On the minimum value of the Colless index and the bifurcating trees that achieve it
树木平衡的测量在系统发育树的分析中起着重要的作用。在这方面，最古老和最流行的指数之一是Colless（1982）引入的有根分叉树的Colless指数。虽然它的许多统计特性在不同的概率模型下的系统发育树已经建立，很少有人知道它的最小值和树，实现it.In这份手稿中，我们填补了这一空白的文献。首先，我们推导出了具有$n$叶子的树的最小Colless索引的递归表达式和封闭表达式。令人惊讶的是，这些表达式显示了最小Colless指数和所谓的Blancmange曲线（一种分形曲线）之间的联系。然后，我们充分表征的树的形状，达到这个最小值，我们引入了一个算法来生成它们和递归来计算它们。在集中在两个极端类的树与最小Colless指数（最大平衡树和贪婪从底部的树），我们得出结论，表明所有的树与最小Colless指数也有最小的Sackin指数，另一个流行的平衡指数。
2020-02-17 cs.DM math.CO q-bio.PE
Extremal properties of the Colless balance index for rooted binary trees
树木平衡的测量在各个研究领域中起着重要的作用，例如在植物遗传学中。例如，它们被用来测试观察到的系统发育树是否与Yule物种形成模型生成的树有显著差异。在这方面，最流行的指数之一是Colless指数，它衡量有根二叉树的平衡程度。虽然许多统计性质的Colless指数（例如，渐近结果的平均值和方差在不同的物种形成模型）已经在不同的情况下进行了讨论，我们专注于其极值属性。虽然用最大Colless指数来刻画树是相对简单的，但对Colless指数的极小值的分析和实现它的树的刻画要复杂得多。因此，在本文中，我们将重点放在任何给定数量的叶子的Colless指数的极小值。我们推导出了这个极小值的递归公式，以及一个明确的表达式，它显示了Colless指数和所谓的Blancmange曲线（一种分形曲线，也被称为Takagi曲线）之间令人惊讶的联系。此外，我们刻画了两个类的树，有最小的Colless指数，由所谓的\emph{maximally balanced trees}和一类树，我们称之为\emph{greedy from the bottom trees}。此外，我们推导出一个上界的树的数量与最小的Colless指数的树与最小的Sackin指数（另一个研究良好的树平衡指数）。
2019-07-20 math.CO q-bio.PE
Revisiting Shao and Sokal's $B_2$ index of phylogenetic balance
系统发育平衡的测量，如Colless和Sackin指数，在系统发育遗传学中起着重要作用。不幸的是，这些指标是专门为系统发育树设计的，并没有自然地扩展到系统发育网络（越来越多地用于描述网状进化）。这使我们考虑一个鲜为人知的平衡指数，其定义是基于概率的解释，同样适用于树和网络。该指数被称为$B_2$指数，由Shao和Sokal于1990年首次提出。令人惊讶的是，从那以后似乎没有数学研究过它。同样地，它也只是偶尔在生物学文献中使用，在那里它往往被视为《双城之战》。本文研究了$B_2$在最常见的随机树模型下的期望和方差以及在各类系统发生网络上的极值等数学性质。我们还评估了它在生物应用中的相关性，并发现它与Colless和Sackin指数相当。总而言之，我们的研究结果要求重新评估这个有点被遗忘的系统发育平衡措施的地位。
2021-09-08 math.CO math.PR q-bio.PE
Sackin Indices for Labeled and Unlabeled Classes of Galled Trees
本文将 Sackin 指数推广到有标号与无标号 Gall 树及其子类，证明均匀随机网络的指数均值渐近为 μn^(3/2)，且尺度化指数及其矩收敛至 Airy 分布。
2025-02-20 math.CO q-bio.PE
Measuring Tree Balance with Normalized Tree Area
利用系统发育树的工具，通过遗传或表型相似性来研究物种的组织和聚类。系统发育树的一个重要结构特性是平衡，它衡量分类群在分支之间的分布。树平衡可以使用诸如Sackin（$S$）和Total Cophenetic（$Φ$）之类的指数来测量，这些指数基于树的节点与其根之间的距离。在这里，我们提出了一个新的度量树平衡，$\bar{d}$，每对（APP）的树，这是一个重新缩放的版本，所谓的树面积。我们计算$\bar{d}$的根毛毛虫和最大平衡树，我们也得到确切的公式，其期望值和方差下的Yule模型。Yule树的APP的方差有一个显着的性质，收敛到一个渐近常数值的大树。我们比较了Sackin，总Cophenetic和APP指数的数百个实证分析，并表明APP代表观察到的分布比其他两个指标的树平衡。
2020-08-28 q-bio.PE
Laplacian Matrices for Extremely Balanced and Unbalanced Phylogenetic Trees
系统发育树是研究物种间进化关系的重要工具。诸如Sackin，Colless和Total Cophenetic指数等措施已被广泛用于量化树木平衡，这是树木生长的一个关键属性。最近，一个新的建议已被引入，基于与树相关联的拉普拉斯矩阵的频谱。在这项工作中，我们计算拉普拉斯矩阵分析两个极端的情况下，对应于完全平衡和完全不平衡的树。对于最大平衡树，没有得到拉普拉斯矩阵的封闭形式，但我们提出了一个算法来构造它。我们表明，完全平衡树的拉普拉斯矩阵显示自相似模式，导致高度退化的特征值。退化是这种拓扑的主要特征，因为它在完全不平衡树中完全不存在。我们还建立了一些解析和数值结果的拉普拉斯矩阵的最大特征值的这些拓扑结构。
2020-08-28 q-bio.PE
A new balance index for phylogenetic trees
