A weak definition of Delaunay triangulation
我们证明了单形属于点集的德洛内三角剖分的传统准则等价于一个先验较弱的准则。这个论点相当笼统;除了经典的欧几里德情形外，它还适用于双曲和半球几何以及Edelsbrunner的加权德洛内三角剖分。在球面几何中，我们在一个普适条件下建立了一个类似的定理。弱定义在用单纯形复形逼近点云数据集的问题中找到了自然的应用。
2003-10-16 cs.CG
On recent advances in 2D Constrained Delaunay triangulation algorithms
本文介绍了二维约束德洛内三角剖分（CDT）算法的研究进展。自从de Floriani（Issues on Machine Vision，Springer Vienna，pg.95--104，1989）提出CDT算法以来，在文献中出现了用于构造和应用CDT的不同算法，每种算法都涉及计算的不同方面和不同的适用性。因此，这项工作的目的是报告更新，审查文章考虑当代著名的算法和推广的问题，二维的约束德洛内三角剖分。
2017-07-19 cs.CG
On the Topology of the Restricted Delaunay Triangulation and Witness Complex in Higher Dimensions
众所周知，在较弱的采样条件下，限制性德洛内三角剖分提供了1-流形和2-流形的良好拓扑逼近。我们表明，这是不是高维流形的情况下，即使在更强的采样条件。具体地说，对于R^n的任何紧致闭子流形M，以及M的任何足够稠密的一致采样L，L的限制于M的德洛内三角剖分同胚于M，甚至同伦等价于M，这是不正确的。此外，对于任何足够稠密的见证集W，L相对于M的证明复形包含或包含在L的限制德洛内三角剖分中。
2008-03-09 cs.CG
Near-Delaunay Metrics
我们研究评估三角测量与德洛内三角剖分的接近程度的度量，用于期望良好的三角测量但受到约束的情况（例如，最大度数）防止使用德洛内三角剖分本身。我们的近Delaunay度量来自共同的Delaunay属性，并满足一组基本的设计标准，如在相似性变换下不变。我们比较的指标，表明每个可以作出不同的判断，三角测量更接近Delaunay。我们还提出了一个初步的实验，显示如何优化这些指标在不同的约束条件下给出了类似的，但不一定相同的结果，随机和构造的小点集。
2021-06-22 cs.CG
The Stretch Factor of $L_1$- and $L_\infty$-Delaunay Triangulations
本文确定了$L_1$ -Delaunay三角剖分和$L_\infty$ -德洛内三角剖分的拉伸因子，并证明了这种拉伸因子为$\sqrt{4+2\sqrt{2}} \approx 2.61$ .在这类三角剖分的任意两点$x,y$之间，我们构造了一条路径，其长度不超过$x$和$y$之间的欧氏距离的$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$倍，并且这个界是最佳可能的.这明确地改进了Chew（SoCG '86）的$\sqrt{10}$的25岁界限。据我们所知，这是第一次充分研究$L_p$ -德洛内三角剖分的拉伸因子，对于任何真正的$p\ge 1$，是准确地确定。
2012-02-27 cs.CG
Nice point sets can have nasty Delaunay triangulations
本文研究了在一定的几何约束下R^3中点集的德洛内三角剖分的复杂性。一组点的散布是最长和最短成对距离之间的比率。我们证明了在最坏的情况下，R^3中n个点的德洛内三角剖分的复杂性为Omega（min{D^3，nD，n^2}）和O（min{D^4，n^2}）。对于D = Theta（sqrt{n}）的情况，我们的下界构造由具有有界曲率的光滑凸曲面的均匀样本组成。我们还构造了一族光滑的连通曲面，使得任何好的点样本的德洛内三角剖分具有近二次的复杂性。
2001-03-23 cs.CG
Delaunay triangulation of manifolds
提出了一种流形的德洛内三角剖分的生成算法。该算法可以容纳抽象流形，而不是提出的欧氏空间的子流形。给定紧致流形上的一组样本点和一个图集，如果过渡函数是具有接近1的常数的双Lipschitz，并且样本点满足局部密度要求，则会产生流形Delaunay复形;不需要光滑性假设。如果过渡函数是光滑的，则输出是流形的三角剖分。输出复形自然地被赋予分段平坦度量，当原始流形是黎曼流形时，该度量是原始黎曼度量的紧密近似。在这种情况下，输出复形也是其顶点关于该分段平坦度量的德洛内三角剖分。
2015-05-05 cs.CG
The Tight Spanning Ratio of the Rectangle Delaunay Triangulation
