The Kolmogorov backward equation for stochastic Burgers equations and for stochastic 2D-Navier-Stokes equations
在这本书中，我们建立在适当的假设下的唯一性和存在的黏性解的Kolmogorov向后方程的随机偏微分方程（SPDE）。此外，我们还证明了这个解是相应的SPDE的半群。这将Feynman-Kac公式推广到SPDE，并在Kolmogorov方程的解和相应的SPDE的解之间建立了联系。与文献相反，我们只假设漂移的非线性部分在有界集上是Lipschitz连续的（而不是全局Lipschitz连续的），并且我们允许扩散系数是退化的和非常数的。在这本书的最后一部分，我们将我们的结果应用到随机Burgers方程和随机2-D Navier-斯托克斯方程。
2022-04-11 math.PR
Kolmogorov Equations for Randomly Perturbed Generalized Newtonian Fluids
本文考虑二维不可压缩广义牛顿流体受加性高斯噪声扰动。这种流体的速度场服从一个随机偏微分方程，由于粘度对剪切速率的依赖性，该方程具有完全非线性漂移。特别地，我们假设额外应力张量是幂律型的，即，e.次数的多项式$p-1$，$p \in (1,2)$，i. e.剪切稀化的情况。证明了Kolmogorov算子$K$至少有一个无穷小不变测度$μ$满足一定的指数矩估计.此外，$K$是$L^2$ -唯一的，r.\，t. $μ$提供了$p \in (p^\ast,2)$，其中$p^\ast$是$p^3 - 8p^2 + 14p -6 =0$的第二个根，约为$p^\ast \approx 1.60407$。
2013-06-03 math.PR
Loss of regularity for Kolmogorov equations
著名的Hörmander条件是一个二阶线性Kolmogorov偏微分方程（PDE）是亚椭圆的充分（几乎必要）条件。因此，Kolmogorov偏微分方程的解在所有正时间都是光滑的，如果偏微分方程的系数是光滑的，并且满足Hörmander条件，即使初始函数是连续的但不可微的。具有光滑系数的一阶线性Kolmogorov偏微分方程不具有这种光滑效应，但至少在解是光滑的意义上保持正则性，如果它们的初始函数是光滑的。在这篇文章中，我们考虑了具有光滑系数的非亚椭圆二阶Kolmogorov偏微分方程的中间区域。本文的主要观察是，在这种情况下，存在正则性保持的反例。更准确地说，我们给出了一个例子，二阶线性Kolmogorov PDE的全局有界和光滑的系数和光滑的初始函数的紧支持，使唯一的全局有界的黏性解的PDE甚至不是局部Hölder连续的。从概率论的角度来看，这个例子PDE的存在性的结果是，存在一个随机微分方程（PDE），具有全局有界和光滑的系数和一个光滑函数，具有紧支撑，由相应的过渡半群映射到一个函数，这不是局部霍德尔连续的。换句话说，退化噪声可以具有粗糙化效果。这种失去规律性现象的进一步含义是，数值逼近可以在没有任何任意小的多项式收敛速率的情况下收敛到解的真实解。更确切地说，我们证明了一个例子的全局有界和光滑系数的标准欧拉近似收敛到精确解的强和数值弱意义上的，但在速度慢，然后任何幂律。
2015-03-06 math.AP math.PR
Viscosity solutions to Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated with sublinear Lévy(-type) processes
利用概率方法研究非线性积分微分方程$$\partial_t u(t,x) - \sup_{α\in I} \bigg( b_α(x) \cdot \nabla_x u(t,x) + \frac{1}{2} \text{tr}\left(Q_α(x) \cdot \nabla^2_x u(t,x)\right) +\int_{y \neq 0} \big(u(t,x+y)-u(t,x)-\nabla_x u(t,x) \cdot h(y) \big) \, ν_α(x,dy) \bigg) = 0$$在初始条件$u(0,x)= φ(x)$下粘性解的存在性;这里$(b_α(x),Q_α(x),ν_α(x,dy))$、$α\in I$、$x \in \mathbb{R}^d$是Lévy三重态族，$h$是某个截断函数。我们所构造的解的形式是次线性马尔可夫半群$(T_t)_{t \geq 0}$的$u(t,x) = T_t φ(x)$，其表示为$$T_t φ(x) = \mathcal{E}^x φ(X_t):= \sup_{\mathbb{P} \in \mathfrak{P}_x} \int_Ω φ(X_t) \, d\mathbb{P}$$，其中$(X_t)_{t \geq 0}$是随机过程，$\mathfrak{P}_x$，$x \in \mathbb{R}^d$是概率测度族。其关键…
