Infinitely many arithmetic hyperbolic rational homology 3-spheres that bound geometrically
Leonardo Ferrari, Alexander Kolpakov, Alan W. Reid
在本文中，我们提供了算术双曲3-流形的第一个例子，这是有理同调球和几何约束紧或尖双曲4-流形。
In this paper we provide the first examples of arithmetic hyperbolic 3-manifolds that are rational homology spheres and bound geometrically either compact or cusped hyperbolic 4-manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on surgery obstructions and hyperbolic integer homology spheres
奥克兰给出了两个例子，不可约的整数同调领域（一个环形和一个双曲），这不是外科手术的结在三个领域。使用Heegaard弗洛尔同调，作者和Karakurt提供了无穷多个小塞弗特纤维的例子。在本文中，我们将这些结果推广到无穷多个双曲型例子，以及无穷多个具有任意JSJ分解的例子。
Non-splittability of the rational homology cobordism group of 3-manifolds
有理同调三球面T的光滑有理同调配边群包含由具有第一同调p-挠的3-流形生成的子群T_p，其中p是素数. Rochlin定理和规范论方法证明了T_p的直和包含在T中具有无限生成核。我们使用Heegaard-Floer方法来证明上核是无限生成的。在连接形式的维特群的层次上，在拓扑范畴中，包含是同构的。一个应用是示范失败的三维的代数和高维定理Stoltzfus关于主要分裂的结和谐组。我们还建立在第二作者的工作与Hedden和Ruberman证明了同调配边群的有理同调三个领域的限制拓扑有理同调4球仍然是无限生成的，当模出的同调配边群的积分同调3球。
Hyperbolic Knots and Torsion in Khovanov Homology
本文证明了：如果$S^3$中存在一个纽结在其Khovanov同调中具有$\mathbb{Z}_m$挠率，则存在无穷多个双曲纽结和无穷多个素伴纽结在其Khovanov同调中具有$\mathbb{Z}_m$挠率.作为应用，我们给出了已知的第一个例子，双曲结和链接奇（和其他非$\mathbb{Z}_2$扭转）在其Khovanov同源。
Some examples of aspherical 4-manifolds that are homology 4-spheres
本文对R. Kirby的问题列表通过构造无穷多个同调4-球面的非球面4-流形来解决
Homology spheres and property R
我们提出了无穷多个包含两个不同结点的同调球面，它们的0-运算是$S^1 \times S^2$。这解决了Kirby和Melvin在1978年提出的一个问题。
Non L-space integral homology 3-spheres with no nice orderings
本文给出了无穷多个非L-空间不可约整数同调3-球面的基本群不具有非平凡$\widetilde{PSL_2(\mathbb{R})}$表示的例子。
Some hyperbolic three-manifolds that bound geometrically
一个闭连通双曲$n$ -流形几何有界，如果它等距于紧致双曲$(n+1)$ -流形的测地线边界. A. Reid和D.朗用算术方法证明了存在无穷多个流形，它们在每个维度上都有几何上的界限。我们在这里构造无穷多个明确的例子，在维$n=3$使用直角十二面体和$120$ -细胞和一个简单的着色技术介绍了M。Davis和T.雅努斯凯维奇也就是说，对于每一个$k\geqslant 1$，我们建立了一个可定向的紧凑的封闭$3$ -流形镶嵌$16k$直角十二面体，界定$4$ -流形镶嵌$32k$直角$120$ -细胞。这个族的一个显著特征是$4$ -流形的体积与其边界分量的体积之比是常数，特别是有界的。
A geometric description of the homology of surface bundles
本文用holonomy映射几何地描述了曲面丛的全空间中的同调类。我们处理的情况下，基面是封闭的或有一个边界组件。我们取代了以前版本的错误定理的一些意见的表面丛的同源性，并解释了为什么我们以前的策略失败。
Surgery obstructions and Heegaard Floer homology
利用陶布斯的周期性端点定理，奥克兰给出了环形和双曲不可约整数同调球面的例子，这些球面不是三球面中的结。我们对Heegaard弗洛尔同调中的一个纽结进行了同调球面的处理，给出了一个障碍.这是用来构建无穷多个小塞弗特纤维的例子。
A note on PL-disks and rationally slice knots
