Modelli idrodinamici per la verifica della dinamica di navi in avanzamento
本文针对船舶前进运动中的耐波性问题，在无粘无旋流动与小振幅运动假设下建立线性水动力模型，并分别开发频域与时域计算代码，通过多种船体形状的数值结果与实验数据对比验证了方法的有效性。
2025-04-08 physics.flu-dyn
Machine-learning inference of fluid variables from data using reservoir computing
我们推断微观和宏观行为的三维混沌流体流动使用水库计算。在我们的推理过程中，我们假设没有先验知识的物理过程的流体流动，除了它的行为是复杂的，但确定性。我们提出了两种方式的复杂行为的推理;第一个称为部分推理需要在推理过程中继续了解部分时间序列数据以及过去的时间序列数据，而第二个称为全推理只需要过去的时间序列数据作为训练数据。对于第一种情况，我们能够推断微观流体变量的长时间运动。对于第二种情况，我们证明了仅从能量函数的过去数据构造的储层动力学可以推断能量函数的未来行为并再现能量谱。它也表明，我们可以推断出一个时间序列数据，只有一个测量，通过使用延迟坐标。这意味着，所得到的两个水库系统的构造没有知识的微观数据是等价的动力系统描述的宏观行为的能量函数。
2018-08-10 nlin.CD physics.comp-ph physics.data-an
On the capillary self-focusing in a microfluidic system
一个计算框架，以解决毛细自聚焦在步骤乳化。微流体系统由一个浅而宽的微通道组成，该微通道合并成一个深的储液器。采用连续介质法结合流体体积法模拟毛细自聚焦效应。利用Hele-Shaw近似简化了原控制方程。我们表明，两种流体之间的接口采取的形状的颈部缩小的流动方向之前进入水库，与我们的实验观察。我们的计算模型依赖于这样的假设，即在边界处的压力，其中流体退出到储层中，是储层中的均匀压力。我们研究这个假设，通过比较数值计算结果与实验数据。我们推测，压力边界条件变得重要时，颈部的宽度是可比的微通道的深度。然后提出了一个修正的出口压力边界条件，这是通过与实验数据比较确定。我们还介绍了破碎制度转变的实验观察和数值结果。
2016-04-12 physics.flu-dyn
Non-symmetry of a hydraulic fracture due to the inhomogeneity of the reservoir
通常假设水力裂缝具有相对于流体注入点对称的两翼。因此，作者仅限于对一半骨折进行建模。在我们的工作中，我们证明了对称裂缝的情况下，只发生在一个均匀的储层与恒定的物理参数和限制{ \it原位}应力。否则，应力或岩石渗透率的不均匀性会显著改变裂缝扩展的动力学。本文所采用的水力压裂数学模型是我们前期工作\cite{Golovin_Baykin_2016_Pore}的基础。本文通过数值实验证明了在非恒定围压或储层渗透率的情况下，裂缝的非对称性发展。由于孔隙压力在裂缝附近形成的背应力的作用起着重要的作用。为了支持这一观察，我们给出了一个正式的背应力的定义，并比较了作用在两个不同的骨折翼的背应力值。这些数值实验强调了正确模拟水力压裂的孔隙和压裂液之间的相互作用的正确建模的重要性。
2016-10-29 physics.flu-dyn
A Comparison of Experimental Measurements and Computational Predictions of a Deep-V Planing Hull
为了支持高速、小型艇应用的计算流体动力学代码的开发，在具有代表性的深V滑行艇模型上进行了实验室实验。测量包括阻力、下沉和纵倾、船体压力测量、纵向波切、船首波和船尾尾流拓扑。模型在静水中拖曳，速度范围为1.78至14.2 m/s（5.8至46.6 ft/s），对应弗劳德数范围为0.31至2.5。在滑行速度为+8 m/s（+26.2 ft/s）时，该模型在增加两个不同角度（7度和13度）的配平调整片的情况下运行。在收集所有数据的过程中记录了照片文件，包括静态照片和录像。利用数值流场分析（NFA）程序进行了流场的数值模拟，并与模型试验结果进行了比较。
