On Gagliardo-Nirenberg Inequalities with vanishing symbols
Rainer Mandel
本文证明了$\mathbb{R}^d$中超曲面上含消失傅立叶符号的Gagliardo-Nirenberg型插值不等式.
We prove interpolation inequalities of Gagliardo-Nirenberg type involving Fourier symbols that vanish on hypersurfaces in $\mathbb{R}^d$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rellich, Gagliardo-Nirenberg, Trudinger and Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities for Dunkl operators and applications
本文得到了Dunkl算子的加权高阶Rellich不等式、加权Gagliardo-Nirenberg不等式、加权Trudinger不等式、加权Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和不确定性原理。此外，我们引进了经典的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的一个推广。此外，我们给出了Gagliardo-Nirenberg不等式在Dunkl-Laplacian非线性阻尼波方程Cauchy问题中的应用。
On a variant of Gagliardo-Nirenberg inequality deduced from Hardy
作为加权Hardy型不等式的一个结果，在Orlicz空间中得到了加权Gagliardo-Nirenberg插值不等式的新的变形.我们考虑的权重不需要加倍。
Sharp trace Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities for convex cones, and convex domains
在凸锥上得到了一个新的尖迹Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式，在凸函数的上图上得到了一个加权尖迹Sobolev不等式.这是通过使用来自Brunn-Minkowski理论的广义Borell-Brascamp-Lieb不等式来完成的。
The sharp Gagliardo--Nirenberg--Sobolev inequality in quantitative form
利用降维方法和Seuffert最近证明的半空间上的加权Sobolev不等式的稳定性形式，本文建立了一族由Del Pino和Dolbeault \cite{DelPino}引起的尖锐Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的稳定性估计（或定量估计）.
Sufficient and Necessary Conditions for the fractional Gagliardo-Nirenberg Inequalities and applications to Navier-Stokes and generalized boson equations
在Besov空间和Triebel-Lizorkin空间中得到了广义Gagliardo-Nirenberg（GN）不等式成立的充分和必要条件.利用GN不等式，证明了有限时间爆破解在临界Lebesgue空间L^3中存在集中现象。利用分数阶GN不等式，研究了一类变分问题的极小解。
Gagliardo-Nirenberg inequality via a new pointwise estimate
该研究提出一类用稀疏平均算子替代极大算子的新型逐点估计，将Gagliardo-Nirenberg插值不等式推广至所有重排不变Banach函数空间，无需上Boyd指数假设，还去除了Orlicz与Lorentz空间框架下该不等式的不必要假设。
Gagliardo-Nirenberg inequalities on manifolds
证明了几类流形、李群和图上的Gagliardo-Nirenberg不等式。
A note on the Gagliardo-Nirenberg inequality in a bounded domain
在$\mathbb{R}^n$中建立了经典的Gagliardo-Nirenberg不等式. Gagliardo在1959年给出了一个有界域的推广。本文给出了这个结果的一个简单证明，并证明了有界Lipschitz域上的一个新的Gagliardo-Nirenberg不等式.
Gagliardo-Nirenberg inequality in anisotropic Lebesgue spaces and energy equality in the Navier-Stokes equations
本文证明了Gagliardo-Nirenberg不等式在混合范数空间中的一个类似是有效的。作为应用，在这些空间中建立了三维Navier-斯托克斯方程Leray-Hopf弱解能量守恒的新判据，推广了相应的已知结果.
