Almost complex Hodge theory
Weiyi Zhang
本文综述了殆复流形的Hodge理论的最新发展。这包括确定由$\bar\partial$ -Laplacian定义的霍奇数在四维中是否是几乎复的、几乎Kähler的或双有理不变量。
We review the recent development of Hodge theory for almost complex manifolds. This includes the determination of whether the Hodge numbers defined by $\bar\partial$-Laplacian are almost complex, almost Kähler, or birational invariants in dimension four.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hodge-de Rham numbers of almost complex 4-manifolds
引入并研究了紧几乎复4-流形的Hodge-de Rham数，推广了复曲面的Hodge数。在复曲面的情况下，这些数的主要性质被扩展到这个更一般的设置，它表明，所有的Hodge-de Rham数紧几乎复杂的4-流形是由上同调，除了一个（不规则）。最后，这些数字被证明是禁止存在的复结构在某些流形上，而不涉及分类的表面。
Introduction to Nonabelian Hodge Theory: flat connections, Higgs bundles and complex variations of Hodge structure
2013年11月11日至15日在多伦多菲尔兹研究所举行的弦理论中霍奇理论研讨会之前的集中研究生课程的讲义。
Hodge decomposition and Hard Lefschetz Condition on almost Kähler manifolds
本文研究闭近 Kähler 流形上的调和形式，证明近复结构在适度可积时具有 Hodge 分解，并导出纯满性质、HLC 及四维刚性结论。
Almost Kähler Kodaira-Spencer problem
我们证明了几乎复Hodge数$h^{0,1}$随几乎Kähler度量的不同选择而变化。这几乎回答了小平和斯宾塞的一个问题的凯勒版本。
Kodaira dimensions of almost complex manifolds I
这是第一个一系列的文件，我们在其中研究plurigenes，Kodaira方面，更普遍的Iitaka方面紧殆复流形。在殆复流形上的Hodge理论的基础上，引入了紧致殆复流形上的复属维数、Kodaira维数和Iitaka维数.证明了在几乎复范畴中，至少在$4$维中，复数属和Kodaira维数以及不规则性是双有理不变量，其中双有理态射定义为一次伪全纯映射.然而，它们不再是变形不变量，即使在维度$4$或在驯服假设下。在建立双有理不变性的过程中，我们利用圆盘切理技术证明了几乎复情形下的Hartogs扩张定理。通过实例展示了这些不变量的一些有趣现象。特别地，我们构造了具有大Kodaira维数的不可积紧致殆复流形。计算了六球$S^6$上标准殆复结构的Hodge数和复属数，得到了与假设的复结构不同的结果.
Hodge filtered complex bordism
我们构造了复流形的Hodge滤上同调群，它结合了广义上同调理论的拓扑信息和Hodge滤全纯型的几何信息.这个理论提供了Deligne上同调的自然推广。对于光滑复代数簇，我们证明了该理论满足一个投射丛公式和$\A^1$ -同伦不变性。此外，我们还得到了沿射影态射的转移映射。
$L^{2}$-Hodge theory on Complete Almost Kähler Manifolds and the Hopf Conjecture
本文在完备近凯勒流形上发展了$L^{2}$-Hodge理论，建立了拉普拉斯算子恒等式、广义Hodge和Serre对偶、Lefschetz分解等，并应用这些恒等式证明了$L^{2}$-调和形式的消失定理，最后在Nijenhuis张量小的条件下证明了Hirzebruch $\chi_{y}$-亏格的不等式，从而推广了Gromov关于Hopf猜想的结果。
Geometric Hodge filtered complex cobordism
本文为具有复系数 de Rham 复滤过的光滑流形构造了复配边 Hodge 滤过扩展的几何圈模型，并利用细化的 Pontryagin-Thom 构造，证明了该模型与 Hopkins-Quick 抽象模型间的显式同构。
Hodge numbers of a hypothetical complex structure on $S^6$
以下是作者于2017年3月在马尔堡举行的MAM 1“（非）-$S^6$上复杂结构的存在“上发表的演讲“$S^6$上假设的复结构的霍奇数“的笔记。它们基于[A]。Gray，六球上一个假设的复结构的性质，Boll. Un. Mat.意大利B（7）} $\textbf{11}$（1997），增刊。[2，251- 255]和[L. Ugarte，Hodge numbers of a hypothetical复结构on the six sphere，Geom. Dedicata $\textbf{81}$（2000），no.1 -3，173- 179.]，其中研究了假设具有复结构的$S^6$的Frölicher谱序列的Hodge数和谱页的维数.我们还添加了来自[Andrew McHugh，Narrowing cohomologies on complex $S^6$，Eur. J. Pure Appl. Math. $\textbf{10}$（2017），no. 3，440- 454.]，其中研究了$S^6$上假设复结构的Bott-Chern上同调.该材料并非原创。