2014-10-07 physics.flu-dyn
Hydraulic Fracture Propagation in Naturally Fractured Reservoirs: Complex Fracture or Fracture Networks
了解天然裂缝性储层中流体驱动水力压裂的行为对于地热能和非常规储层的开发至关重要。本研究提出了一个完全耦合的数值模型来研究水力传播在天然裂缝性油藏，随着现场观测的全面讨论。结果表明，与我们通常的看法相反，“复杂裂缝”而不是“裂缝网络”是这些天然裂缝性储层的常态
2019-09-30 physics.flu-dyn physics.geo-ph
WellPINN: Accurate Well Representation for Transient Fluid Pressure Diffusion in Subsurface Reservoirs with Physics-Informed Neural Networks
Global Change Research Group (GCRG), IMEDEA, CSIC-UIB（全球变化研究组（GCRG），IMEDEA，CSIC-UIB）
提出WellPINN工作流，通过多阶段顺序训练物理信息神经网络（PINNs）并逐步缩小等效井半径，解决了现有PINN方法在注入早期井附近压力捕捉不准的问题，实现了全注入周期内由泵注速率精确推断流体压力。
2025-07-12 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Swirling against the forcing: evidence of stable counter-directed sloshing waves in orbital-shaken reservoirs
本文研究了圆柱形容器在椭圆周期轨道上的自由表面响应。对于小强迫振幅和深液层，我们量化的影响轨道的纵横比上的表面动力学在附近的流体系统的最低固有频率。我们提供了实验证据的存在的频率范围内，稳定的漩涡可以是共同的或相反的方向相对于容器的运动方向。我们的研究结果是成功地预测的无粘渐近模型，修正了启发式阻尼。
2023-03-03 physics.flu-dyn
Analytical solutions from integral transforms for transient fluid flow in naturally fractured porous media with and without boundary flux
利用有限Hankel变换可以求解一类具有类似于空心圆盘几何形状的介质中的径向对称瞬态流体流动问题。然而，逆Hankel变换[G. Cinelli，国际工程学杂志。科学，3，539（1965）]仅对齐次边界条件有效。本文用有限Hankel变换和拉普拉斯变换求解非齐次边界条件下的偏微分方程。有了这个目的，我们提出了一种方法来获得一个解析解的问题，在一个有限的天然裂缝性油藏的内部和外部边界具有恒定和时间依赖的条件，分别。我们假设油藏有一口生产井，其终端压力或终端流量恒定，而外边界有流入补给或恒定压力。利用这些例子，我们证明了Cinelli给出的部分逆变换可以表示为长时间解的闭公式，同时也使得捕捉非齐次条件和加速解的收敛成为可能.对于Neumann-Neumann条件，我们证明了Cinelli的逆表达式是不完全的。此外，还对有流入补给的油藏的流量特征曲线进行了分析。压降曲线被用来阐明的声明，一个单一的孔隙度油藏流入补给的压降类似于在一个双重孔隙度封闭油藏的流动行为，建立一个标准来区分两者。
2019-12-06 math.AP physics.flu-dyn
A framework for subsurface monitoring by integrating reservoir simulation with time-lapse seismic surveys
本研究开发了一种耦合储层模拟与时移地震的方法，通过分离储层信号来跟踪流体前缘，以改进地下储层监测。
2023-08-30 physics.comp-ph physics.flu-dyn physics.geo-ph
Dynamical Responses of a Valveless Fluid Loop Excited by the Impact of a Compression Actuator