本文证明使用宽高比为$A$的矩形构造的Delaunay三角剖分，其生成树比率至多为$\sqrt{2} \sqrt{1+A^2 + A \sqrt{A^2 + 1}}$，与已知下界匹配，扩展了具有紧界生成树的受限类别。
2025-03-21 cs.CG
The Stretch Factor of Hexagon-Delaunay Triangulations
计算精确的拉伸因子的问题（即，德洛内三角剖分的最坏情况拉伸因子上的紧界）是计算几何中的一个长期存在的公开问题。多年来，已经获得了一系列关于精确拉伸因子的上界和下界，但它们之间的差距仍然很大。解决这个问题的另一种方法是开发用于计算德洛内三角剖分的“扩展器”类型的精确拉伸因子的技术，特别是那些使用规则多边形而不是圆定义的三角剖分。使用等边三角形和正方形定义的德洛内三角剖分存在紧边界。本文确定了正六边形定义的德洛内三角剖分的精确拉伸因子为2。我们认为，本文的主要贡献是我们已经开发的两种技术来计算紧的上界的拉伸因子的六边形-德洛内三角剖分。
2020-03-22 cs.CG
Improved Incremental Randomized Delaunay Triangulation
提出了一种新的数据结构来计算平面上点集的德洛内三角剖分。它结合了良好的最坏情况复杂性，对真实数据的快速行为和小内存占用。位置结构分为几个层次。最低层仅由三角剖分组成，然后每个层包含下面层的小样本的三角剖分。点定位是通过在三角测量中行进来完成的，以确定查询在该级别上的最近邻居，然后行进从下一级别上的该邻居重新开始。使用一个小样本（3%）允许一个小的内存占用;行军和使用最近邻改变水平快速定位查询。
1999-07-16 cs.CG
A 3D Sweep Hull Algorithm for computing Convex Hulls and Delaunay Triangulation
本文提出了一种新的计算三维点集的凸包的O（nlog（n））算法。该算法首先对（x，y，z）中的点进行排序，然后使用约束条件将排序后的点递增地添加到凸包中，该约束条件是添加到包中的每个新点都可以“看到”至少一个与最后添加的点接触的小平面。减少了添加新点的搜索时间。该算法属于扫掠船体算法家族。虽然对于一般情况比q壳慢，但对于所有点都在3D壳上的病理情况（如德洛内三角剖分的情况），它显著优于q壳。该算法被命名为“Newton Apple Wrapper算法”，并已在GPL下以C++发布。关键词：德洛内三角剖分，三维凸包。
2016-02-11 cs.CG
Delaunay Edge Flips in Dense Surface Triangulations
Delaunay flip是一个优雅、简单的工具，用于将点集的三角剖分转换为它的德洛内三角剖分。该技术已被广泛研究的全维三角剖分的点集。然而，一个重要的情况下，三角剖分，这不是全维是表面三角剖分在三维。在本文中，我们解决的问题，转换一个表面三角剖分的子复形的德洛内三角剖分与边缘翻转。我们证明，表面三角剖分密切接近一个光滑的表面，均匀密度可以转换为一个简单的边缘翻转算法的德洛内三角剖分。随着三角剖分密度的增加，均匀性的条件变得不那么严格。如果完全放弃该条件，则翻转算法仍然终止，尽管输出曲面三角剖分变为“几乎Delaunay”而不是完全Delaunay。
2007-12-12 cs.CG cs.DS
Delaunay Triangulations of Degenerate Point Sets
德洛内三角剖分（DT）是平面上点集$P$最常用和最有用的三角剖分之一。当$P$退化时，DT不是唯一的，特别是当它包含四个共圆点时。实现唯一性的一种方法是通过对$P$应用小（或无穷小）扰动。我们考虑一个特定的扰动这样的退化集，其中每个点的坐标是独立的扰动正态分布的小数量，并调查这样的扰动的DT集的效果。我们主要研究两种特殊的构形，其中（1）$P$的点形成一个均匀的网格，（2）$P$的点是一个正多边形的顶点。我们提出了有趣的（有时令人惊讶的）经验发现和性质的扰动DT这些情况下，并给出理论解释。
2015-10-15 cs.CG
A parallel algorithm for Delaunay triangulation of moving points on the plane
本文针对平面上缓慢移动的点集，提出一种将数据等分并分配到各块、通过删除和插入操作维护Delaunay约束的并行三角剖分算法，实验表明其速度快于串行算法。
2023-08-12 cs.CG
On Deletion in Delaunay Triangulation
本文介绍了如何使用球体和壳空间来有效地从$d$维三角剖分中删除点。在二维中，如果k是删除顶点的度，则复杂度为O（k log k），但我们注意到这个数字仅适用于低成本操作，而耗时的计算仅进行线性次数。该算法可以被看作是Heller算法的变体，Heller算法在地理信息系统社区中很流行。不幸的是，Heller算法是错误的，正如本文所解释的那样。
