A nonlocal perfectly matched layer (PML) is formulated for the nonlocal wave equation in the whole real axis and numerical discretization is designed for solving the reduced PML problem on a bounded domain. The nonlocal PML poses challenges not faced in PDEs. For example, there is no derivative in nonlocal models, which makes it impossible to replace derivates with complex ones. Here we provide a way of constructing the PML for nonlocal models, which decays the waves exponentially impinging in the layer and makes reflections at the truncated boundary very tiny. To numerically solve the nonlocal PML problem, we design the asymptotically compatible (AC) scheme for spatially nonlocal operator by combining Talbot's contour, and a Verlet-type scheme for time evolution. The accuracy and effectiveness of our approach are illustrated by various numerical examples.
Hardy space infinite elements for Helmholtz-type problems with unbounded inhomogeneities
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik, Georg-August Universität Göttingen（哥廷根大学数值与应用数学研究所）；Mathematisches Institut, Heinrich-Heine Universität Düsseldorf（杜塞尔多夫海因里希·海涅大学数学研究所）
Higher order convergence of perfectly matched layers in 3D bi-periodic surface scattering problems
完全匹配层（PML）是求解无界区域波散射问题的一种常用方法。在2009年，作者提出了一个猜想，即对于粗糙表面的散射问题，在任何紧子集中，PML关于PML参数指数收敛。在作者的前一篇论文（Zhang et al.2022）中，当波数不是半整数时，已经证明了二维空间中周期曲面的这一结果。在本文中，我们证明了该方法在三维双周期表面散射问题中具有高阶收敛速度。我们推广了二维的结果，证明了当波数小于$0.5$时，指数收敛仍然成立。对于更大的波数，虽然不再证明指数收敛，但我们能够证明PML方法的高阶收敛性。
On perfectly matched layers for discontinuous Petrov-Galerkin methods
The Institute for Computational Engineering and Sciences (ICES), The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）；MSC Software Corporation（MSC软件公司）
Stability and convergence analysis of high-order numerical schemes with DtN-type absorbing boundary conditions for nonlocal wave equations
研究了无界空间区域上一维和二维非局部波动方程高阶数值逼近的稳定性和收敛性。首先用基于正交的有限差分格式离散空间非局部算子，然后用显式差分格式逼近时间导数，得到一个完全离散的无穷系统.在此基础上，构造了Dirichlet-to-Neumann（DtN）型吸收边界条件（ABCs），将无限大离散系统化为有限大离散系统。为此，我们首先采用[Du，Zhang and Zheng，\emph{Commun. Comput. Phys.}，24（4）：1049--1072，2018 and Du，Han，Zhang and Zheng，\emph{SIAM J. Sci. Comp.}，40（3）：A1430--A1445，2018]中的思想，分别导出一维和二维情况下的Dirichlet到Dirichlet（DtD）型映射。然后利用离散非局部Green第一恒等式从DtD型映射得到离散DtN型映射。由此产生的DtN型映射使得有可能进行减少的问题的稳定性和收敛性分析。数值实验证明了该方法的准确性和有效性。
A pure source transfer domain decomposition method for Helmholtz equations in unbounded domain
提出了一种求解亥姆霍兹散射问题的有界区域截断完美匹配层（PML）近似的纯源转移区域分解方法（PSTDDM）。该方法是对[Z.陈和X。Xiang，SIAM J. Numer.肛门，51（2013），pp. 2331- 2356]。STDDM将区域分解为$N$非重叠层后，由源传递和波展开两个步骤串联而成，依次求解相邻层上的$N-1$截断PML问题和$N-2$截断半空间PML问题。而PSTDDM仅由两个相反方向上的两个并行源传输步骤组成，并且在每个步骤中连续解决两个相邻层上的截断PML问题$N-1$。这样的修改的一个好处是，在两个相邻层上的截断PML问题可以通过PSTDDM沿着平行于层的方向进一步解决。因此，我们得到了一个分块PSTDDM上的分解组成的$N^2$平方，这减少了子域问题的大小，更适合于大规模的问题。在波数为常数的情况下，证明了逐层PSTDDM和逐块PSTDDM的收敛性。数值算例表明，PSTDDM对常波数的离散Helmholtz方程有很好的逼近，可以作为预处理GMRES方法中的一个有效的预处理子用于求解常波数和非均匀波数的离散Helmholtz方程.