我们给出了无穷多个流形结对（Y，J）的例子，使得Y约束一个整数同调球，J不约束任何整数同调球中的非局部平坦PL盘，但J约束一个有理同调球中的光滑嵌入盘。证明依赖于对合Heegaard弗洛尔同调的形式性质。
Existence of Taut foliations on Seifert fibered homology 3-spheres
本文讨论了三维流形中张紧叶理的存在性问题。自从David Gabai的贡献以来，我们知道具有非平凡第二同调群的闭三维流形允许一个拉紧的叶理。本文的核心部分是研究Seifert纤维同调3-球面。如果它们是积分的或有理但非积分的同调3-球面，则结果完全不同。关于积分同调3-球面，我们证明了除了3-球面和Poincaré 3-球面之外，所有的3-球面都有紧的叶理。关于非整同调3-球面，我们证明了有无穷多个球面允许有拉紧叶理，也有无穷多个球面不允许有拉紧叶理。此外，我们表明，几何形状不确定存在的紧张叶理的非整塞弗特纤维同源3-球。
Surgery obstructions for knots in integer homology spheres
将Hom-Karakurt-Lidman关于S^3中纽结手术的Heegaard Floer同调障碍推广到所有整数同调球面Y的正负1/m手术，用于检验无穷多小Seifert纤维化和双曲例子，并推导光滑配边下b_2(W)的下界。
Branched covers and rational homology balls
本文证明三维球面纽结合痕群中存在由二阶元素生成的无限子群，其纽结的分支覆盖界定有理同调球，并揭示典范同态核包含无限生成的二挠子群。
Infinitely many knots admitting the same integer surgery
通过环形扭曲的结的构造已被用于创建通过Dehn手术产生相同流形的结族。之前的例子都涉及Dehn手术，其中手术斜率是2的整数倍。本文证明了对任意整数$n$，在$S^3$中存在无穷多个不同的纽结，使得在这些纽结上的$n$ -手术产生相同的流形.特别是，当$|n|=1$同源球来自这些手术时。此外，当$n \neq 0$时，随着沿环的扭曲数量的增加，所构造的结的桥数趋于无穷大。
Partial twists and exotic Stein fillings
我们给出了一个算法，产生无穷多个成对的异国情调的Stein填充相同的接触3-流形，应用积极的允许Lefschetz纤维化的磁盘。作为推论，对于一个大类Stein填充，我们实现了每个填充的拓扑不变量（即基本群、同调群、边界的同调群和交形式）为无穷多个两两奇异Stein填充的拓扑不变量.此外，应用该算法，我们产生各种接触3支亏格流形，其中每一个承认无限多对异国斯坦填充。
Hidden torsion, 3-manifolds, and homology cobordism
本文继续我们的探索同调配边的3-流形使用我们最近的结果Cheeger-Gromov rho-不变量相关联的顺从表示。我们在三维流形群中引入了一种新的挠，我们称之为隐挠，以及一个我们称之为局部隐挠的代数逼近。构造了无穷多个在超限下中心子群中具有局部隐挠的双曲三维流形。通过实现Cheeger-Gromov不变量在顺从的群体，我们表明，我们的双曲3-流形是不是成对的同调协边，但仍然无法区分任何先前已知的同调协边不变量。此外，我们还回答了T。D. Cochran和M. H.弗里德曼
Lagrangian Surfaces in a Fixed Homology Class: Existence of Knotted Lagrangian Tori
在本文中，我们证明了存在单连通辛4-流形，它包含无穷多个纽结拉格朗日环面，即环面的拉格朗日嵌入是同伦的，但不是同位素的。此外，它们所表示的同调类可以被假定为非平凡的和本原的。这回答了Eliashberg和Polterovich的一个问题。
Floer homology and non-fibered knot detection
本文首次证明纽结 Floer 同调与 Khovanov 同调能探测非纤维化纽结，核心方法是对最高 Alexander 分级下同调为 2 维的亏格 1 纽结进行完整分类，并推广了 Gabai 在 Dehn 手术中的相关结果。
The homology of moduli spaces of 4-manifolds may be infinitely generated
针对单连通闭流形映射类群有限生成在4维失效的问题，证明存在单连通闭光滑4-流形的映射类群非有限生成，且对任意$k>0$，存在4-流形使$H_k(B\text{Diff}(X);\text{Z})$非有限生成，贡献了4维流形模空间同调的新结果。
Infinitely many knots admitting the same integer surgery and a 4-dimensional extension
证明了对任意整数$n$，在$S^3$中存在无穷多个不同的纽结，使得对这些纽结的$n$ -手术产生相同的3-流形.特别是，当$|n|=1$同源球来自这些手术时。这回答了Kirby问题列表上的问题3.6（D）。我们构建两个家庭的例子，第一个通过扭曲的方法沿着一个环和第二个通过这个过程的推广。后一类也解决了问题3.6（D）的一个更强的版本，即对于任何整数$n$，存在无穷多个相互不同的结，使得沿着每个带框架$n$的2-柄加法产生相同的4-流形。
