关于算子的解析 Besov 函数的 Katznelson–Tzafriri 定理
A Katznelson-Tzafriri theorem for analytic Besov functions of operators
AI总结：
本文研究幂有界算子在解析 Besov 代数 $\mathcal{B}(\mathbb{D})$ 上的函数演算，证明相应的 Katznelson–Tzafriri 型收敛定理并推广已有结果。
摘要：
设 $T$ 是 Banach 空间 $X$ 上的幂有界算子，$\mathcal{A}$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上有界全纯函数构成的 Banach 代数，并假设算子 $T$ 具有有界函数演算，因此存在一个有界代数同态，将函数 $f \in \mathcal{A}$ 映射为 $X$ 上的有界算子 $f(T)$。Katznelson–Tzafriri 型定理表明，对于函数 $f \in \mathcal{A}$，若其边值函数在 $T$ 的酉谱 $σ(T)\cap \mathbb{T}$ 上为零，或在某些情形下满足更强的谱综合假设，则 $\lim_{n\to\infty} \\|T^n f(T)\\| = 0$。我们考虑 $\mathcal{A}$ 为 $\mathbb{D}$ 上解析 Besov 函数的 Banach 代数 $\mathcal{B}(\mathbb{D})$ 的情形。我们证明了一个适用于 $\mathcal{B}(\mathbb{D})$-演算的 Katznelson–Tzafriri 定理，该定理推广了此前的若干结果。
英文摘要：
Let $T$ be a power-bounded operator on a Banach space $X$, $\mathcal{A}$ be a Banach algebra of bounded holomorphic functions on the unit disc $\mathbb{D}$, and assume that there is a bounded functional calculus for the operator $T$, so there is a bounded algebra homomorphism mapping functions $f \in \mathcal{A}$ to bounded operators $f(T)$ on $X$. Theorems of Katznelson-Tzafriri type establish that $\lim_{n\to\infty} \|T^n f(T)\| = 0$ for functions $f \in \mathcal{A}$ whose boundary functions vanish on the unitary spectrum $σ(T)\cap \mathbb{T}$ of $T$, or sometimes satisfy a stronger assumption of spectral synthesis. We consider the case when $\mathcal{A}$ is the Banach algebra $\mathcal{B}(\mathbb{D})$ of analytic Besov functions on $\mathbb{D}$. We prove a Katznelson-Tzafriri theorem for the $\mathcal{B}(\mathbb{D})$-calculus which extends several previous results.
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