2019-03-06 math.OC math.PR
Comparison of viscosity solutions for a class of second order PDEs on the Wasserstein space
本文证明了Wasserstein空间中二阶抛物型偏微分方程粘性解的比较结果，适用于在Fourier-Wasserstein度量下Lipschitz连续且时间一致连续的半解，并基于新颖的Ishii引理版本完成证明。
2024-10-15 math.AP math.OC math.PR
Large scale asymptotics of velocity-jump processes and non-local Hamilton-Jacobi equations
我们研究了一个简单的速度跳跃过程在大偏差渐近区域。新的速度是随机采取一个恒定的，大的，从高斯分布与消失的方差率。与此过程相关的Kolmogorov向前方程是线性BGK动力学输运方程。本文导出了一类新的关于速度变量非局部的Hamilton-Jacobi方程。我们引入了一个合适的黏性解的概念，并证明了在粘性意义下的适定性。我们还证明了对数变换对这个极限问题的收敛性。此外，我们确定的变分制定的解决方案，通过支持分段线性曲线上的作用泛函。作为这一理论的应用，我们在一维情况下，计算了精确的加速率在著名的Fisher KPP方程的动力学版本。
2023-03-08 math.AP math.PR
Nonlinear Stochastic Filtering with Volterra Gaussian noises
Imperial College London（帝国理工学院）
本文针对受Volterra高斯过程驱动的信号-观测系统，建立了涵盖两种 regime 的非线性滤波理论，推导了相关公式，在一维情形下刻画了未归一化条件密度并证明其适定性，最终证明信号条件分布具有光滑密度。
2026-08-26 math.PR
A filtering approach to tracking volatility from prices observed at random times
研究了具有随机波动率的资产价格模型中系数的非线性滤波问题。更具体地说，我们假设资产价格过程$ S=(S_{t})_{t\geq0} $由\[ dS_{t}=r(θ_{t})S_{t}dt+v(θ_{t})S_{t}dB_{t}, \]给出，其中$B=(B_{t})_{t\geq0}$是布朗运动，$v$是正函数，$θ=(θ_{t})_{t\geq0}$是cádlág强马尔可夫过程。随机过程$θ$是不可观测的。我们还假设资产价格$S_{t}$仅在随机时间$0<τ_{1}<τ_{2}<....$被观察到。这是在对高频金融数据建模时的适当假设（例如，tick-by-tick股票价格）。在上述设置中，$θ$的估计问题可以作为具有由多变量点过程$(τ_{k},\log S_{τ_{k}})$生成的测量的特殊非线性滤波问题来处理。虽然很自然，但这个问题不适合标准扩散或简单点过程过滤框架，需要更多的技术工具。基于$(τ_{k},\log S_{τ_{k}})_{k\geq1}$的观测结果，推导出$θ_{t}$的封闭形式的最优递归贝叶斯滤波器.事实证明，滤波器是由一个递归系统，只涉及确定性的柯尔莫哥洛夫型方程，这应该使数值实现相对容易。
2005-09-22 math.PR q-fin.ST
A stochastic approach to path-dependent nonlinear Kolmogorov equations via BSDEs with time-delayed generators and applications to finance
University of Trento（特伦托大学）；University of Verona（维罗纳大学）
本文通过带有时间延迟生成函数的BSDEs方法，证明了路径依赖非线性柯尔莫哥洛夫方程的粘性解存在性，并应用于大投资者问题和风险度量。
2019-02-22 math.PR
A comparison principle for Wasserstein PDEs with state- and law-dependent common noise
University of Michigan（密歇根大学）；University of Southern California（南加州大学）；New York University（纽约大学）
针对Wasserstein空间上带有一般共同噪声Hessian的二阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程，通过引入非线性测度流并建立空间、测度导数和负Sobolev估计，证明了半连续粘性次解和超解的比较原理，首次为滤波驱动方程提供了此类粘性比较框架，并应用于受控随机滤波问题的值函数唯一性。