1999-07-16 cs.CG
A Short Proof of the Toughness of Delaunay Triangulations
本文给出了Dillencourt（SoCG 1987和DCG 1990）的一个重要结果的一个自包含的简短证明：平面点集在一般位置上的德洛内三角剖分是1-坚韧的.这个结果的一个重要含义是，德洛内三角剖分有完美的匹配。我们的结果的另一个含义是证明了Aichholzer等人（2010）的猜想，即至少需要$n$点来阻挡任何$n$ -顶点德洛内三角剖分
2019-10-10 cs.CG cs.DM
Delaunay stability via perturbations
我们提出了一个算法，作为输入的有限点集在欧氏空间，并进行扰动，保证所产生的扰动点集的德洛内三角剖分具有量化的稳定性的度量和点的位置。还有一个简单的质量保证：他们不能太平。该算法提供了一个替代工具的加权或细化方法，以消除不良形状的简单的德洛内三角剖分的任意尺寸，但此外，它提供了一个稳定的保证，所产生的三角剖分。
2015-05-06 cs.CG
External Incremental Delaunay Triangulation
本文提出一种外增量式Delaunay三角剖分算法，以凸包和点为基本操作单元简化实现，整体时间复杂度为$O(n\log n)$，均匀点集下构建呈线性时间，并给出了正确性证明与方法对比。
2025-03-19 cs.CG
On topological changes in the Delaunay triangulation of moving points
令$P$是沿平面中的伪代数轨迹移动的$n$点的集合。组合几何和计算几何中最难的开放问题之一是在$P$的点运动期间，$P$的德洛内三角剖分$\DT(P)$经历的离散变化的最大数目上获得接近二次的上界，或者至少是次三次的界。本文对任意$\eps>0$，在（i）任意四个点最多共圆两次，（ii）点的三元组共线不超过两次，或点的有序三元组共线不超过一次的条件下，得到了$O(n^{2+\eps})$的一个上界.
2013-04-12 cs.CG
Delaunay Triangulations in the Hilbert Metric
本文将欧氏 Delaunay 三角剖分推广到平面凸多边形定义的 Hilbert 几何，分析其覆盖特性，并给出三角剖分与 Hilbert 包的高效算法。
2023-12-10 cs.CG
Delaunay Triangulations of Points on Circles
欧氏平面上点集的德洛内三角剖分在包括计算几何在内的许多计算科学中是普遍存在的。德洛内三角剖分没有很好地定义，只要4个或更多的点是共环的，但因为它不是一个一般的情况下，这个困难通常是通过使用（符号或显式）扰动处理。作为一种替代方案，我们建议定义一个规范的三角剖分的一组共循环点，通过使用最大-最小角表征的德洛内三角剖分。只要不存在对称的四元组点，这种观点就可以得到一个定义良好且唯一的三角剖分。这个唯一的三角剖分可以通过一个非常简单的算法在准线性时间内计算。
2018-03-30 cs.CG math.CO
The Stretch Factor of the Delaunay Triangulation Is Less Than 1.998
设$S$是欧几里得平面上的有限点集。令$D$是$S$的德洛内三角剖分。$D$的{ \em拉伸因子}（也称为{ \em膨胀}或{ \em生成比}）是在$S$中的所有点$p$和$q$中，从$p$到$D$中的$q$的最短路径距离除以欧几里德距离$||pq||$的最大比。证明德洛内三角剖分的拉伸因子的紧界是计算几何中一个长期存在的公开问题。本文证明了平面上点集的德洛内三角剖分的拉伸因子小于$ρ= 1.998$，改进了Keil和Gutwin（1989）的最佳上界2.42。我们的界1.998优于Cui，Kanj和Xia（2009）在点集处于凸位置的特殊情况下的当前上限2.33。这个上限打破了障碍2，这很重要，因为以前没有已知平面图族在任何点集上的拉伸因子保证小于2。
2013-06-04 cs.CG
On the Embeddability of Delaunay Triangulations in Anisotropic, Normed, and Bregman Spaces
给定一个二维空间赋予的发散函数是凸的第一个参数，连续可微的第二个，并满足适当的正则性条件在Voronoi顶点，我们表明，自由度（没有断开的Voronoi地区）是足以确保Voronoi边和顶点也连接，和对偶是一个简单的平面图。然后，我们证明了直边对偶的无顶点沃罗诺伊图（网站作为第一个参数的分歧）总是一个嵌入的三角剖分。我们的证明所涵盖的分歧是Bregman分歧，各向异性分歧，以及严格凸$\mathcal{C}^1$规范（包括具有$1< p < \infty$的$L_p$规范）的所有距离。虽然Bregman图的{第一类}是简单的仿射图，和他们的（{加权}德洛内三角剖分）总是嵌入的，我们证明了无Bregman图的\emph{second kind}的总是嵌入的。