Zero-surgery characterizes infinitely many knots
本文证明 0 是无穷多个亏格 1 纽结的刻画斜率，推广了此前仅对少数纽结成立的零手术刻画结果。
Knot concordance and homology sphere groups
研究了有理同调球面群的两个同态。若$ψ$表示整同调球面群的包含同态，则利用Lisca的工作，我们证明了$ψ$的象与由透镜空间生成的有理同调球面群的子群平凡相交.作为推论，给出了$ψ$的上核是无限生成的新证明，并暗示了2-桥纽结的连通和$K$与行列式为1的纽结和谐当且仅当$K$是光滑切片的.进一步，如果$β$表示由纽结的双分支覆盖定义的纽结和谐群的同态，通过分析双分支覆盖所有有界有理同调球的纽结族的Tristram-Levine签名，证明了$β$的核包含一个$\mathbb{Z}^{\infty}$和项.
Hyperbolic Integral Homology Spheres and Binary Icosahedral Representations
本文研究双曲整同调球面到二元二十面体群$2I$的表示，通过关联Larsen商维数赋予其几何意义，证明双曲3-流形商维数仅为2或3且各有无穷实例，明确两类实例的构造与性质。
One boundary, infinitely geometries
该研究针对三维整同调球面N，构造出具有相同万有覆盖、相同格罗莫夫边界但基本群分属无穷多拟等距类的4维拓扑负曲率流形，揭示4维负曲率几何结构更丰富。
L-space surgery and twisting operation
一个3-球面中的纽结被称为L-空间纽结，如果它允许一个非平凡的Dehn手术产生一个L-空间，即一个有理同调3-球面，具有最小可能的Heegaard弗洛尔同调。给定一个纽结K，取一个无纽结的圆c，沿c扭转Kn次，得到一个扭转族{Kn}。给出了{ K_n }包含无穷多个L-空间纽结的一个充分条件。作为一个应用，我们证明了对于每个环面纽结和双曲Berge纽结K，我们可以取c使得扭曲族{ K_n }包含无穷多个双曲L-空间纽结。我们还证明了双曲L-空间纽结的扭曲家庭，其中每个成员的隧道数大于1。
Non-integer characterizing slopes and knot Floer homology
针对3-球面纽结仅有有限非整数非特征斜率的猜想，验证了满足纽结Floer同调简单性条件的纽结（含交错、L-空间等类）的该性质，并证明任意纽结几乎所有|q|≥3的斜率为特征斜率，L-空间类纽结有无限整数特征斜率。
Three-manifolds, virtual homology, and group determinants
本文应用表示论研究了以环面为边界的紧致3-带边流形的有限正则覆盖的等变Dehn-填充的同调性。这产生了一个多项式，它给出了用于Dehn填充的实心环面所携带的同调部分的秩。多项式是Frobenius和Dedekind研究的群行列式的对称化形式。作为推论，每一个这样的双曲三维流形都有无穷多个虚哈肯-德恩-填充。
On Alexander modules and Blanchfield forms of null-homologous knots in rational homology spheres
本文给出了有理同调球面上零同调纽结的Alexander模的一个分类。我们刻画了具有Blanchfield形式$ϕ$的模A，以及使得存在唯一的$(A,ϕ)$同构类的模A，并证明了对于其它模A，存在无穷多个这样的类.所有这些$(A,ϕ)$都是通过有理同调球面上的显式纽结来实现的。
Distinguishing exotic $\mathbb{R}^4$'s with Heegaard Floer homology
通过Heegaard Floer同调区分exotic $\mathbb{R}^4$'s，证明不同切结绳生成的exotic $\mathbb{R}^4$'s不相抵，并重新证明Y×$\mathbb{R}$具有无限多个光滑结构。
Surgery obstructions and character varieties
我们提供了无穷多个有理同调3-球的重量为1的基本群，不产生Dehn手术结$S^3$。与以前已知的例子相比，我们的证明不需要任何规范理论或弗洛尔同调。相反，我们利用基本群的$SU(2)$特征标簇，这对于这些流形来说特别简单：它们都是$SU(2)$ -循环的，这意味着每个$SU(2)$表示都有循环像。
Simple embeddings of rational homology balls and antiflips
