$\tan^2(r π)$无理性的一个直接证明
A direct proof of the irrationality of $\tan^2(r π)$
摘要：
给定一个有理数$r$，使得$2r$不是整数，我们证明了$\tan^2(rπ)$是无理数，除非它等于$0$，$1$，$3$或$\frac{1}{3}$，只使用基本三角学和有理根定理.此外，我们还证明了除一般情况外，$\tan(rπ)$，$\cos^2(rπ)$和$\cos(rπ)$都是无理数.
英文摘要：
Given a rational number $r$ such that $2r$ is not an integer, we prove that $\tan^2(rπ)$ is irrational unless it is equal to $0$, $1$, $3$ or $\frac{1}{3}$, using only basic trigonometry and the Rational Root Theorem. Moreover, we deduce that $\tan(rπ)$, $\cos^2(rπ)$ ans $\cos(rπ)$ are irrational numbers except in usual cases.
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