无阀泵送有助于各种生物体和工程系统中的流体输送。在以前的工作中，为了研究致动器对无阀泵送的影响，我们构建了一个闭环系统的分段线性集中参数模型，该模型由两个刚性管连接的两个可膨胀的流体储存器组成。该工作的初步渐近和数值结果表明，系统动力学是相当丰富和复杂的，强烈依赖于驱动器的驱动频率（周期性地压缩可膨胀的水库之一）和其他系统参数。在这里，上述模型进行了更全面的数值研究，以澄清有多少不同类型的系统响应可以激发，并找到其中存在的每种类型的参数边界。此外，通过检查多个特征相位（例如，致动器与其作用的可膨胀储液器碰撞或分离的压缩循环的相位）的驱动频率依赖性，识别不同类型的系统响应之间的相互关系。
2011-06-23 nlin.CD physics.flu-dyn
Numerical simulation of a comparative study on heat extraction from Soultz-sous-Forêts geothermal field using supercritical carbon dioxide and water as a working fluid
地热能是当今人类社会取之不尽、用之不竭的能源。从深层地下提取能量需要使用在双井之间循环的工作流体进行工程设计。由于其热性能，CO2是传热流体的理想选择。通过使用CO2，与其他工作流体相比，工作流体损失是一个优点。本研究开发了一个现场规模的水热模型，以研究从Soultz-sous-Forêts与CO2作为工作流体的热提取潜力。结果进行了比较，为相同的情况下，水作为工作流体。通过考虑储层响应和井筒热交换，建立了对热提取机理的更好理解。敏感性分析进行了不同的注射温度和流速为50年。结果表明，井筒效应比储层对生产温度的响应高出数倍。此外，降低注入温度最终导致地下温度降低较小，从而提高了整体热提取潜力，对热突破的影响较小。注入井眼周围形成的冷区由于靠近生产井眼，可能会影响生产流体温度。为了达到更高的热提取效率，必须使用足够的井眼间距。CO2可以用作工作流体超过50年，因为在研究条件下，CO2在储层中没有显示出显著的热突破和温度羽流演化。对于50年的运行，CO2在所有注入速率和温度下显示出较低的温度降低。
2022-07-15 physics.flu-dyn physics.geo-ph
Neural Operators for Mathematical Modeling of Transient Fluid Flow in Subsurface Reservoir Systems
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出 TFNO-opt Fourier 神经算子，通过可调时间分辨率、张量分解、Sobolev 损失及误差分离提升瞬态储层流建模精度与稳定性，并在 UGS 问题中较传统方法加速六个数量级。
2025-09-25 cs.AI cs.LG physics.flu-dyn
A Physics-Informed, Deep Double Reservoir Network for Forecasting Boundary Layer Velocity
本文提出物理信息深度双储备池网络，通过偏微分方程惩罚项引入物理约束，用于准确预测边界层速度，并在水洞数据上验证其在质量守恒和速度脉动变异性方面优于非物理信息方法。
2024-10-23 physics.flu-dyn stat.AP
Injection of Deformable Capsules in a Reservoir, a Systematic Analysis
胶囊弹射到一个狭窄的通道到水库的计算研究进行了不同的变形胶囊的大小和通道尺寸的组合。质量弹簧膜模型耦合到浸没边界格子玻尔兹曼模型求解器。本工作的目的是描述胶囊的运动，变形和流体的响应，由于复杂的粒子动力学。胶囊之间的相互作用影响当地的速度场显着，并负责观察到的动力学。胶囊膜的变形性也被认为是影响胶囊间的相互作用，我们观察到，三个粒子的训练局部均匀的速度场和领先的胶囊旅行速度比其他两个尾随胶囊。相反，储层尺寸的变化似乎不相关，而胶囊直径与通道直径的比率以及胶囊直径与胶囊间间距的比率起主要作用。这种流动设置尚未在文献中，因此，我们专注于描述胶囊运动，膜变形和流体动力学，在这一领域的初步调查。