2016-01-09 cs.CG
Delaunay simplices in diagonally distorted lattices
Delaunay保护是德洛内三角剖分离退化有多远的度量。在这篇简短的论文中，我们研究的保护性质和其他质量措施的德洛内三角剖分剖分的一个家庭的格，这是通过扭曲的整数网格$\mathbb{R}^d$。我们表明，这个家庭的质量措施是最大化的一定的失真参数，并且对于这个参数，晶格是等距的permutahedral晶格，这是一个众所周知的对象在离散几何。
2019-03-07 cs.CG
The dilation of the Delaunay triangulation is greater than π/2
考虑平面上点集P的德洛内三角剖分T作为一个欧氏图，其中每条边的权是它的长度。长期以来，人们已经证明，任何对p，p \in P，在T中的膨胀是T中从p到p'的最短路径的长度与欧几里德距离之比。||pp'||，可以是至多π/2 \approx 1.5708。本文给出了如何构造伸缩量大于1.5810的凸位置点集和伸缩量大于1.5846的一般位置点集。此外，我们表明，一个足够大的一组点独立于任何分布将在极限接近最坏情况下的膨胀分布。
2010-06-02 cs.CG
Delaunay Triangulations in Linear Time? (Part I)
本文提出了一种新的、简单的随机算法，利用最近邻图构造德洛内三角剖分进行点定位。在适当的假设下，它在线性期望时间内运行，平面上的点具有多项式有界的扩展，即，如果最大和最小逐点距离之间的比率是多项式有界的。这也适用于在更高维度中具有有界扩展的点集，只要点的样本的德洛内三角剖分的预期复杂度在样本大小中是线性的。
2009-12-13 cs.CG cs.DS
Better Sampling Bounds for Restricted Delaunay Triangulations and a Star-Shaped Property for Restricted Voronoi Cells
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究改进了受限Delaunay三角剖分的采样界，证明ε≤0.3245的采样足够，同时证明受限Voronoi单元的星形性质，减少所需采样点数量。
2026-03-20 cs.CG
A Finite Algorithm for the Realizabilty of a Delaunay Triangulation
点集$P \subseteq \mathbb{R}^2$的\emph{Delaunay graph}是顶点集$P$和包含$\{p,p'\}$的边集的平面图，如果存在一个圆盘，其与$P$的交恰好是$\{p,p'\}$。因此，如果存在某个$P \subseteq \mathbb{R}^2$的Delaunay图的三角剖分，称为$P$的\emph{Delaunay triangulation}，它与$G$同构，则三角剖分图$G$是\emph{Delaunay realizable}。\textsc{Delaunay Realization}的目标是计算实现给定图$G$的点集$P \subseteq \mathbb{R}^2$（如果存在这样的$P$）。已知的算法不能求解\textsc{Delaunay Realization}，因为它们是非构造性的。Hiroshima等人曾提到，获得\textsc{Delaunay Realization}的构造性算法是一个开放问题。\cite{hiroshima2000}。我们设计了一个$n^{\mathcal{O}(n)}$ -时间构造性的\textsc{Delaunay Realization}算法.事实上，我们的算法输出具有{ \em integer}坐标的点集。
2022-10-08 cs.CG cs.DS
Bounded Degree Planar Geometric Spanners
给定一组$P$的$n$点在平面上，我们展示了如何计算在$O(n \log n)$时间的子图，其Delaunay三角剖分，具有最大度7，是一个强的平面$t$-$P$与$t =(1+ \sqrt{2})^2 *δ$，其中$δ$是跨度比的德洛内三角剖分。此外，给定一个德洛内三角剖分，我们给出了一个分布式算法，计算相同的有界度平面三角剖分在O（n）的时间。
2010-03-25 cs.CG
Computing the Intrinsic Delaunay Triangulation of a Closed Polyhedral Surface
LIGM, CNRS, Université Gustave Eiffel（拉格朗日力学与计算实验室，法国国家科学研究中心，古斯塔夫·埃菲尔大学）