设$V$是$2$ -球面负链的正则邻域（即循环商奇点的例外因子），$B_{p,q}$是光滑嵌入$V$的有理同调球.假设嵌入是简单的，即相应的有理爆破可以通过$V$的普通爆破序列来获得。然后，我们表明，这种简单的嵌入来自半稳定的极小模型程序（MMP）的$3$维复代数簇在一定的温和条件下。也就是说，可以通过应用于圆盘上的平凡族的反翻转的有限序列，在$V$中找到所有简单嵌入的$B_{p,q}$。作为应用，对于自相交等于$-2$的$2$ -球链，简单嵌入是不可能的。我们还证明了在$2$ -球面的（几乎所有）负链的正则邻域中存在（无穷多）对不相交的$B_{p,q}$的光滑嵌入.一路上，我们描述了MMP如何给出（无限多）对不相交的有理同调球$B_{p,q}$嵌入爆破有理同调球$B_{n,a} # \bar{\mathbb{CP}^2}$（通过某些除数收缩），并在某些循环商表面奇点的米尔诺纤维。这推广了[Khodorovskiy-2014]，[H.帕克-J帕克-D Shin-2016]，[Owens-2017]通过统一的观点。
On infinitely generated homology of Torelli groups
本文证明了当 $g\ge 3$ 且 $2g-3\le k\le 3g-6$ 时 Torelli 群 $\mathcal{I}_g$ 的第 $k$ 个整同调群包含无限秩自由阿贝尔子群，并基于谱序列探讨了超椭圆对合作用与阿贝尔循环生成子群等性质。
Cobordism category of plumbed 3-manifolds and intersection product structures
本文引入一类具有一定代数态射的分次交换环，研究了垂直3-流形的配边范畴。特别是，我们定义了一个非结合分配代数，给出了必要条件的抽象态射之间的同调的两个铅垂3-流形几何实现的协边。本文还考虑了同调配边幺半群，利用w-不变量给出了同调3-球面属于某个同调3-球面所对应的惯性群的必要条件.
Geometric Bordisms of the Accola-Maclachlan, Kulkarni and Wiman Type II Surfaces
本文证明 Accola-Maclachlan 曲面（任意亏格）及 Wiman 类型 II 和 Kulkarni 曲面（特定亏格）可几何界定紧致可定向双曲 3-流形，并提供显式测地嵌入，为非算术情形给出例子。
Gevrey series in quantum topology
我们的目的是证明两个对量子拓扑学有重要意义的形式幂级数是Gevrey。这些系列是Kashaev不变量的一个结（重新制定的Huynh和第二作者）和Gromov规范的LMO的一个完整的同源3球。由此可知，与一个单李代数和一个同调球面相关联的幂级数是Gevrey。与分析的情况相反，我们的形式幂级数不是多项式系数的微分方程的解。第一作者已经证实（并在某些情况下证明，在联合工作与Costin），我们的正式幂级数有复活的博雷尔变换，几何有趣的一组奇点。
The signature of geometrically decomposable aspherical 4-manifolds
本文构造了具有非零符号差的几何可分解非球面4流形，证明其满足Bogomolov--Miyaoka--Yau型不等式，并给出达到等号的非几何例子及更高图4流形中严格不等式的无穷多实例。
Fillings of genus-1 open books and 4-braids
我们证明了存在支集亏格为1的切触3-流形，它允许无穷多个Stein填充，但不允许任意大的Stein填充。这些Stein填充产生于具有不同同调群的亏格-1容许Lefschetz纤维化，所有填充支持边界接触3-流形的固定最小亏格开书。与此相反，我们观察到，只有200多种可能性的同调群的Stein填充给定的接触3-流形的支持亏格为零。我们还表明，有4股辫子承认无限多个不同的Hurwitz类的拟正因子分解，特别是产生一个无限家庭的打结复杂的解析annuli在4球绑定相同的横向链接到横向合痕。这些实现了最小的可能的例子中的边界组件的数量属-1映射类和数量的股辫可以有无限多的积极/quasipocitative因式分解。
Small symplectic caps and embeddings of homology balls in the complex projective plane
本文提出小辛盖的柄体构造，据此得到有理同调球在$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$中辛嵌入的柄体描述，首次给出闭辛4-流形的无穷多辛柄体分解实例，并为$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$的几乎环面纤维化提供新拓扑解释。
The Magnus representation and homology cobordism groups of homology cylinders
紧致流形上的同调柱面是流形的两个副本之间的同调配边以及边界参数化。研究了同调柱面的同调配边群的交换矩阵。对于一般曲面上的同调圆柱，Cha，Friedl和Kim利用Reidemeister挠不变量证明了它们的同调配边群具有无穷生成的交换商群.在本文中，我们首先研究他们的交换等价再次使用另一个不变量称为马格努斯表示。然后，我们将从Magnus表示中得到的机制应用到高维情形，证明了作为曲面推广的一系列流形上的同调柱面的同调配边群具有大的交换项.在证明中，自由群及其自同构群的同调局部化（称为无圈闭包）起着重要的作用，我们的结果也从群论的角度提供了关于这些群的一些信息.
