利用可达和体积刻画欧几里得空间中的单位球
Characterizing unit spheres in Euclidean spaces via reach and volume
摘要：
设$M$是$\mathbb{R}^n$的维数为$k\geq 2$的光滑、连通、无边界的紧致子流形.令$\mathbb{S}^k \subset \mathbb{R}^{k+1}\subset \mathbb{R}^n$表示$k$二维单位球。我们证明了如果$M$的reach等于1，那么它的体积满足$\text{vol}(M)\geq \text{vol}(\mathbb{S}^k)$，只有当$M$与$\mathbb{S}^k$全等时等式才成立。
英文摘要：
Let $M$ be a smooth, connected, compact submanifold of $\mathbb{R}^n$ without boundary and of dimension $k\geq 2$. Let $\mathbb{S}^k \subset \mathbb{R}^{k+1}\subset \mathbb{R}^n$ denote the $k$-dimesnional unit sphere. We show if $M$ has reach equal to one, then its volume satisfies $\text{vol}(M)\geq \text{vol}(\mathbb{S}^k)$ with equality holding only if $M$ is congruent to $\mathbb{S}^k$.
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