本文提出一种算法，用于计算闭合多边形曲面的德劳内三角化，其顶点为曲面的奇点。算法时间复杂度与三角形数量及门户多边形的长宽比的对数成正比，并证明了对数依赖性是不可避免的。
2026-03-25 cs.CG
Greedy is as Good as Delaunay (Almost)
设S是平面点集。Krznaric和Levcopoulos证明了给定S的德洛内三角剖分DT（S），可以在线性时间内找到贪婪三角剖分GT（S）。我们提供了这个结果的（部分）逆：给定GT（S），可以在线性期望时间内计算DT（S）。因此，这些结构基本上是等同的。为了得到我们的结果，我们推广了Krznaric和Levcopoulos的另一种算法，一旦DT（S）已知，就可以在线性时间内找到S的层次聚类。我们表明，他们的算法仍然（几乎）正确的任何三角有界扩张，即，任意两点之间的最短路径距离接近它们的欧几里得距离的三角剖分。然而，一般来说，所得到的运行时间可能是超线性的。尽管如此，我们可以证明贪婪三角剖分的性质足以保证线性时间界。
2013-02-26 cs.CG
Dense point sets have sparse Delaunay triangulations
有限点集的扩展是最长和最短成对距离之间的比率。证明了R^3中任意n点集的德洛内三角剖分的复杂性为O（D^3）.对于所有D = O（sqrt{n}），这个界在最坏情况下是紧的。特别地，任何稠密点集的德洛内三角剖分都具有线性复杂性.我们还推广这个上界的球，工会的几个密集的点集，和均匀的光滑表面的样本的k层系统的定期三角剖分。另一方面，对于任意n和D=O（n），我们构造了一个复杂度为Omega（nD）的正则三角剖分，其n个顶点扩展了D。
2002-11-08 cs.CG cs.DM
Optimal local routing on Delaunay triangulations defined by empty equilateral triangles
我们提出了一个确定性的本地路由算法，保证找到一条路径之间的任何一对顶点之间的半- $θ_6$ -图（半- $θ_6$ -图是等价的德洛内三角剖分的空区域是一个等边三角形）。路径的长度最多是顶点对之间的欧几里得距离的$5/\sqrt{3} \approx 2.887$倍。此外，我们表明，没有本地路由算法可以实现更好的路由比，从而证明我们的路由算法是最佳的。这有点令人惊讶，因为半$θ_6$图的生成比是2，这意味着即使总是存在一条长度至多为欧几里得距离两倍的路径，我们也不能总是在本地路由时找到这样的路径。由于每一个三角形可以嵌入在平面上作为一个半$θ_6$ -图使用$O(\log n)$位每顶点坐标通过Schnyder的嵌入方案（SODA 1990），我们的结果提供了一个有竞争力的本地路由算法，为每个这样的嵌入三角形。最后，我们展示了如何我们的路由算法可以适应于提供路由比的$15/\sqrt{3} \approx 8.660$上的两个有界度的子图的半- $θ_6$ -图。
2014-09-23 cs.CG
Minimal Delaunay triangulations of hyperbolic surfaces
受双曲曲面的德洛内三角剖分研究的启发，本文研究了双曲曲面的最小顶点数问题。首先，我们证明了亏格$g$的每一个双曲曲面都有一个带$O(g)$顶点的单纯德洛内三角剖分，其中边由距离路径给出。然后，我们将构造一类双曲曲面，对于这类曲面，这个界的阶是最优的。最后，为了给出一个一般的下界，我们将证明亏格为$g$的拓扑曲面的单形三角剖分的顶点数的$Ω(\sqrt{g})$下界对于双曲曲面也是紧的。
2020-11-19 cs.CG math.CO math.GT
Constructing Intrinsic Delaunay Triangulations from the Dual of Geodesic Voronoi Diagrams
内禀德洛内三角剖分（IDT）是计算几何和计算机图形学中的一种基本数据结构。然而，除了一些理论上的结果，如存在性和唯一性，几乎没有取得进展计算IDT上的单纯曲面。到目前为止，构造IDT的唯一方法是边缘翻转算法，该算法迭代地将非Delaunay边缘翻转为局部Delaunay。虽然该算法在概念上很简单，并保证在有限步内停止，但它没有已知的时间复杂度。此外，边缘翻转算法可以产生非规则三角剖分，其包含自环和/或仅具有两个边缘的面。本文提出了一种在流形三角形网格上构造叉指变换的新方法。基于测地线沃罗诺伊图的对偶性，我们的方法可以保证得到的IDT是正则的。我们的方法有一个理论上的最坏情况下的时间复杂度$O(n^2\log n)$的网格与$n$顶点。我们观察到大多数真实世界的模型远离它们的德洛内三角剖分，因此，边翻转算法需要多次迭代来固定非德洛内边。相比之下，我们的方法是非迭代和不敏感的非Delaunay边缘的数量。从经验上讲，它在现实世界的模型上以线性时间$O(n)$运行.
