代数环与从 $G_2$ 到 $\mathrm{PGSp}_6$ 的函数性提升
Algebraic cycles and functorial lifts from $G_2$ to $\mathrm{PGSp}_6$
AI总结：
本文通过构造 Siegel-Shimura 簇中的代数环并关联 $L$-函数留数，利用例外 theta 对应验证了 Gross-Savin 关于 $G_2$ 型秩 7 动机的猜想。
摘要：
我们研究了 $\mathrm{PGSp}_6$ 的自守表示满足其 Spin $L$-函数在 $s=1$ 处有极点时的 Beilinson-Tate 猜想实例。我们在维数为六的 Siegel-Shimura 簇中构造了余维数为三的代数环，并将其调节子与 $\mathrm{PGSp}_6$ 的某些尖点形式的 $L$-函数在 $s=1$ 处的留数联系起来。利用 $G_2$ 型分裂群与 $\mathrm{PGSp}_6$ 之间的例外 theta 对应，并假设某个阿基米德积分非零，我们由此确认了 Gross 和 Savin 关于 $G_2$ 型秩 $7$ 动机的一个猜想。
英文摘要：
We study instances of Beilinson-Tate conjectures for automorphic representations of $\mathrm{PGSp}_6$ whose Spin $L$-function has a pole at $s=1$. We construct algebraic cycles of codimension three in the Siegel-Shimura variety of dimension six and we relate its regulator to the residue at $s=1$ of the $L$-function of certain cuspidal forms of $\mathrm{PGSp}_6$. Using the exceptional theta correspondence between the split group of type $G_2$ and $\mathrm{PGSp}_6$ and assuming the non-vanishing of a certain archimedean integral, this allows us to confirm a conjecture of Gross and Savin on rank $7$ motives of type $G_2$.
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