Weak local Gagliardo-Nirenberg type inequalities with a BMO term
本文在引入BMO项的情况下，改进了全局Gagliardo-Nirenberg不等式。
Going to Lorentz when fractional Sobolev, Gagliardo and Nirenberg estimates fail
在没有Sobolev型或Gagliardo-Nirenberg型分数估计涉及$\lvert u\rvert_{W^{s,p}}$的情况下，我们建立了替代估计，其中强$L^p$范数被洛伦兹范数取代。
Upper bounds on homogeneous fractional Gagliardo-Nirenberg-Sobolev constants via parabolic estimates
本文针对非端点齐次分数阶 GNS 不等式常数缺乏显式界的问题，基于逆 Laplacian 的热核表示、Young 卷积不等式和抛物估计，提出一种可计算其上界的算法。
A Gagliardo-Nirenberg-type inequality and its applications to decay estimates for solutions of a degenerate parabolic equation
本文在$\mathbb{R}^n$中建立了一个Gagliardo-Nirenberg型不等式，用于快速衰减为$|x|\to\infty$的函数.利用这个不等式，我们得到了一类退化抛物型方程解的衰减率的上界。此外，我们证明了这些上界，因此也Gagliardo-Nirenberg型不等式，在适当的意义下是尖锐的。
Gagliardo-Nirenberg Inequalities in Fractional Coulomb-Sobolev spaces for Radial functions
本文针对径向函数在分数库仑-索博列夫空间中扩展了加利亚尔多-尼伦伯格插值不等式的参数范围，并进一步分析了该扩展范围的最优性。
Sharp constant of an anisotropic Gagliardo-Nirenberg-type inequality and applications
本文建立了与Benjamin-Ono-Zakharov-Kuznetsov方程有关的各向异性Gagliardo-Nirenberg型不等式的最佳常数.作为结果的应用，我们在能量空间中证明了这类方程解的一致有界性。
Maximizers for Gagliardo-Nirenberg inequalities and related non-local problems
本文研究了两类插值不等式，即广义Gagliardo-Nirenberg不等式和一个新的包含Riesz能量的不等式的极大化解的存在性.在我们的论证中，两个基本工具是Lieb的平移引理的推广和Brézis-Lieb引理的Riesz能量版本。
Anisotropic fractional Gagliardo-Nirenberg, weighted Caffarelli-Kohn-Nirenberg and Lyapunov-type inequalities, and applications to Riesz potentials and $p$-sub-Laplacian systems
本文证明了齐次李群上的分数阶Gagliardo-Nirenberg不等式。同时，在齐次李群上建立了关于里斯位势的加权分数Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和Lyapunov型不等式.在$\mathbb{R}^{N}$的经典背景下，所得到的里斯位势的李雅普诺夫不等式是新的.作为应用，我们给出了里斯位势第一特征值的双边估计。同时，我们得到了分数阶$p$ -次拉普拉斯方程组的李雅普诺夫不等式，并给出了其特征值估计的应用
Optimal L^p-Riemannian Gagliardo-Nirenberg inequalities
设（M，g）是n维紧致黎曼流形\geq 2.在这项工作中，我们证明了最佳L^p-Riemannian Gagliardo-Nirenberg不等式对于1 < p \leq 2的有效性。我们的证明强烈依赖于一个新的距离引理。特别地，我们在统一的框架下推广了Del Pino和Dolbeault的L^p-Euclidean Gagliardo-Nirenberg不等式和Broutteland的最优L^2-Riemannian Gagliardo-Nirenberg不等式.
Gagliardo-Nirenberg type inequalities with a BMO term and fractional Laplacians
本文改进了带有BMO项的全局Gagliardo-Nirenberg不等式，将局部导数替换为分数拉普拉斯算子，并给出了局部版本。
Gagliardo-Nirenberg and Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequalities associated with Sobolev-Coulomb spaces
建立了Sobolev-Coulomb空间中分数阶导数$0 \leq s \leq 1$的全值域Gagliardo-Nirenberg和Caffarelli-Kohn-Nirenberg插值不等式.结果，我们重新发现已知的Gaglairdo-Nirenberg插值型不等式与Sobolev-Coulomb空间，这是以前建立在$H^{s}$与$0 < s \leq 1$的规模，并将它们扩展到全范围$W^{s, p}$与$0\leq s \leq 1$和$1 < p < + \infty$。利用这些新建立的加权不等式，我们导出了一族新的单体Hardy-Lieb-Thirring不等式，并利用它建立了一族新的多体Hardy-Lieb-Thirring不等式，其中含有$L^p$尺度下的强排斥相互作用项.