2015-05-21 cs.CG cs.GR
An obstruction to Delaunay triangulations in Riemannian manifolds
Delaunay证明了欧氏空间$\mathbb{R}^m$的有限点集$P$的Delaunay复形三角化了$P$的凸包，只要$P$满足温和的一般性。沃罗诺伊图和Delaunay复形可以定义在任意的黎曼流形上。然而，Delaunay的一般性假设不再保证Delaunay复形将产生三角剖分;需要对$P$进行更强的假设。一个自然的假设是$P$足够密集。虽然在这个方向上的结果已被要求，我们表明，样本密度本身是不够的，以确保Delaunay复杂的三角形流形的尺寸大于2。
2016-12-09 cs.CG math.DG math.GT
Load-Balancing for Parallel Delaunay Triangulations
在$\mathbb{R}^D$中计算给定点集的德洛内三角剖分（DT）是计算几何的基本运算之一。最近，Funke和Sanders（2017）提出了一种分治DT算法，该算法通过重新三角化顶点的一个小子集（边界顶点）合并两个部分三角形，并通过并行哈希表查找有效地组合三个三角形。因此，输入点划分应该产生大致相等大小的分区，以实现良好的负载均衡，并且还产生少量的边界顶点以实现快速合并。在本文中，我们提出了一种新的划分步骤的基础上划分三角剖分的小样本的输入点。在合成和真实世界的数据集上的实验中，我们实现了几乎完美的平衡分区和小边界三角剖分。这几乎减少了一半的运行时间相比，非数据敏感的划分方案的输入展示了一个可利用的底层结构。
2019-02-20 cs.CG cs.DS
Order-2 Delaunay Triangulations Optimize Angles
本文将 Delaunay 三角剖分的局部角度性质推广到二阶，证明其二阶剖分在完备二级超三角剖分中字典序最优角度向量，且是极大情形中唯一满足局部角度性质的剖分。
2024-10-12 cs.CG math.CO math.MG
A probabilistic approach to reducing the algebraic complexity of computing Delaunay triangulations
在$\mathbb{R}^d$中计算德洛内三角剖分涉及评估所谓的球内谓词，该谓词确定点$x$是否位于外接$d+1$点$p_0,\ldots ,p_d$的球内、球上或球外。该谓词简化为在点$x, \, p_0,\, \ldots,\, p_d$的坐标中计算次数为$d+2$的多元多项式的符号。尽管在精确几何计算方面取得了很大的进展，但多项式的次数随着$d$的增加而增加，这一事实使得对这种多项式的符号的评估存在问题，除非在非常低的维度上。在本文中，我们提出了一种新的方法，是基于证人复杂，弱形式的Delaunay复杂介绍了卡尔森和德席尔瓦。证明复形$\mathrm{Wit} (L,W)$由度量空间$X$中的两个集合$L$和$W$定义：一个有限的点集合$L$，在其上建立复形，以及一个证明集$W$，用作$X$的近似。de Silva的一个基本结果指出，如果$W=X=\mathbb{R}^d$，则$\mathrm{Wit}(L,W)=\mathrm{Del} (L)$。本文给出了当$W$是有限集时$L$上证明复形与Delaunay三角剖分重合的条件，并引入了一种新的扰动格式来计算接近$L$的扰动集$L'$，使得$\mathrm{Del} (L')= \mathrm{wit} (L', W)$ .我们的扰动算法是Lovász局部引理的Moser-Tardos构造性证明的几何应用。我们使用的唯一数值…
2015-05-20 cs.CG
From Constrained Delaunay Triangulations to Roadmap Graphs with Arbitrary Clearance
Montefiore Institute（蒙特菲奥雷研究所）；University of Liège（列日大学）
本文研究二维空间中存在多边形障碍物的路径规划问题。我们专门解决的问题，建立一个路线图，也就是说，一个抽象的表示所有的路径，可以潜在地遵循周围的一组障碍。我们的解决方案包括在约束德洛内三角剖分，旨在生成一个路线图适合规划路径与任意间隙的原始细化算法。换句话说，可以指定到障碍物的最小距离，并且如果修改该距离，则不必重新计算图形。与其他解决方案相比，我们的方法具有更简单，效率更高的优点。
2016-06-07 cs.CG cs.RO
Anisotropic triangulations via discrete Riemannian Voronoi diagrams
各向异性三角剖分的构造在诸如偏微分方程的数值求解和曲面的图形表示等方面有着广泛的应用。为了以实际的方式解决这个众所周知的难题，我们引入了离散黎曼沃罗诺伊图，一种近似黎曼沃罗诺伊图的离散结构。这种结构已被实现，并显示出良好的三角剖分在$\mathbb{R}^2$和嵌入在$\mathbb{R}^3$的表面上，详细介绍了我们的实验同伴论文。在本文中，我们研究我们的结构的理论方面。给定一个具有黎曼度量的整环$Ω$中的有限点集$\cal P$，我们比较了$\cal P$的离散黎曼Voronoi图和它的黎曼沃罗诺伊图.这两个图都有对偶结构，称为离散黎曼Delaunay复形和黎曼Delaunay复形。我们提供保证这些对偶结构相同的条件。然后，它遵循从以前的结果，离散的黎曼Delaunay复形可以嵌入在$Ω$在充分的条件下，导致各向异性三角与弯曲的单形。此外，我们表明，在类似的条件下，这种三角剖分的单形可以拉直。
2017-03-19 cs.CG
Upper and Lower Bounds for Competitive Online Routing on Delaunay Triangulations