2019-06-25 cond-mat.soft physics.flu-dyn
The Numerical Simulation of Ship Waves using Cartesian Grid Methods
采用两种不同的笛卡尔网格方法对DDG 5415的绕流进行了数值模拟。第一种技术使用“耦合水平集和流体体积”（CLS）技术来模拟自由表面界面。采用有限体积法对船体施加无通量边界条件。第二种技术使用水平集技术（LS）来模拟自由表面界面。一个体力技术被用来施加船体边界条件。这两种数值技术的预测相比，须探针测量的DDG 5415。水平集技术也被用来研究一个二维喷雾片的破碎。
2014-10-08 physics.flu-dyn
Microfluidic switchboards with integrated inertial pumps
连接两个不同流体储存器的H形微流体通道的阵列已经用在热喷墨打印头的生产中使用的硅/SU 8微制造技术构建。流体经由蚀刻穿过硅晶片的槽输送到通道。每个H形通道包括四个热喷墨电阻器，四个支腿中的每个支腿中有一个热喷墨电阻器。电阻器使水蒸发并产生驱动气泡，该驱动气泡将流体从大容量储存器泵入和泵出通道。通过改变四个泵的相对频率，输入流体可以以任何比例输送到网络的任何部分。几个流体操作，包括稀释，混合，动态阀门，和路由已被证明。因此，已经实现了不需要外部机械动力源的完全集成的微流体开关板。一个矩阵形式主义来描述复杂的交换机流已经开发和测试。
2018-02-10 cond-mat.other physics.flu-dyn
Fluid infiltration of a heterogeneous medium: A stochastic model
考虑了与压力流体储层接触的透气砖的流体渗透问题。由达西定律和流体的不可压缩性所知的随机模型显示了渗透率场的非均质性如何影响流体渗透的时间演化。特别是，异常（非达西）推进的羽的原因是确定的。该模型被应用到砖是线性阵列的谢尔宾斯基地毯。将计算结果与文献中的实验结果进行了比较，验证了模型和方法的正确性。
2022-03-26 nlin.AO physics.flu-dyn
Experimental Investigation of Proppant Flow and Transport Dynamics Through Fracture Intersections
本文研究了支撑剂的流动和运输在压裂裂缝的角度典型的交叉点预先存在的和新的水力裂缝。支撑剂是小颗粒材料，其在地热和烃储层刺激期间被放置到水力裂缝中，并且在储层开采期间支撑流体路径打开。本研究使用有机玻璃实验室槽实验增强了先进的图像分析，用于识别颗粒轨迹和量化浆体速度。虽然支撑剂流动和运输已被广泛研究，交叉裂缝角度的影响，特别是与流体粘度，流速和支撑剂体积浓度的影响。本文专门研究了中间断裂角度的作用，这已被确定为最经常发生时，新的水力压裂拦截现有的。结果表明，交叉后的支撑剂流动和传输行为是非常敏感的携带流体粘度和流量的变化，而区分支撑剂体积浓度的影响有限。裂缝交叉角本身对支撑剂流速和支撑剂沉降有明显影响;此外，它增强了流体粘度、流体流速和支撑剂体积浓度的影响。
2020-09-21 physics.app-ph physics.flu-dyn
Residence time of inertial particles in 3D thermal convection: implications for magma reservoirs
晶体在对流流体中的动力学行为决定了岩浆体如何凝固。特别是，通常重要的是估计晶体在沉积在其底部（或顶部，对于轻颗粒）之前在主体液体中悬浮多久。我们进行了系统的三维数值研究的颗粒载瑞利-贝纳德对流，并推导出一个强大的模型的颗粒停留时间。当瑞利数大于10^7时，惯性粒子的轨迹表现出从流体示踪剂样到自由落体动力学的单调过渡，控制参数是粒子斯托克斯速度与流体速度之间的比率。平均沉降速率与两种端元体系中的颗粒Stokes速度成正比，但停留时间的分布明显不同。对于较低的瑞利数（<10 ^7），大尺度环流和颗粒运动之间的相互作用出现，平均增加了沉降速率。然而，平均停留时间不超过终止时间，即从静止流体开始的沉降时间，其系数大于4。一个例外是只有轻微超临界瑞利数（~10^4）的模拟，对于这种情况，稳定对流发展，一些粒子被无限期地捕获。同一问题的二维模拟高估了流-颗粒相互作用-因此停留时间-对于高和低瑞利数，这强调了使用三维几何形状模拟颗粒负载流的重要性。我们概述了我们的模型可以用来解释被认为是通过沉淀的晶体货物形成的岩浆侵入体的沉积层中的晶体尺寸分布的深度变化，并讨论了如何凝固侵入体的显微结构观测可以用来推断过去的对流速度的岩浆。