Lieb-Thirring type inequalities and Gagliardo-Nirenberg inequalities for systems
证明了一个势函数的Lieb-Thirring型不等式，使得薛定谔算子具有由无界特征值序列构成的纯离散谱.这个不等式等价于系统的广义Gagliardo-Nirenberg不等式。作为特例，我们证明了无穷多个混合状态系统的一个对数Sobolev不等式。最佳常数的确定和自由能估计与混合状态表示也进行了研究。
Stability in Gagliardo-Nirenberg inequalities - Supplementary material
这份文件来作为补充材料的文件稳定性Gagliardo-Nirenberg不等式由同一作者。它的目的是国家的一些经典的或基本的陈述有关常数和不等式，我们不知道现有的出版材料或表达式足够详细，为我们的目的。我们声称没有原创性的理论结果，并依赖于标准的方法在大多数情况下，除了我们保持跟踪的常数，并提供建设性的估计。
Nonlocal Gagliardo-Nirenberg-Sobolev type inequality
本文在非局部Sobolev空间中建立Gagliardo-Nirenberg-Sobolev型不等式，导出Sobolev嵌入及紧嵌入，并揭示其与Poincaré型不等式的互反关系，经典分数阶情形作为特例。
Sharp homogeneous Gagliardo--Nirenberg inequalities and normalized solutions for generalized stationary MMT equations
本文证明尖锐齐次Gagliardo–Nirenberg不等式的最优解存在性，扩展了相关已有结果，并将其应用于证明广义MMT型方程的归一化解存在性。
Normalised Hamiltonian Elliptic Systems: a Gagliardo-Nirenberg inequality for bilinear mass
研究具有规定双线性质量的哈密顿椭圆系统，建立Gagliardo-Nirenberg不等式，分类正规范化解，并发展指数非线性理论，获得最小能量径向解及质量响应公式。
The concavity of $p$-Rényi entropy power for doubly nonlinear diffusion equations and $L^p$-Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities
证明了在里奇曲率为非负的$\mathbb{R}^n$或紧致黎曼流形上的双非线性扩散方程的正解的$p$-Rényi熵幂.作为应用，给出了$\mathbb{R}^n$上的$L^p$-Sobolev不等式和$L^p$ -Nirenberg不等式的新证明.此外，还得到了$L^p$ -Gagliardo-Nirenberg不等式的两个改进.
Sharp Gagliardo-Nirenberg inequality and logarithmic Sobolev inequality on integer lattices
本文在整数格上获得了精确的Gagliardo-Nirenberg不等式并刻画了其刚性，进而作为推论推导出整数格上精确的对数Sobolev不等式。
From weighted Carlson-Levin inequalities to weighted Gagliardo-Nirenberg inequalities
该研究通过熵方法分析锥上的加权Carlson-Levin不等式，获其最优常数与最优解分类，推导出加权Gagliardo-Nirenberg不等式的刚性结果，给出单项式权相关示例。
Stability results for logarithmic Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities
本文主要讨论了基于标度的函数不等式的改进，并将其用相对熵表示。当考虑尺度并相应地固定二阶矩时，亏损泛函提供了显式的稳定性测量，即，与最优函数流形的显式常数距离有界。对Gaussian对数Sobolev不等式及其对应的欧氏不等式、Gaussian广义Poincar不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式得到了各种结果.因此，在扩散方程（快速扩散，Ornstein-Uhlenbeck和多孔介质方程）的更快的收敛速度。
A Gagliardo-Nirenberg type inequality for rapidly decaying functions
本文改进了Gagliardo-Nirenberg不等式\[ \|φ\|_{L^q(\mathbb{R}^n)} \le C \|\nablaφ\|_{L^r(\mathbb{R}^n)} \mathcal{L}^{-(\frac 1q - \frac{n-r}{rn})} (\|\nablaφ\|_{L^r(\mathbb{R}^n)}), \] $r=2$，$0<q<\frac{rn}{(n-r)_+}$，$\mathcal{L}$，将$\mathcal{L}(s)=\ln^{-1}\frac 2s$推广到$0<s<1$. Fila和M. Winkler：Gagliardo-Nirenberg型不等式及其在退化抛物方程解的衰减估计中的应用，Adv. Math.，357（2019），https：//doi.org/10.1016/j.aim.2019.106823]通过指定$C$对$K$的依赖性并允许任意$r\ge1$，快速衰减函数（具有有限$K=\int_{\mathbb{R}^n} \mathcal{L}(φ)$的$φ\in W^{1,r}(\mathbb{R}^n)\setminus\{0\}$）。