2026-06-03 math.AP math.OC math.PR
A filtering approach to tracking volatility from prices observed at random times
研究了具有随机波动率的资产价格模型中系数的非线性滤波问题。更具体地说，我们假设资产价格过程$S=(S_{t})_{t\geq0}$由\[ dS_{t}=m(θ_{t})S_{t} dt+v(θ_{t})S_{t} dB_{t}, \]给出，其中$B=(B_{t})_{t\geq0}$是布朗运动，$v$是正函数，$θ=(θ_{t})_{t\geq0}$是cádlág强马尔可夫过程。随机过程$θ$是不可观测的。我们还假设资产价格$S_{t}$仅在随机时间$0<τ_{1}<τ_{2}<....$被观察到。这是在对高频金融数据建模时的适当假设（例如，tick-by-tick股票价格）。在上述设置中，$θ$的估计问题可以作为具有由多变量点过程$(τ_{k},\log S_{τ_{k}})$生成的测量的特殊非线性滤波问题来处理。虽然很自然，但这个问题不适合“标准”扩散或简单的点过程过滤框架，需要更多的技术工具。基于$(τ_{k},\log S_{τ_{k}})_{k\geq1}$的观测结果，推导出$θ_{t}$的封闭形式的最优递归贝叶斯滤波器.事实证明，滤波器是由一个递归系统，只涉及确定性的柯尔莫哥洛夫型方程，这应该使数值实现相对容易。
2006-12-08 math.PR q-fin.ST
Randomized filtering and Bellman equation in Wasserstein space for partial observation control problem
研究了部分可观测扩散的随机最优控制问题。利用文献[4]中的控制随机化方法，证明了一个相应的值函数的随机化动态规划原理（DPP），该值函数是由相关过滤过程的流性质得到的。这个DPP是我们的主要结果的关键一步：部分观测控制问题的值函数作为唯一的黏性解，相应的动态规划Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的特征。后者被表述为一个新的，完全非线性偏微分方程的Wasserstein空间的概率测度。我们的方法的一个重要特点是，它不需要任何非退化条件的扩散系数，并没有施加任何条件，以保证存在的密度的过滤过程解决方案的控制Zakai方程，通常做的分离问题。最后，在部分可观测的非高斯线性二次模型的情况下，给出了HJB方程的显式解。
2016-09-09 math.OC math.PR
Importance sampling for rare event tracking within the ensemble Kalman filtering framework
本文在EnKF框架内采用重要性采样技术跟踪SDE运行最大值的超阈值概率，提出对初始条件、Wiener过程及两者结合的IS策略，并利用马尔可夫投影降维近似求解KBE，实验证明其方差显著减少。
2024-07-29 cs.NA math.DS math.NA
Deep ReLU neural networks overcome the curse of dimensionality for partial integrodifferential equations
具有ReLU激活函数的深度神经网络（DNN）被证明能够在可能高维$d$的状态空间上表达线性偏积分微分方程（PIDE）的粘性解。容许PIDE包括高维扩散、平流和纯跳跃Lévy过程的Kolmogorov方程。我们证明了这样的PIDE所产生的一类跳扩散$\mathbb{R}^d$上，对于任何合适的措施$μ^d$ $\mathbb{R}^d$存在常数$C,{\mathfrak{p}},{\mathfrak{q}}>0$，使得对于每个$\varepsilon \in (0,1]$和每个$d\in \mathbb{N}$的DNN $L^2(μ^d)$ -表达的粘度解决方案的PIDE的错误是大小$\varepsilon$与DNN大小由$Cd^{\mathfrak{p}}\varepsilon^{-\mathfrak{q}}$界定。特别地，常数$C>0$独立于$d\in \mathbb{N}$和$\varepsilon \in (0,1]$，并且仅取决于PIDE中的系数和用于量化误差的度量。这表明，ReLU DNN可以打破线性的粘性解的维数灾难（简称CoD），可能退化的PIDE对应于合适的马尔可夫跳跃扩散过程。作为所采用的技术的结果，我们也得到了一个大类的路径依赖泛函的基本跳跃扩散过程的期望可以表示没有CoD。
2022-08-05 cs.NA math.NA math.PR