Bounds for entries of $γ$-vectors of flag homology spheres
我们提出了一些枚举和结构的结果旗同源球。对于旗同调球$Δ$，我们证明了它的$γ$ -向量$γ^Δ=(1,γ_1,γ_2,\ldots)$满足：\begin{align*} γ_j=0,\text{ for all } j>γ_1, \quad γ_2\leq\binom{γ_1}{2}, \quad γ_{γ_1}\in\{0,1\}, \quad \text{ and }γ_{γ_1-1}\in\{0,1,2,γ_1\}, \end{align*}支持Nevo和Petersen的一个猜想.进一步，我们刻画了$Δ$在极端情况下的可能结构。作为一个应用，所使用的技术产生了无限多个标志平衡单纯复形的$f$ -向量，这些向量不是标志同源球（任何维度）的$γ$ -向量;这些是这种类型的第一个例子。此外，我们证明了一个标志模拟Perles' 1970年定理$k$ -pleteta的多面体与“少数”顶点，具体地说：组合类型的数目$k$ -pleteta的标志同源球与$γ_1\leq b$，任何给定的尺寸，是有界的独立的维度。
Hyperbolic 3-manifolds with uniform spectral gap for coclosed 1-forms
本文构造了体积趋于无穷且具有一致余闭1-形式谱间隙的双曲整数同调球面序列，并证明有理同调球面序列在此条件下挠同调必呈指数增长。
Invariants for Lagrangian tori
我们定义了一个简单的不变量的嵌入式nullhomologous拉格朗日环面和使用这个不变量来表明，许多辛4-流形有无穷多个两两辛不等价的nullhomologous拉格朗日环面。我们进一步证明，对于一个大类的例子，lambda（T）实际上是一个C-无穷不变量。此外，这个不变量是用来表明，许多辛4-流形有非平凡的同源类表示的无穷多对不等价的拉格朗日环面，一个结果首先证明了S Vidussi的同伦K3-表面从结手术使用三叶结在[拉格朗日曲面在一个固定的同调类：存在的打结拉格朗日环面，J. Diff。（看起来）。
A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariant for integral homology spheres
我们构造了整同调球面M的一个不变量J_M，其值在多项式环Z[q]的一个完备\hat{Z[q]}中，使得在每个单位根处的求值给出M在单位根处的SU（2）Witten-Reshetikhin-Turaev不变量τ_M（M）.因此J_M统一了M的所有SU（2）Witten-Reshetikhin-Turaev不变量。因此，τ_n（M）是一个代数整数.此外，它遵循τ_∞（M）作为一个函数在ε上的行为就像一个“解析函数”定义在单位根的集合上。也就是说，所有单位根的τ_m（M）由任意单位根上的泰勒展开式和无穷多个素数幂阶单位根的值决定。特别地，所有单位根的τ_∞（M）由Ohtsuki级数确定，它可以看作是q=1时的泰勒展开式。
Examples of symplectic non-leaves
本文研究了闭流形上余维1辛叶状结构可实现为叶的流形条件，通过引入强几何有界性，给出了可实现为光滑叶但无法实现为辛叶的流形实例，并探讨了欧几里得空间无穷点吹胀的辛叶实现性。
A note on the existence of {k, k}-equivelar polyhedral maps
一个多面体映射称为$\{p, q\}$ -等价的，如果每个面都有$p$边，并且每个顶点都属于$q$面。1983年证明了存在无穷多个几何可实现的$\{p, q\}$ -等价多面体映射，如果是$q > p = 4$，$p > q = 4$或$q - 3 > p = 3$ . 2001年证明了存在无穷多个$\{4, 4\}$ -和$\{3, 6\}$ -等价多面体映射。1990年，证明了存在$\{5, 5\}$ -和$\{6, 6\}$ -等价多面体映射。本文构造了一些例子，证明了对于每个$k \geq 5$，存在无穷多个自对偶$\{k, k\}$ -等价多面体映射.对所有奇素数$p$构造了点极小非奇异$\{p, p\}$ -模式。
Wild knots in higher dimensions as limit sets of Kleinian groups
