数域上的参数几何数与标量扩张
Parametric geometry of numbers over a number field and extension of scalars
AI总结：
本文将 Schmidt–Summerer 参数几何数推广至数域及其完备化，证明逼近指数谱不变，并借标量扩张构造含有理逼近高度奇异点的代数曲线。
摘要：
Schmidt 与 Summerer 的参数几何数研究的是对 $\mathbb{R}^n$ 中点的有理逼近。我们将该理论推广到数域 $K$ 及其在一个位 $w$ 处的完备化 $K_w$，以处理在 $K$ 上对 $K_w^n$ 中点的逼近。因此，我们发现，在 $\mathbb{R}^n$ 中于 $\mathbb{Q}$ 上的逼近指数，与其在 $K_w^n$ 中于 $K$ 上的推广具有相同的谱。当 $w$ 在 $\mathbb{Q}$ 的一个位 $\ell$ 上具有相对次数一时，我们进一步把在 $K$ 上对 $K_w^n$ 中一点 $\boldsymbol{\xi}$ 的逼近，与通过标量扩张得到的、在 $\mathbb{Q}$ 上对 $\mathbb{Q}_\ell^{nd}$ 中一点 $\Xi$ 的逼近联系起来，其中 $d$ 是 $K$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的次数。结合 Bel 的一项结果，这使我们能够在 $\mathbb{R}^{3d}$ 中构造定义于 $\mathbb{Q}$ 上、次数为 $2d$ 的代数曲线，其中包含在有理逼近方面高度奇异的点。
英文摘要：
The parametric geometry of numbers of Schmidt and Summerer deals with rational approximation to points in $\mathbb{R}^n$. We extend this theory to a number field $K$ and its completion $K_w$ at a place $w$ in order to treat approximation over $K$ to points in $K_w^n$. As a consequence, we find that exponents of approximation over $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}^n$ have the same spectrum as their generalizations over $K$ in $K_w^n$. When $w$ has relative degree one over a place $\ell$ of $\mathbb{Q}$, we further relate approximation over $K$ to a point $\boldsymbolξ$ in $K_w^n$, to approximation over $\mathbb{Q}$ to a point $Ξ$ in $\mathbb{Q}_\ell^{nd}$, obtained by extension of scalars, where $d$ is the degree of $K$ over $\mathbb{Q}$. By combination with a result of Bel, this allows us to construct algebraic curves in $\mathbb{R}^{3d}$ defined over $\mathbb{Q}$, of degree $2d$, containing points that are very singular with respect to rational approximation.
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