到目前为止，文献中已经提出了几个衡量有根系统发育树平衡程度的指标。在这项工作中，我们定义并研究了一个新的指数，这种类型，我们称之为总同胚指数：总和，在所有对不同的叶子，他们的最小共同祖先的深度。这个索引对任意树都有意义，可以在线性时间内计算，并且它具有比Colless或Sackin等其他索引更大的值范围和更大的分辨率。我们计算它的最大值和最小值的任意和二元树，以及精确的公式，其期望值的二元树下的圣诞节和统一的进化模型。作为这项研究的副产品，我们得到了一个精确的公式的期望值的萨金指数下的统一模型，一个结果，似乎是新的文献。
2012-02-06 cs.DM q-bio.PE q-bio.QM
A model of macro-evolution as a branching process based on innovations
我们介绍了一个模型的物种进化所引发的新功能的产生和详尽的组合与其他可用的特征。在创新是罕见的假设下，我们得到了一个物种形成的突发分支过程。对代表分支历史的树的分析揭示了与随机过程不同的结构。对于一棵有n片叶子的树，叶子到根的平均距离为（log n）^2，与随机分枝的log n进行比较。该模型的树形指数深度（Sackin指数）和不平衡度（Colless指数）的均值和标准差与数据库中真实系统发育树的均值和标准差一致。早期的模型，如Aldous的分支（AB）模型，显示出较大的偏差，从数据的形状指数。
2011-11-22 q-bio.PE
Combinatorial views on persistent characters in phylogenetics
所谓的二进制完美同源性与持久字符最近在计算生物学中得到了深入的研究，因为它比众所周知的二进制完美同源性限制较少。在这里，我们专注于（二进制）持久字符的概念，即字符，可以实现的系统发育树上的最多一个$0 \rightarrow 1$过渡，其次是最多一个$1 \rightarrow 0$过渡树，并分析这些字符在不同的方面。首先，我们说明了持久字符和最大简约性之间的联系，在那里我们的持久字符的特征在于著名的惠誉算法的第一阶段。之后，我们专注于一个给定的系统发育树的持久字符的数量。我们表明，这个数字完全取决于平衡的树。为了更准确地说，我们开发了一个公式，用于计算一个给定的系统发育树的基础上的树平衡的指数，即萨金指数的持久字符的数量。最后，我们考虑的问题，有多少（精心挑选的）二进制字符连同他们的持久性状态，需要唯一地确定一个系统发育树，并提供一个上限所需的字符数。
2020-03-27 math.CO q-bio.PE
Probabilities on cladograms: introduction to the alpha model
阿尔法模型，一个参数化的家庭的概率分支图（根二进制叶标记树），介绍。该模型是马尔可夫自相似的，删除稳定的（采样一致），并通过Yule，Uniform和Comb模型。在α模型下，给出了计算任意分支图或树形的概率的显式公式。Sackin和Colless指数被证明是$O(n^{1+α})$，渐近协方差等于1。因此，具有$n$叶的随机叶的预期深度是$O(n^α)$。随机α树上的樱桃数是渐近正态的均值和方差已知。最后的形状公布的mixgenies检查，使用树库。
2005-11-09 math.CO math.PR q-bio.PE
Power-laws in phylogenetic trees and the preferential coalescent
本研究提出一个基于偏好性合并的生成模型，通过广义Smoluchowski方程解释系统发育树中观测到的幂律标度，揭示其数学起源并提供新分析工具。
2025-10-15 q-bio.PE stat.OT
A parameterized family of balance indices for phylogenetic networks
Univ. Marie et Louis Pasteur, CNRS, LmB (UMR 6623)（玛丽和路易·巴斯德大学，法国国家科学研究中心，LmB（UMR 6623））
提出一族参数化的系统发育网络平衡指数H_α，包括B_2指数（α=1）作为特例，并自然推广了Sackin指数到网络。通过嫁接性质分析其极值、随机树和网络上的分布及渐近行为。
2026-06-24 math.CO math.PR q-bio.PE
Combinatorial perspectives on Dollo-$k$ characters in phylogenetics
近年来，具有持续特征的完美演化模型引起了人们的极大关注。它基于这样的假设，即复杂的特征或性格在进化过程中只能获得一次，失去一次。在这里，我们考虑该模型的一般化，即Dollo简约性，它允许多个字符丢失。更准确地说，我们从组合的角度看待多洛- $k$特征的概念，即在整个进化过程中最多获得一次而精确地丢失$k$次的特征。我们首先介绍了一个算法的基础上的概念的生成子树找到一个Dollo- $k$标记为一个给定的字符和一个给定的树在线性时间。然后，我们比较持久字符（由Dollo-0和Dollo-1字符的联合组成）和一般Dollo- $k$字符。虽然它是已知的，惠誉简约和持久的字符之间有很强的联系，我们表明，Dollo简约和惠誉简约一般是非常不同的。此外，虽然它是已知的，有一个直接的关系之间的持久字符的数量和Sackin指数的树，树平衡的一个流行的索引，我们表明，这种关系并不推广到Dollo- $k$字符。事实上，确定给定树的Dollo- $k$字符的数量比计算持久字符要复杂得多，我们通过介绍前者的递归方法来结束本文。这种方法产生了一种计算Dollo- $k$字符数的多项式时间算法，并且这种算法以及计算Dollo- $k$标记的算法都可以在BEAST 2的Babel包中公开获得。
2021-06-06 math.CO q-bio.PE
Metaconcepts of rooted tree balance
本研究引入有根树平衡的元概念，将现有多种树（不）平衡指数统一为基于树形特征函数的通用框架，既涵盖已有指数也可生成新指数，支持对指数族的系统性研究。
2025-07-30 math.CO q-bio.PE