本文对$n=2,3,4$和5构造了无穷多个野纽结$\mathbb{S}^{n}\hookrightarrow\mathbb{S}^{n+2}$，每个野纽结都是几何有限Kleinian群的极限集.我们还描述了它们的一些性质
Homologous non-isotopic symplectic tori in a K3-surface
对于K ~ 3-曲面E（2）中的同调类无限族的每个成员，我们构造了表示这个同调类的无限多个非同位素辛环面.这个族有一个无限的原始类子集。我们还解释了这些环面如何作为同调辛子流形非合痕地嵌入到包括椭圆曲面E（n）（n>2）在内的许多其他辛4-流形中。
Examples of cohomology manifolds which are not homologically locally connected
Bredon构造了一个关于奇异同调的非同调局部连通的2维紧致上同调流形。在本文中，我们构造无穷多个这样的例子（这是另外的度量化空间）在所有剩余的维度$n \ge 3$。
Witt invariants from q-series $\hat{Z}$
给出了三维流形的Witt不变量与$\hat{Z}$ -不变量之间的关系.它提供了另一种方法来计算维特不变量的3-流形，这是最初定义的几何在四维。我们用这种方法分析了包括双曲流形在内的各种同调球面。
Homology transfer products on free loop spaces: orientation reversal on spheres
我们考虑紧致光滑流形$M$的Sobolev类$H^1$的环空间$ΛM:=H^1(S^1,M)$，即$M$的自由环空间.我们把$ΛM/G$看作是$S^1$的线性重参数化作用的有限子群，其中$G$是$O(2)$的有限子群。我们利用转移映射$tr:H_*(ΛM/G)\rightarrow H_*(ΛM)$的存在性通过Chas-Sullivan环积定义了$ΛM/G$上的同调积。我们称这种产品为$P_G$转移产品。反转取向的对合$\vartheta:ΛM\rightarrow ΛM$，$ \vartheta\big(γ(t)\big):=γ(1-t)$，是我们特别感兴趣的。我们计算$H_*(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$，$n>2$，和产品$P_\vartheta:H_i(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\times H_j(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\rightarrow H_{i+j-n}(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$相关的方向反转。合理地$P_\vartheta$可以实现“几何”使用的等价类的循环的级联。当$G\subset S^1\subset O(2)$不“包含”取向反转时，$ΛS^n/\vartheta$的同源性与$ΛS^n/G$的同源性之间存在质的差异。这可能是有趣的，关于$S^n$…
Morse theory for Lagrange multipliers and adiabatic limits
给定紧致流形$M$上的两个Morse函数$f, μ$，研究了$M \times {\mathbb R}$上的Lagrange乘子函数将$(x, η)$传递给$f(x) + ημ(x)$的Morse同调.在$M \times {\mathbb R}$上取一个产品指标，并通过因子$λ^2$重新调整其${\mathbb R}$分量。我们表明，一般来说，对于大$λ$，Morse Smale-Witten链复合物是同构的$f$和度量限制到${μ^{-1}(0)}$，分级移动一个。另一方面，令$λ\to 0$，我们得到另一个链复形，它是几何上完全不同的，但有相同的同源性的奇异同调$μ^{-1}(0)$和它们之间的同构提供了同伦通过改变$λ$。我们的证明包含了Banach流形上的隐函数定理和几何奇异摄动理论。
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