneboom（1988）给出了一个关于从凸多边形内部取均匀样本的凸包顶点数的中心极限定理。在未出版的预印本Nagaev和Khamdamov（1991年）中，（俄语）使用多边形边界附近的样本过程与Groeneboom（1988）中的泊松点过程的耦合，给出了顶点数和剩余面积的联合分布的中心极限结果，以及将泊松近似中的剩余区域表示为独立标准指数随机变量的双无穷序列的并集。我们从Groeneboom（1988）的表示导出了这个表示，并利用这个表示证明了Nagaev和Khamdamov（1991）的中心极限结果。在Nagaev和Khamdamov（1991）中建立的顶点数的渐近正态分布的方差与面积之间的关系对应于Buchta（2005）中顶点数的实际样本方差与剩余面积之间的关系。我们展示了这些渐近结果都遵循一个简单的指导原则。这同时修正了Nagaev（1995）和Cabo和Groeneboom（1994）中的标度常数。
2011-11-11 math.MG math.PR
The Kernel Deficit Dominates Twice the Hull Deficit: A Sharp Strengthening of Nakano's Inequality
该研究强化了中野不等式，证明多边形核亏空主导两倍凸包亏空，通过凸体帽并集等方法推导，结果有Lean 4机器验证。
2026-08-27 math.MG
Variance estimates for random disc-polygons in smooth convex discs
本文证明了以$C^2_+$为边界的光滑凸圆上内接随机圆多边形顶点数和缺失面积方差的渐近上界。我们还考虑了这种概率模型的外接变量，其中凸盘近似随机圆的交叉。
2018-02-08 math.MG
Variance bounds for disc-polygons
University of Szeged（塞格德大学）
研究圆盘多边形顶点数和遗漏面积方差的渐近下界，方法基于光滑边界条件，贡献为与之前结果同阶的下界。
2021-11-02 math.MG math.PR
A note on the maximal perimeter and maximal width of a convex small polygon
如果多边形$P$的直径等于1，则多边形小。当求解$n=2^s$时，如何求小$n$ -边形的最大周长或最大宽度仍然是一个待解决的问题.受Bingane的一系列工作的启发，我们改进了最大周长和最大宽度的下界。
2021-08-30 math.MG
The Hilbert area of inscribed triangles and quadrilaterals
希尔伯特体积是实射影几何的不变量。内接于多边形的多边形被认为是真实的射影平面。研究了Fock-Goncharov坐标系与直角坐标的对应关系。分析了内接四边形的退化和Hilbert面积。给出了退化有界Hilbert区域的一个微局部条件。应用该条件给出了一类Hilbert面积有界且Goldman参数发散的严格凸域序列。
2020-12-18 math.GT math.MG
An Affine Approach to Metric Invariants of Poncelet Polygons
The University of Texas at Arlington（德克萨斯大学阿灵顿分校）
本文推广Dan Reznik的几何观察结果，基于Marden定理的三角形对称参数化给出更强形式的证明，还推广了其奇数边形相关结论，并提出圆内接n边形外切于中心二次曲线时的正方形总面积不变性新猜想。
2026-09-01 math.MG
Boundary Layers and Sharp Asymptotics for Maximum-Area Small Polygons
Faculty of Law and Administration, War Studies University（法律与行政学院，华沙战争大学）
该研究确定直径不超过1的平面多边形最大面积$A_n$的渐近行为，通过分析偶阶最大化子的边界层与收敛性质，给出其渐近展开式及相关常数的精确变分定义。
2026-08-18 math.MG
Amicable Heronian Parallelograms
该研究针对海伦多边形与亲和多边形的定义，证明存在无穷多组亲和海伦平行四边形对，同时给出了海伦平行四边形属于亲和对的充要条件，丰富了数论与几何交叉领域的相关结论。
2025-05-17 math.MG
Peeling potatoes near-optimally in near-linear time
本文考虑如下几何优化问题：求一个包含在给定的具有$n$顶点的简单多边形$P$中的面积最大的凸多边形。我们给出了一个随机的近线性时间$(1-\varepsilon)$近似算法：在$O(n( \log^2 n + (1/\varepsilon^3) \log n + 1/\varepsilon^4))$时间，我们找到一个凸多边形包含在$P$，概率至少$2/3$，面积至少$(1-\varepsilon)$倍的最优解的面积。我们也得到了类似的结果计算$P$内的凸多边形的最大周长的变体。为了实现这些结果，我们提供了新的几何概率的结果。第一个结果是与$P$内随机均匀选择的两个点相互可见的概率和$P$内最大凸体的面积相关的界限。第二个结果是任何平面凸体$K$的周长与$K$内部均匀随机样本的凸包的周长之间的差的期望值的界限。
2017-10-14 cs.CG cs.DS math.MG