Spin(7) instantons and the Hodge Conjecture for certain abelian four-folds: a modest proposal
霍奇猜想等价于关于光滑复射影簇上的复向量丛具有全纯结构的条件的陈述。我宣传一类阿贝尔四倍由于芒福德这种方法可以测试。我构造明确的光滑向量丛-这实际上可以构造在光滑线丛-其陈特征给出霍奇类。这些向量丛上的瞬子联络将赋予它们全纯结构，从而证明这些类是代数的。我使用复乘来展示凯莱周期代表给定的霍奇类。我发现了交替的复结构，相对于这些复结构，给定的丛是全纯的，并以一个建议（由于G。田），至于这可能是如何投入使用。
On the existence of balanced metrics of Hodge-Riemann type
本文研究了非凯勒复流形上Hodge-Riemann类型平衡度量的存在性，证明了某些流形不存在此类结构，并构造了首个非凯勒的Hodge-Riemann平衡结构例子。
Differential operators on almost-Hermitian manifolds and harmonic forms
我们考虑紧几乎复流形、几乎Hermitian流形和几乎Kähler流形上的几个微分算子。我们讨论霍奇理论，这些运营商和一个可能的上同调解释。我们比较了调和形式和上同调的相关空间与经典的de Rham，Dolbeault，Bott-Chern和Aeppli上同调。
Topological and geometric aspects of almost Kähler manifolds via harmonic theory
著名的Kähler恒等式自然地扩展到不可积的设置。本文对紧几乎Kähler流形推出了这些推广恒等式的几个几何和拓扑结果。其中包括各种拉普拉斯的身份，广义霍奇和塞尔对偶，广义硬莱夫谢茨对偶，和莱夫谢茨分解，所有的空间上的$d$ -调和形式的纯二度。对于紧的几乎Kähler $4$ -流形，Hodge指标定理也有一个推广.特别是，这些提供了拓扑界限上的空间的$d$ -调和形式的纯二度，以及几个新的障碍存在的辛形式兼容一个给定的殆复结构。
Extension formulas and deformation invariance of Hodge numbers
本文引入了紧致复流形上的纯型复微分形式空间到其无穷小变形上的正则同构。利用这一映射，我们推广了K. Liu，X.杨和第二作者。作为推广公式的一个直接推论，我们在不利用Frölicher不等式或贝蒂数的拓扑不变性的情况下，证明了某些复流形上Hodge数的几个形变不变性定理.
Hodge theory for twisted differentials
研究了具有扭微分的复流形的上同调和Hodge理论。特别地，我们得到了Fujiki流形类$\mathcal{C}$中的另一个上同调阻塞。本文给出了Fujiki的$\mathcal{C}$类中解流形的特征的一个Hodge理论证明。阿拉普拉。
Solving equations with Hodge theory
本文用整体几何方法研究了Kähler流形上复结构变化的两个完全不同的问题。首先，利用紧致Kähler流形上Hodge理论中的算子，给出了不同复结构下全纯标准型的一个封闭的显式扩张公式.作为应用，我们给出了射影流形的标记极化模空间上Hodge丛的某些典型截面的一个封闭的显式公式，并在一定的自然条件下给出了全纯多典型形式的一个封闭的显式扩张公式.其次，利用Poincaré圆盘上的$L^2$ -Hodge理论中的算子，给出了求解拟共形映射的可测系数Beltrami方程的一种简单而统一的方法。
Variation of Hodge structure for generalized complex manifolds
满足$\partial \overline{\partial}$ -引理的广义复流形在扭上同调中存在Hodge分解.利用Courant代数体理论方法研究了广义复流形的光滑族和全纯族中的Hodge分解的性质。特别是我们定义了周期映射，证明了格里菲斯横截定理，并表明，全纯家庭的周期映射是全纯的。进一步的结果的霍奇分解的各种特殊情况下，包括广义Kähler的情况下得到。
Hodge theory on tropical curves
本文在热带曲线上构造复流形Hodge理论的类似物，采用基于热带微分形式语言和$L^2-$上同调方法的分析途径解决该问题。
Hodge decompositions for Lie algebroids on manifolds with boundary
研究了带边流形上复李代数胚的Chevalley-Eilenberg微分何时允许Hodge分解.我们引入了Cauchy-Riemann结构、椭圆和非椭圆边界点以及Levi-形式的概念，我们用它们来定义q-凸性的概念。证明了椭圆型q-凸李代数胚的Chevalley-Eilenberg复形在q次上可作Hodge分解。这推广了实流形上的外导数和q-凸复流形上的delbar算子的著名Hodge分解.我们建立的结果在一个更一般的设置，微分不一定平方为零，而且在一个家庭，包括变形参数的行为分析。作为应用，我们给出了基于Moser技巧的一个经典的全纯管状邻域定理的证明（它包含Newlander-Nirenberg定理），并给出了某些全纯Poisson上同调群的有限维性结果.