Some non-homogeneous Gagliardo-Nirenberg inequalities and application to a biharmonic non-linear Schrödinger equation
研究了当$L^2-$范数（\textit{mass}）保持不变时，具有混合色散的四阶薛定谔方程的驻波解.我们需要一些非齐次Gagliardo-Nirenberg型不等式，我们开发了一种方法来证明这种估计，应该是有用的其他地方。我们证明了{ \it mass-subcritical }和{ \it mass-critical }情形下极小解存在的最优结果。在{ \it质量超临界}的情况下，我们表明，不存在全局极小，我们调查的局部极小的存在性。如果质量不超过某个阈值$ μ_0 \in (0,+\infty)$，我们的“最佳”局部极小的结果也是最优的。
Gagliardo-Nirenberg inequalities in Lorentz type spaces and energy equality for the Navier-Stokes system
本文在Lorentz型空间中不限制Lorentz范数的第二指标，得到了几个新的Gagliardo-Nirenberg型不等式，推广了几乎所有已知的相应结果.我们的证明主要依赖于Lorentz空间中的Bernstein不等式，各种Lorentz型空间之间的嵌入关系，以及Littlewood-Paley分解技巧。此外，我们还建立了三维Navier-斯托克斯方程能量守恒的Lorentz空间速度或速度梯度判据。特别地，我们改进了经典的Shinbrot能量平衡条件，使速度的时空方向都在Lorentz空间中。
Interpolation inequalities between Sobolev and Morrey-Campanato spaces: A common gateway to concentration-compactness and Gagliardo-Nirenberg interpolation inequalities
证明了Morrey-Campanato空间与索伯列夫空间之间的插值估计.这些估计给出了特别是集中紧性不等式中的平移不变和平移和膨胀不变的情况下。特别地，给出了索伯列夫空间与有界平均振荡函数之间的插值估计.证明依赖于Sobolev整表示公式和极大函数理论。分数索伯列夫空间也包括在内。
Mixed-dispersion Schrödinger equations and Gagliardo-Nirenberg inequalities: equivalence between ground states and optimizers
研究混合色散非线性薛维方程在质量竞争 regime 中的基态解与混合加里多-尼伦伯格不等式优化解之间的关系，探讨能量基态与作用基态解的等价性。
Weighted Gagliardo-Nirenberg inequalities via Optimal Transport Theory and Applications
本文基于最优传输理论在 $\mathbb R^n$ 的开凸锥上证明了三加权 Gagliardo-Nirenberg 不等式，显式计算了等权情形的尖锐常数并刻画了极值函数，进而推导出尖锐的加权 $p$-log-Sobolev、Faber-Krahn 和等周不等式。
Sharp constant in Riemannian L^p-Gagliardo-Nirenberg inequalities
设（M，g）是n维光滑紧致黎曼流形\geq 2，1 < p < n，1 \leq q < r < p^ \ast = \frac{np}{n-p}是实参数.本文讨论了最优Gagliardo-Nirenberg不等式（\int_M |u| ^r\; dv_g）^{ \frac τ{r θ}} \leq（A_{opt}（\int_M| \nabla_g u| ^p\; dv_g）^{ \frac τ{p}} + B_{opt}（\int_M |u| ^p\; dv_g）^{ \frac τ{p}}）（int_M |u| ^q\; dv_g）^{ \frac{τ(1 - θ)}{θq} } \;。这种不等式在Chen和Sun（Nonlinear Analysis 72（2010），pp. 3159-3172），其中作者在2 < p < r < p^ \ast和（隐含地）τ= 2时建立了它的有效性。这里我们解决了p \geq r的情况，并引入了另一个参数1 \leq τ \leq \min \{p，2\}。并证明了上述最优不等式极值函数的存在性。
Gagliardo-Nirenberg, Trudinger-Moser and Morrey inequalities on Dirichlet spaces
本文从黎曼流形或次黎曼流形、RCD度量空间特别是分形的角度出发，在Dirichlet空间的一般框架下，进一步发展了基于$(1,p)$索伯列夫空间的热半群理论。在适当的假设下，并在各种环境中得到验证，D。Bakry，T. Coulhon，M. Ledoux和L. Saloff-Coste在“Sobolev不等式的伪装”一文中给出了Gagliardo-Nirenberg不等式和Trudinger-Moser不等式的最优指数。后者不仅依赖于空间的Hausdorff维数和Walk维数，而且依赖于其他不变量。此外，我们证明了Morrey型不等式，并将其应用于研究Sobolev函数的连续指数的下确界。结果示出了分形使用Vicsek集，而几个aptures嵌套分形和谢尔宾斯基地毯。