2022-02-25 physics.flu-dyn physics.geo-ph
The inertial sea wave energy converter (ISWEC) technology: device-physics, multiphase modeling and simulations
在本文中，我们调查的惯性波能量转换器（ISWEC）设备的动力学使用全解析计算流体动力学（CFD）模拟。该装置最初由都灵理工大学设计，由一个漂浮的船形船体组成，船体松弛地停泊在海床上。在内部，陀螺动力起飞（PTO）单元将波浪引起的船体俯仰运动转换为电能。CFD模型基于不可压缩的纳维-斯托克斯方程，并利用虚拟域Brinkman惩罚技术来耦合设备物理和水波动力学。数值波浪水槽用于模拟实际的海上作业条件。进行弗劳德尺度分析，使二维和三维模拟缩小（1：20）ISWEC模型。它表明，按比例缩小的2D模型是足够的，以准确地模拟船体的俯仰运动和预测的转换器的发电能力。对ISWEC进行了系统的参数研究，并根据船体和陀螺仪控制参数确定了其发电性能的最佳值。结果表明，当陀螺仪参数选择基于反应控制理论时，该装置达到最佳性能。它示出的PTO控制扭矩的比例控制需要产生连续的陀螺仪进动效应，没有该装置产生没有功率。在惯性参考系中，证明了作用在船体上的偏航和俯仰扭矩具有相同的数量级，为ISWEC技术的未来设计研究提供了信息。此外，从水波到船体、船体到陀螺仪以及陀螺仪到PTO单元的能量传递路径被解析地描述和数值地验证。
2020-05-13 physics.comp-ph physics.flu-dyn
A Numerical Formulation for Simulating Free-Surface Hydrodynamics
笛卡尔网格法与浸入体法和流体体积法相结合，非常适合于模拟船舶周围的破碎波。船体的表面嵌板被用作输入，以施加体边界条件上的三维carbohydrate网格。数值算法的流体体积部分用于捕获自由表面界面，包括波浪的破碎。数值格式在并行计算机上实现。最近的改进的数值方案进行了讨论，包括实施一个新的多重网格程序和转换到MPI通信。数值预测进行了比较，实验室测量的拖曳transom-stern模型。
2014-10-07 physics.flu-dyn
ShipNet: A Geometric Deep Learning Surrogate for Real-Time Ship Hydrodynamics
Maritime Research Institute（海洋研究机构）；Wageningen, Netherlands（荷兰瓦格宁根）；Damen Research（达门研究）；Gorinchem, Netherlands（荷兰戈林切姆）
提出ShipNet几何深度学习代理模型，直接从船体几何和速度预测压力分布与波浪场，在保留测试集上R²达0.98和0.91，推理速度比势流求解器快550倍以上。
2026-06-16 cs.LG physics.flu-dyn
On the theory of Biot-patchy-squirt mechanism for wave propagation in partially saturated double-porosity medium
储集岩通常由被多种流体饱和的相干非均质多孔基质组成。在长波长范围内，固体骨架复合材料通常被视为均匀介质。然而，在颗粒尺度或高加载速率下，非均质内部界面处的非均匀流体流动对波的频散和衰减起着至关重要的作用。半饱和裂隙岩石中波的传播问题是一个具有挑战性的问题，也是地学界的一个热点问题。在这里，我们提出了一个生物补丁喷射（BIPS）模型来描述波的频散/衰减的裂隙孔隙弹性介质饱和的两个不混溶流体。BIPS模型将局部流体界面流动（LFIF）和喷射流动机制同时纳入全局流体流动中。理论分析表明，粘性耗散、喷流和斑片状界面振动引起的波衰减是不同的。BIPS与Biot理论、喷射和LFIF模型本质一致，并在极限条件下归结为上述机理。数值结果表明，LFIF和喷流的耦合对纵波的频散和衰减有着重要的影响。与实验数据的比较表明，BIPS模型是计算可靠的，在合理的实验数据吻合。该研究加深了我们对天然储层岩石中波传播的基本物理的理解，并推动了三重频散/衰减机制在地球深部波速估计中的潜在应用。
