带复位势的一维薛定谔算子的预解估计
Resolvent estimates for one-dimensional Schrödinger operators with complex potentials
AI总结：
本文研究带无界复位势的一维薛定谔算子，在两类谱参数区域下推导预解范数的渐近估计，给出精确首项与显式余项并证明其最优性，同时讨论推广及其与半群理论的联系。
摘要：
我们研究具有无界复位势 $V$ 的一维薛定谔算子 $\operatorname{H} = -\partial_x^2 + V$，并推导其预解范数 $Ψ(λ) := \\| (\operatorname{H} - λ)^{-1} \\|$ 在 $|λ| \to +\infty$ 时的渐近估计，分别考虑 $λ\in \operatorname{Ran} V$ 和 $λ\in \mathbb{R}_+$ 两种情况。在每种情形下，我们的分析都给出了 $Ψ(λ)$ 的精确首项和显式余项，并证明这些估计是最优的。我们还讨论了主要结果的若干推广、它们与半群理论某些方面的相互联系，并通过例子加以说明。
英文摘要：
We study one-dimensional Schrödinger operators $\operatorname{H} = -\partial_x^2 + V$ with unbounded complex potentials $V$ and derive asymptotic estimates for the norm of the resolvent, $Ψ(λ) := \| (\operatorname{H} - λ)^{-1} \|$, as $|λ| \to +\infty$, separately considering $λ\in \operatorname{Ran} V$ and $λ\in \mathbb{R}_+$. In each case, our analysis yields an exact leading order term and an explicit remainder for $Ψ(λ)$ and we show these estimates to be optimal. We also discuss several extensions of the main results, their interrelation with some aspects of semigroup theory and illustrate them with examples.
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