Compatible almost complex structures on the Hard Lefschetz condition
本文通过构造紧致近 Kähler 流形实例，证明 Cirici 和 Wilson 提出的变体 Hodge 数判据仅为充分条件，并展示 b^1>2h^{1,0} 与 Kähler 情形的差异。
Pure Hodge structure on the $L_2$-cohomology of varieties with isolated singularities
设$V$是具有孤立奇点的复射影簇.设光滑部分由射影嵌入引入度量。然后我们发展了$L_2$调和理论，构造了$V$的$L_2$ -上同调的纯Hodge结构.当$V$的维数为2时，我们在它的$L_2$形式的层复形上加上一个上同调的Hodge结构.
Hodge theory in the Sobolev topology for the de Rham complex
研究了外微分算子$d$作用于$\RR^{N+1}$中光滑有界区域上的$q$ -形式和半空间$\rnp$上的Hodge理论.新颖之处在于所使用的拓扑不是$L^2$拓扑，而是Sobolev拓扑。与经典设置相比，这显著地改变了问题。它产生了一个边值问题属于一类问题首先介绍了Višik和Eskin，并由Boutet德Monvel。
Kähler identities for almost complex manifolds
对于一般的紧殆复流形，我们得到了包含外微分和Lefschetz算子及其伴随算子的Kähler流形的著名Kähler（或Hodge）恒等式的推广.主要思想是通过Dirac算子研究Clifford丛上的问题，然后将结果推广到外丛上。
Examples of diffeomorphic complete intersections with different Hodge numbers
本文构造了多对微分同胚但Hodge数不同的复完全交，并指出复3维情形下Chern数也不同。
The Dirac-Dolbeault Operator Approach to the Hodge Conjecture
该研究利用Dirac-Dolbeault算子相关的Green函数表示与Nash-Moser广义反函数定理，在特定假设下证明复射影流形满足条件的复子流形存在性，进而证明复射影流形的Hodge猜想。
A Hodge filtration of logarithmic vector fields for well-generated complex reflection groups
针对不可约良生成复反射群，研究者通过分析作用于本原向量场的平坦联络，构造出其反射构形上对数向量场模的显式基，得到该模的霍奇滤过，推广并统一了实反射群的相关结果。
Harmonic Forms, Hodge Theory and the Kodaira Embedding Theorem
在这篇简要的文章中，我们概述了调和微分形式的理论及其后果。我们对微分几何中的下列重要结果提供了完备的证明：（1）Hodge定理，它指出对于紧致复流形，de Rham上同调群同构于调和形式群，（2）Hodge分解定理，它指出对于Kähler流形，de Rham上同调群分解为Dolbeault上同调群，（3）Kodaira嵌入定理，它给出了紧致复复流形实际上是光滑复射影簇的一个判据。为了完备性，还包含了向量丛的基本理论。
A Hodge Theorem for Noncompact Manifolds
若M是黎曼流形，则上闭调和形式复形包含在de Rham复形中诱导出上同调的线性同构。如果M至多有可数个连通分支，则这个线性同构是一个弗雷歇同构。
The nonabelian Hodge correspondence for balanced hermitian metrics of Hodge-Riemann type
本文将Kaehler流形上的非交换Hodge对应推广到复流形上的一类更大的称为平衡Hodge-Riemann型的厄米度量。从本质上讲，它是从一些关键的观察中发展出来的，因此已知的结果，特别是Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理和Corlette定理，可以应用于我们的设置。虽然不一定Kaehler，我们表明，Sampson-Siu定理证明调和映射是pluriharmonic仍然有效的一个略小的类，通过使用已知的参数。特别重要的例子包括那些由多极化产生的平衡度量。
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