考虑一个加权图G，其中顶点是平面中的点，边是线段。每条边的权重是其两个端点之间的欧几里得距离。G上的一个路由算法有一个竞争比c，如果该算法产生的从任意顶点s到任意顶点t的路径长度至多是G中从s到t的最短路径长度的c倍。如果路径的长度是最多c倍的欧几里德距离从s到t，我们说，G上的路由算法的路由比为c。我们提出了一个在线路由算法的德洛内三角剖分与竞争和路由比为5.90。这改进了最著名的算法，具有竞争力和路由比15.48。该算法是Chew在L1-德洛内三角剖分上的确定性1-局部路由算法的推广。当一个消息沿着我们算法产生的路由路径时，它的头只需要包含s和t的坐标。这是一个改进，目前已知的竞争路由算法上的德洛内三角剖分，其中的消息的头部必须另外包含沿路由路径的距离的部分和。我们还表明，任何确定性的k-本地算法的路由比至少是1.70的德洛内三角剖分和2.70的L1-德洛内三角剖分。在L1-德洛内三角剖分的情况下，这意味着即使在两个点x和y之间存在长度至多为2.61的路径|[xy]|（此处|[xy]|表示线段的长度[xy]），并不总是能够沿着长度小于2.70的路径路由消息|[xy]|.从这些边界上的路由比，我们得出的竞争比的下限为1.23德洛内三角剖分和1.12 L1-德洛内三角剖分。
2015-01-08 cs.CG cs.DM cs.DS
Kinetic Stable Delaunay Graphs
我们考虑的问题，保持欧几里德Delaunay三角剖分$\DT$的一组$P$的$n$移动点在平面上，沿代数轨迹的恒定描述的复杂性。由于在完整的$\DT$拓扑变化的数量上的最佳上限是接近立方的，我们试图保持它的一个合适的部分，这是不太易失性，但保留了许多有用的属性。我们引入了稳定Delaunay图的概念，它是Delaunay三角剖分的动态子图。稳定的Delaunay图（a）易于定义，（b）仅经历近似二次的离散变化，（c）在范数的小变化下是鲁棒的，以及（d）具有某些有用的性质。稳定Delaunay图（简称$\SDG$）是根据参数$α>0$定义的，并且由Delaunay边$pq$组成，其中$p$和$q$看到它们的Voronoi边$e_{pq}$的角度至少为$α$。我们证明了：（i）$\SDG$总是包含至少大约三分之一的Delaunay边;（ii）它包含$P$的$β$骨架，对于$β=1+Ω(α^2)$ ;（iii）它是稳定的，在这个意义上，它的边存活很长一段时间，只要连接$P$的（附近）点的片段的方向不改变太多;和（iv）稳定的Delaunay边保持稳定（与一个适当的重新定义的稳定性），如果我们用任何足够接近的范数取代欧几里德范数。特别地，我们可以通过多边形范数（即，具有$k=Θ(1/α)$的正则$k$ -边形）来近似欧几里德范数，并且通过在多边形范数下保持$P$的完整Delaunay三角剖…
2011-04-04 cs.CG
Neighborly inscribed polytopes and Delaunay triangulations
我们构造了一个大家族的相邻多面体，可以实现的所有顶点的边界上的任何光滑严格凸体。特别是，我们表明，有superexponentially许多组合不同的邻居多面体，承认实现上的领域。这些是不是循环多面体的可内刻相邻多面体的第一个例子，并且提供了可内刻多面体的组合类型的数量的当前最佳下界（其与多面体的组合类型的数量的当前最佳下界一致）。通过球极平面投影，这转化为（相邻）Delaunay三角剖分的组合类型的数量的超指数下界。
2015-06-24 cs.CG math.CO math.MG
Universality theorems for inscribed polytopes and Delaunay triangulations
我们证明了每一个准素基本半代数集同伦等价于一个多面体的内接实现集（直到莫比乌斯变换）。如果半代数集是开放的，那么，此外，我们证明了（同伦），它是一个收缩的实现空间的一些内接邻居（和单纯）多面体。我们还表明，所有的代数扩张$\mathbb{Q}$需要协调内接多面体。这些陈述表明内接多面体表现出Mnëv普适性现象。通过球极平面投影，这些定理直接转化为Delaunay细分的普适性定理。特别是，我们的结果意味着Delaunay三角剖分的可实现性问题是多项式等价的实数的存在性理论。
2014-06-30 cs.CG math.AG math.CO
Delaunay triangulations of generalized Bolza surfaces
波尔扎曲面可以看作是双曲平面的商，由庞加莱圆盘模型表示，在由双曲等距线产生的群的作用下，识别以原点为中心的正八边形的相对侧。我们考虑广义Bolza曲面$\mathbb{M}_g$，其中八边形被一个正$4g$ -边形取代，从而得到一个亏格$g$曲面.我们提出了一个扩展的Bowyer算法，这些表面。特别地，我们计算$\mathbb{M}_g$的收缩的值。我们还提出了算法计算小的点集$\mathbb{M}_g$，用于初始化鲍耶的算法。
2021-03-10 cs.CG math.GT
The Stretch Factor of Planar Delaunay Triangulations Is Nearly Determined
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明平面Delaunay三角剖分的伸展因子上界为1.65，通过Bellman表述和样条构造改进先前结果，缩小与下界的差距。
2026-10-22 cs.CG
Simplicial approximation to CW complexes with spherical Delaunay triangulations
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术学院）
本文提出基于球面德劳内三角化的细分方法，改进了传统单纯形近似在计算中的不足，通过将星条件分解为几何和组合问题，显著减少顶点数量，成功构造出与Grassmannian和Stiefel流形同调等价的单纯复形。