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities for convex domains in $\mathbb{R}^d$
$\mathbb{R}^d$中一类特殊的Gagliardo-Nirenberg-Sobolev（GNS）不等式在Lieb-Thirring不等式的几个证明中起了关键作用.最近，需要GNS不等式的凸域的$\mathbb{R}^d$，特别是立方体，已经出现。这份手稿的目的是双重的。首先，我们证明了一个GNS不等式的凸域，显式常数依赖于域的几何形状。然后，利用Rumin方法的离散化形式，证明了具有改进常数的立方体上的GNS不等式。
Fractional Gagliardo--Nirenberg Inequalities: Pointwise Estimates,Sharp Asymptotics, and Optimal Target Spaces
该研究针对分数阶差分算子建立逐点估计，推导含BMO端点的分数阶Gagliardo–Nirenberg不等式，确定其渐近因子最优阶，完全刻画重排不变目标空间并解答了开放问题，结果在非对角和BMO情形下为全新成果。
Global versions of Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality and applications to wave and Klein-Gordon equations
我们证明了全球性的，或时空加权，版本的Gagliardo-Nirenberg插值不等式，$L^p$（$p < \infty$）端点，适应双曲叶理。具有$L^\infty$端点的相应版本首先由Klainerman提出，并且是经典向量场方法的基础，该方法现在是研究非线性发展方程长时间行为的标准技术之一。我们的追求是由向量场方法应用于具有不断增长的高阶能量的能量层次的设置所激励的。在这些设置中，使用Sobolev不等式的$L^p$端点版本可以允许人们在估计中获得基本上一个导数，然后将给出衰减率的相应增益。本文最后分析了一个这样的模型问题，我们的新估计提供了一个改进。
Metric measure spaces supporting Gagliardo-Nirenberg inequalities: volume non-collapsing and rigidities
设$({M},\textsf{d},\textsf{m})$是一个度量测度空间，它对某些$K\geq 0$和$n\geq 2$满足Lott-Sturm-Villani曲率维数条件$\textsf{CD}(K,n)$，且在$M$的某点上满足较低的$n-$密度假设.我们证明了如果$({M},\textsf{d},\textsf{m})$支持Gagliardo-Nirenberg不等式或它的任何极限情形（$L^p-$对数Sobolev不等式或Faber-Krahn型不等式），则整体非坍缩$n-$体积增长成立，即，存在通用常数$C_0>0$，使得对于所有$x\in {M}$和$ρ\geq 0,$，$\textsf{m}( B_x(ρ))\geq C_0 ρ^n$，其中$B_x(ρ)=\{y\in M:{\sf d}(x,y)<ρ\}$。由于体积增长估计的定量特征，我们通过探索Munn（J.Geom.Anal.，2010年）。进一步的刚性结果也提出了一些可逆的Finsler流形。
Sharp Gagliardo-Nirenberg inequalities in fractional Coulomb-Sobolev spaces
我们证明了$$\|φ\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\le C\|φ\|_{\dot H^{s}(\mathbb{R}^d)}^β \left(\iint_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d} \frac{|φ(x)|^q\,|φ(y)|^q}{|x - y|^{d-α}} dx dy\right)^γ,$$形式的尺度不变Gagliardo-Nirenberg型不等式，其中涉及分数Sobolev范数和能量，分别用$s>0$和$q\ge 1$。我们建立的有效性，这样的不等式的参数的最佳范围，并讨论的存在性的优化。在特殊情况下，$p=\frac{2d}{d-2s}$我们的结果包括一个新的改进的分数Sobolev不等式的库仑项。我们还证明了如果考虑径向对称性，则不等式的有效范围可以扩大，并且这种径向改进是可能的当且仅当$α>1$ .
On one variant of strongly nonlinear Gagliardo-Nirenberg inequality involving Laplace operator with application to nonlinear elliptic problems
得到了不等式$$\int_Ω|\nabla u(x)|^ph(u(x))dx\leq C(n,p)\int_Ω \left( \sqrt{ |Δu(x)||{\cal T}_{h,C}(u(x))|}\right)^{p}h(u(x))dx,$$其中$Ω\subset \mathbf{R}^n$是有界Lipschitz域，$u\in W^{2,1}_{loc}(Ω)$是正的且服从一些附加的假设，$Δu$是Laplace算子，${\cal T}_{h,C}(\cdot )$是连续函数$h(\cdot)$的某个变换.并以静电微机械系统（MEMS）模型为例，说明了如何应用该不等式推导退化偏微分方程椭圆型非线性本征值问题解的正则性.
