全稳定空间的双曲几何分类
Geometric classification of total stability spaces
AI总结：
本文为Dynkin图的根范畴构造带核的h_Q边形几何模型，并据此分类全稳定条件空间，证明其同构于稳定h_Q边形的模空间，涵盖D_n和E_6等情形。
摘要：
我们为任意Dynkin图$Q$的根范畴$\mathcal{D}^b(Q)/[2]$构造了一个几何模型，该模型是一个带核的$h_Q$边形$\mathbf{V}_Q$，其中$h_Q$是Coxeter数，$\mathcal{D}^b(Q)$是与$Q$关联的有界导出范畴。作为应用，我们对三角范畴$\mathcal{D}$上的全稳定条件空间$\mathrm{ToSt}\mathcal{D}$进行了分类，其中$\mathcal{D}$必须具有$\mathcal{D}^b(Q)$的形式。更精确地说，我们证明了$\mathrm{ToSt}\mathcal{D}^b(Q)/[2]$同构于类型$Q$的稳定$h_Q$边形的某个适当模空间。特别地，类型$D_n$的$h_Q$边形$\mathbf{V}$是一个（中心）对称的双穿孔$2(n-1)$边形。$\mathbf{V}$是稳定的，如果它是凸的且穿孔位于$(n-2)$级对角边形内部。另一个有趣的情形是$E_6$，其中（稳定的）$h_Q$边形（十二边形）可以实现为一对平面平铺模式。
英文摘要：
We construct a geometric model for the root category $\mathcal{D}^b(Q)/[2]$ of any Dynkin diagram $Q$, which is an $h_Q$-gon $\mathbf{V}_Q$ with cores, where $h_Q$ is the Coxeter number and $\mathcal{D}^b(Q)$ is the bounded derived category associated to $Q$. As an application, we classify all spaces $\mathrm{ToSt}\mathcal{D}$ of total stability conditions on triangulated categories $\mathcal{D}$, where $\mathcal{D}$ must be of the form $\mathcal{D}^b(Q)$. More precisely, we prove that $\mathrm{ToSt}\mathcal{D}^b(Q)/[2]$ is isomorphic to a suitable moduli space of stable $h_Q$-gons of type $Q$. In particular, an $h_Q$-gon $\mathbf{V}$ of type $D_n$ is a (centrally) symmetric doubly punctured $2(n-1)$-gon. $\mathbf{V}$ is stable if it is convex and the punctures are inside the level-$(n-2)$ diagonal-gon. Another interesting case is $E_6$, where the (stable) $h_Q$-gon (dodecagon) can be realized as a pair of planar tiling pattern.
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