2026-03-12 cs.CG math.AT
Kinetic Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations under Polygonal Distance Functions
设$P$是$n$点的集合，$Q$是${\mathbb R}^2$中的凸$k$ -边形.我们详细分析了$P$的Voronoi图和Delaunay三角剖分结构的拓扑（或离散）变化，根据$Q$定义的凸距离函数，$P$的点沿着预先指定的连续轨迹移动。假设$P$的每个点沿着有界度的代数轨迹移动，我们建立了一个上界的$O(k^4nλ_r(n))$的拓扑变化的图所经历的整个运动的数量;这里$λ_r(n)$是一个$(n,r)$ -达文波特-Schinzel序列的最大长度，和$r$是一个常数，取决于代数度的运动的点。最后，我们描述了一个算法，有效地维护上述结构，使用动态数据结构（KDS）框架。
2014-04-18 cs.CG cs.DS math.MG
How To Place a Point to Maximize Angles
我们描述了一个随机算法，给定一组$P$的点在平面上，计算最佳位置插入一个新的点$p$，这样的德洛内三角剖分的$P\cup\{p\}$具有最大可能的最小角度。我们的算法的预期运行时间是最立方，提高了大致四次的时间，以前最好的已知算法。如果我们还在$P$中指定一组具有端点的非交叉线段，并坚持三角测量尊重这些线段，则它会减慢到略超立方，即，是点和线段的受约束德洛内三角剖分。
2014-01-06 cs.CG
On Kinetic Delaunay Triangulations: A Near Quadratic Bound for Unit Speed Motions
设$P$是平面中$n$点的集合，每个点以单位速度沿某条直线移动。我们得到一个几乎紧的上限$O(n^{2+ε})$，对于任何$ε>0$，在离散的变化，$P$的德洛内三角剖分$\mathbb{DT}(P)$的经验，在这个运动的最大数量。我们的分析是在一个纯粹的拓扑设置，我们只假设（i）任何四个点可以共圆最多三次，（ii）没有三个点可以共线超过两次;这些假设适用于单位速度运动。
2013-12-08 cs.CG cs.DS math.CO
Randomized HyperSteiner: A Stochastic Delaunay Triangulation Heuristic for the Hyperbolic Steiner Minimal Tree
School of Electrical Engineering and Computer Science, KTH Royal Institute of Technology（KTH皇家理工学院电气工程与计算机科学学院）；Amsterdam Machine Learning Lab (AMLab), University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学阿姆斯特丹机器学习实验室）；School of Engineering Sciences, KTH Royal Institute of Technology（KTH皇家理工学院工程科学学院）；Leiden Institute of Advanced Computer Science, Universiteit Leiden（莱顿大学莱顿高级计算机科学研究所）
本文提出Randomized HyperSteiner算法，通过引入随机性改进超几何Steiner最短树的计算，实验显示其在合成数据和真实数据中优于MST、Neighbour Joining和传统HyperSteiner方法。
2026-03-30 cs.AI cs.CG
Delaunay Triangulations with Predictions
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理和力学研究所）；Siebel School of Computing and Data Science, University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校赛博计算与数据科学学院）；Department of Computer Science, City St George’s, University of London（伦敦大学城市圣乔治学院计算机科学系）
该研究提出利用预测三角剖分快速计算Delaunay三角剖分的算法，针对不同设定优化时间复杂度。
2026-01-13 cs.CG cs.DS
Blocking Delaunay Triangulations from the Exterior
给定平面上两个不同的点集$P$和$Q$，如果$P$中没有两个点在$P\cup Q$的任何Delaunay三角剖分中相邻，则称$Q$为\emph{blocks} $P$。Aichholzer等人（2013）表明，一般位置的$n$点的任何集合$P$都可以被$\frac{3}{2}n$点阻塞，凸位置的$n$点的每个集合$P$都可以被$\frac{5}{4}n$点阻塞。此外，他们还证明，如果$P$处于凸位置，则$n$阻塞点是充分和必要的。Biniaz（2021）最近证明了这种必要性，他证明了一般位置上的每个点集都需要$n$阻塞点。在这里，我们调查的变体，其中阻塞点只能位于外的凸壳的给定点集。我们证明了$\frac{5}{4}n-O(1)$这样的\emph{exterior-blocking}点有时是必要的，即使给定的点集是在凸的位置。因此，我们得到，如果Aichholzer等人的猜想对原始设置是正确的，那么某些点配置$P$的最小阻塞集必须包含$P$的凸包内的点。
2022-10-21 cs.CG cs.DM