Best constants in Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities on graded groups and ground states for higher order nonlinear subelliptic equations
本文研究了Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式中最佳常数对索伯列夫空间范数精确形式的依赖性。分析是在一般的分次李群上进行的，因此包括了$\mathbb R^n$、海森堡和更一般的分层李群的情形。Sobolev范数可以用Rockland算子来定义，即群上的亚椭圆齐次左不变微分算子。最佳常数以变分形式以及相应的非线性次椭圆方程的基态解表示。这些方程的阶可以很高，这取决于Sobolev或Gagliardo-Nirenberg不等式中的索伯列夫空间阶，或者可以是分数阶。应用程序也得到了不同的亚椭圆算子的低阶项的方程。已经在$\mathbb R^n$的情况下，所得到的结果推广了经典的关系，由Weinstein到广泛的非线性高阶椭圆方程的椭圆型低阶项和广泛的Gagliardo-Nirenberg型插值不等式。然而，由于不可能使用海森堡群的背景下已经存在的重排不等式，这些证明与Ivy Weinstein的证明不同。所考虑的一类分次群是最一般的一类幂零李群，其中人们仍然可以考虑亚椭圆齐次不变微分算子和相应的亚椭圆微分方程。
On the best constant for Gagliardo-Nirenberg interpolation inequalities
本文给出了Gagliardo-Nirenberg插值不等式\begin{eqnarray*} \|u\|_{L^{m+1}}\leq C_{q,m,p} \|u\|^{1-θ}_{L^{q+1}}\|\nabla u\|^θ_{L^p},\quad θ=\frac{pd(m-q)}{(m+1)[d(p-q-1)+p(q+1)]}, \end{eqnarray*}的最佳常数，其中参数$q,m,p$分别属于以下两个范围：（i）$p>d\geq 1$，$q\geq0$和$m=\infty$ .证明了$L^{\infty}$型Gagliardo-Nirenberg插值不等式。(ii)$p>\max\{1,\frac{2d}{d+2}\}$、$0\leq q<σ-1$和$q<m<σ$，其中，如果是$p<d$，则$σ$定义为$ σ:= \frac{(p-1)d+p }{d-p}$;如果是$p\geq d$，则$σ:=\infty $定义为。给出了$L^{m}$型Gagliardo-Nirenberg插值不等式。最佳常数$C_{q,m,p}$由\begin{eqnarray*} C_{q,m,p}:=θ^{-\fracθ{p}}(1-θ)^{\fracθ{p}-\frac{1}{m+1}}M_c^{-\fracθ{d}},\quad M_c:=\int_{\mathbb{R}^d}u_{c,m}…
Fractional and anisotropic Gagliardo--Nirenberg inequalities with applications
本文研究分数阶与各向异性Gagliardo–Nirenberg不等式的适用条件，证明其多数尖锐条件，建立对应剖面分解，用于构造色散方程孤子解及证明极值子存在性。
On some nonlinear extensions of the Gagliardo-Nirenberg inequality with applications to nonlinear eigenvalue problems
我们得到不等式[\int_{\r}| f ^n '}（x）|^ph（f（x））dx \le（\sqrt{p-1}）^p \int_{\r}（\sqrt{|f^{"}(x){\cal T}_h(f(x))|}）^ph（f（x））dx，]其中$f$局部属于Sobolev空间$W^{2,1}$，并且$f^{'}$具有有界支撑。这里$h(...)$是一个给定的函数，而${\cal T}_h(...)$是它的给定变换，它与$p$无关。在$h\equiv 1$的情况下，我们检索众所周知的不等式：（\int_{\r}| f ^n '}（x）|^pdx \le（\sqrt{p-1}）^p \int_{\r}（\sqrt{|f^{"}(x)f(x)|}）^pdx.）我们的不等式的形式类似于经典的二阶Oppial不等式。他们还推广了Mazya的某些类不等式，用于获得二阶等周不等式和容量估计。应用它们得到了非线性本征值问题的新的先验估计。
Conformal invariants measuring the best constants for Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities
引入了一类与光滑度量测度空间相关联的共形不变量，将Sobolev不等式的Yamabe常数与最佳常数之间的关系推广到Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的最佳常数$\|w\r|_q \leq C\|\nabla w\|_2^θ\|w\|_p^{1-θ}$ .这些不变量是在光滑度量测度空间的共形类中通过加权数量曲率泛函的极小化过程构造的。然后，我们描述临界点，这些临界点也是度量或测量中的变化的临界点。当测量被假定为采取一种特殊的形式-例如，作为一个爱因斯坦度量的体积元素-我们使用这种描述来表明，我们的不变量的极小化只对$p$和$q$的某些值是至关重要的。特别地，在欧几里得空间上，我们的结果表明，无论是$p=2(q-1)$或$q=2(p-1)$，给出了一个新的特征的GNS不等式的尖锐常数计算由Del Pino和Dolbeault。
