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arXiv 2203.11541math.CA
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粗糙核Calderón交换子的$L^p(\mathbb{R}^d)$有界性

$L^p(\mathbb{R}^d)$ boundedness for the Calderón commutator with rough kernel

Jiecheng Chen, Guoen Hu, Xiangxing Tao

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20 pages
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摘要：

设$k\in\mathbb{N}$，$Ω$是零次齐次的，在$S^{d-1}$上可积，有$k$阶消失矩，$a$是$\mathbb{R}^d$上的函数，使得$\nabla a\in L^{\infty}(\mathbb{R}^d)$，$T_{Ω,\,a;k}$是由$$T_{Ω,\,a;k}f(x)={\rm p.\,v.}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{Ω(x-y)}{|x-y|^{d+k}}\big(a(x)-a(y)\big)^kf(y){d}y.$$定义的$d$ -维Calderón交换子本文证明了：如果$$\sup_{ζ\in S^{d-1}}\int_{S^{d-1}}|Ω(θ)|\log ^β \big(\frac{1}{|θ\cdotζ|}\big)dθ<\infty,$$与$β\in(1,\,\infty]$，则对$\frac{2β}{2β-1}<p<2β$，$T_{Ω,\,a;\,k}$在$L^p(\mathbb{R}^d)$上有界.

英文摘要：

Let $k\in\mathbb{N}$, $Ω$ be homogeneous of degree zero, integrable on $S^{d-1}$ and have vanishing moment of order $k$, $a$ be a function on $\mathbb{R}^d$ such that $\nabla a\in L^{\infty}(\mathbb{R}^d)$, and $T_{Ω,\,a;k}$ be the $d$-dimensional Calderón commutator defined by $$T_{Ω,\,a;k}f(x)={\rm p.\,v.}\int_{\mathbb{R}^d}\frac{Ω(x-y)}{|x-y|^{d+k}}\big(a(x)-a(y)\big)^kf(y){d}y.$$ In this paper, the authors prove that if $$\sup_{ζ\in S^{d-1}}\int_{S^{d-1}}|Ω(θ)|\log ^β \big(\frac{1}{|θ\cdotζ|}\big)dθ<\infty,$$ with $β\in(1,\,\infty]$, then for $\frac{2β}{2β-1}<p<2β$, $T_{Ω,\,a;\,k}$ is bounded on $L^p(\mathbb{R}^d)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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