One-dimensional Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities: Remarks on duality and flows
本文研究一维插值Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式.我们研究了如何应用各种概念的对偶性，运输和单调性的泛函沿流定义的一些非线性扩散方程。我们开始减少不等式到一个更简单的对偶变分问题使用质量运输理论。我们的第二个主要结果是致力于建设的李雅普诺夫功能与非线性扩散方程，提供了一个替代的证明不等式。关键的观察是，线上的不等式等价于球面上的索伯列夫不等式，至少当维数是整数时，或者在一般情况下，等价于超球面算子的临界插值不等式。沿着流动的泛函的时间导数本身是非常有趣的。它解释了机械的一些刚性估计非线性椭圆方程，并显示如何特征值的线性化问题进入计算。梯度流的概念，然后讨论了各种概念的距离。在本文中，我们将讨论对应于p>2或p<2的两类不等式。计算中的代数部分在两种情况下非常相似，尽管p<2的情况肯定不那么标准。
Injective ellipticity, cancelling operators, and endpoint Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities for vector fields
本文通过消没条件刻画使端点Sobolev估计成立的微分算子，统一并推广了Gagliardo-Nirenberg、Korn-Sobolev及Hodge复形等经典不等式，并借助对偶估计与调和分析技术证明，同时引入弱条件刻画$L^\infty$估计。
Sharp Weighted Cohen--Dahmen--Daubechies--DeVore Inequality with Applications to (Weighted) Critical Sobolev Spaces, Gagliardo--Nirenberg Inequalities, and Muckenhoupt Weights
本文建立了Cohen等人2003年提出的不等式的精确加权变体，通过发展好立方体方法追踪对A_p权常数的精确依赖，得到加权Sobolev空间刻画、插值及Gagliardo-Nirenberg不等式等应用，还给出了Muckenhoupt权的新刻画并解决了一个公开问题。
On the constants for some fractional Gagliardo-Nirenberg and Sobolev inequalities
我们考虑Gagliardo-Nirenberg和Sobolev在R^d中的不等式，用Laplacian Delta和分数幂D^n：=（-Delta）^（n/2）表示，其中实数n >= 0;我们回顾了已知的事实，并给出了这方面的新结果。在说明了这两个不等式之间的等价性以及相应的sharp常数和极大化器之间的关系之后，我们将注意力集中在L^2情形，其中对于所有充分正则的f：R^d -> C，范数||D^j f||_{L^r}是有界的，||F||_{L^2}和||D^n f||_{L^2}，其中1/r = 1/2 -（θ n-j）/d，以及j，n，θ的适当值（其中j，n可能是非整数）。在特殊情况下，θ = 1和θ = j/n + d/2 n（即，r = + infinity），与Lieb和Ilyin以前的结果有关，可以明确地找到sharp常数和极大化子，并指出极大化子可以用超几何函数、Fox函数和Meijer函数表示.对于一般的L^2情形，我们给出了两种关于sharp常数的上界：第一种是文献中提出的，第二种是我们的另一种建议，通常比第一种更精确。我们还得到了两种下界。结合所有可用的上限和下界，Gagliardo-Nirenberg和Sobolev夏普常数被限制在相当窄的区间。给出了几个例子。
Best constants in subelliptic fractional Sobolev and Gagliardo-Nirenberg inequalities and ground states on stratified Lie groups
该研究在分层李群上建立了带最佳常数的精确分数阶次椭圆Sobolev、Gagliardo-Nirenberg及对数Sobolev不等式，证明了相关非线性分数阶Schrödinger方程基态解的存在性，p=2情形的结果即使在Heisenberg群上也为全新。
Generalised Gagliardo-Nirenberg inequalities using weak Lebesgue spaces and BMO
使用基于傅立叶变换的初等参数，我们证明了，对于$1 \leq q < p < \infty$和$s \geq 0$与$s > n(1/2-1/p)$，如果$f \in L^{q,\infty}(\R^n) \cap \dot{H}^s(\R^n)$，则$f \in L^p(\R^n)$，并且存在常数$c_{p,q,s}$，使得\[ \|f\|_{L^p} \leq c_{p,q,s} \|f\|_{L^{q,\infty}}^θ\|f\|_{\dot H^s}^{1-θ}, \]，其中$1/p = θ/q + (1-θ)(1/2-s/n)$。特别地，在$\R^2$中我们得到了广义Ladyzhenskaya不等式$\|f\|_{L^4}\le c\|f\|_{L^{2,\infty}}^{1/2}\|f\|_{\dot H^1}^{1/2}$ .我们还表明，$s=n/2$的规范在$\|f\|_{\dot H^{n/2}}$可以取代BMO的规范。除了给出这些不等式的相对简单的证明外，本文还提供了调和分析中一些基本概念的简单入门，包括弱空间，傅里叶变换，Lebesgue微分定理和Calderon-Zygmund分解。
Weighted Gagliardo--Nirenberg Inequalities of Grushin Type: Symmetries, Compactness, and Optimizers
本文研究ℝⁿ×ℝᵐ上Grushin型算子相关的加权Gagliardo--Nirenberg插值不等式，确定参数条件与最优缩放指数，利用径向对称性恢复紧嵌入，证明β=0时存在最优解。
A generalisation of the Gagliardo--Nirenberg Inequality with applications to mass-critical and mass-subcritical elliptic equations
本文通过新的Gagliardo-Nirenberg型不等式，研究了带分数阶Laplace算子和奇异项的椭圆方程在质量临界和亚临界情形下的解的存在性和非存在性，同时探讨了相关旋度方程的阈值问题。
Brezis--Van Schaftingen--Yung Formulae in Ball Banach Function Spaces with Applications to Fractional Sobolev and Gagliardo--Nirenberg Inequalities
设$X$是${\mathbb R}^n$上的球Banach函数空间.本文在对$X$和Hardy-Littlewood极大算子在$X$的凸化的伴随空间上的有界性作了一些适当的假设的情况下，证明了：对于任何局部可积函数$f$，若$\|\,|\nabla f|\,\|_{X}<\infty$为$f$，则等价常数为正的$$\sup_{λ\in(0,\infty)}λ\left \|\left|\left\{y\in{\mathbb R}^n:\ |f(\cdot)-f(y)| >λ|\cdot-y|^{\frac{n}{q}+1}\right\}\right|^{\frac{1}{q}} \right\|_X\sim \|\,|\nabla f|\,\|_X$$与$f$无关，其中指标$q\in(0,\infty)$与$X$相关，并且$|\{y\in{\mathbb R}^n:\ |f(\cdot)-f(y)| >λ|\cdot-y|^{\frac{n}{q}+1}\}|$是所考虑的集合的勒贝格测度。特别地，当$X:=L^p({\mathbb R}^n)$与$p\in [1,\infty)$时，上述公式对于任何给定的具有$n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})<1$的$q\in (0,\infty)$都成立，当$q=p$恰好是H的最近令人惊讶的公式时。Brezis，J. Van…
Stability in Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequalities: flows, regularity and the entropy method
本文利用快速扩散方程流建立次临界 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式的定量构造性稳定性结果，首次获得含 Sobolev 临界情形的稳定性常数估计。
Optimal embeddings into Lorentz spaces for some vector differential operators via Gagliardo's lemma
证明了一类Sobolev不等式，其形式为$$ \Vert u \Vert_{L^{\frac{n}{n-1}, 1} (\mathbb{R}^n,V)} \le \Vert A (D) u \Vert_{L^1 (\mathbb{R}^n,E)} $$，其中$A (D) : C^\infty_c (\mathbb{R}^n, V) \to C^\infty_c (\mathbb{R}^n, E)$是一阶常系数向量齐次线性微分算子，$u$是$\mathbb{R}^n$上的向量场，$L^{\frac{n}{n - 1}, 1} (\mathbb{R}^{n})$是Lorentz空间.这些新的不等式特别意味着经典的Gagliardo-Nirenberg不等式的扩展到洛伦兹空间最初由于Alvino和锐化的一个不等式的变形算子的施特劳斯（科恩-Sobolev不等式）的洛伦兹尺度。证明依赖于Loomis-Whitney不等式和Gagliardo引理的非正交应用。
Explicit Formula Of The Critical Mass And The Energy Ground State Solution For The Mixed Local-Nonlocal Schrodinger Equation For The In-Between Critical Exponents Case
本文通过Gagliardo-Nirenberg不等式的最佳常数，推导了混合局部-非局部薛定谔方程中临界质量的显式公式，并证明了能量基态解的存在性及其作为优化器的性质。
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