2021-09-20 physics.flu-dyn physics.geo-ph
Isothermal transport of a near-critical binary fluid mixture through a capillary tube with the preferential adsorption
本文研究了非电解质二元流体混合物通过连接两个储层的毛细管的等温输运。通常，一种组分优先吸附在管壁上，并且由于大的渗透敏感性，吸附变得显著。当流动由储存器之间的压力差驱动时，流出管的混合物富含优选组分。当流动由质量分数差驱动时，在存在优先吸附的情况下发生总质量流，这意味着出现扩散渗透。这些现象可以看作是相互联系的交叉效应。我们还研究了这些现象，通过使用基于粗粒自由能泛函，这是以前得到的重整化局部泛函理论的流体动力学数值。特别指出，在扩散渗透中，电导或在给定的质量分数差下的总质量流率可随温度非单调地变化。
2022-05-16 cond-mat.mtrl-sci cond-mat.soft cond-mat.stat-mech
A New Paradigm of Reservoir Computing Exploiting Hydrodynamics
非线性波在奠定复杂性科学的基础方面发挥了历史性的作用。最近，他们还允许开发一种新的储备池计算范例：波的类脑计算。在这些系统中，信息传输充当波动力学的激发，波动力学的演变处理信息，以低能耗执行复杂任务。为了使非线性流体动力学波进行计算，我们设计了人工神经网络的水光子存储计算机（Aqua-PACMANN），该系统中浅水中的波传播是主要的物理现象，并且电子器件的存在可以减少到检测中的CCD相机。我们展示了一个XNOR逻辑门的实现，作为Aqua-PACMANN架构的概念证明，并为一类新的流体动力学类脑计算铺平了道路。
2023-02-03 cs.AR cs.ET nlin.PS
Neural Operator-Based Proxy for Reservoir Simulations Considering Varying Well Settings, Locations, and Permeability Fields
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本研究提出一种基于傅里叶神经算子的油藏模拟代理模型，通过数据增强和二进制输入张量构建，可针对可变渗透率场、井位、井控和井数快速预测压力与饱和度，误差低，能大幅加速油藏相关流程与管理优化。
2024-07-13 cs.LG physics.flu-dyn physics.geo-ph
Combined mechanistic and machine learning method for construction of oil reservoir permeability map consistent with well test measurements
Skolkovo Institute of Science and Technology (Skoltech)（斯科尔科沃科学技术研究所（Skoltech））；Institute of Mechanics, Moscow State University（莫斯科国立大学力学研究所）
本研究提出一种结合Nadaraya-Watson核回归与神经网络代理模型的油藏渗透率图构建方法，可匹配测井与试井数据，在Egg Model上验证了其水动力学相似性与生产模拟匹配效果。
2022-12-20 cs.LG physics.flu-dyn physics.geo-ph
Sample-Efficient and Surrogate-Based Design Optimization of Underwater Vehicle Hulls
Vanderbilt University（范德堡大学）；Institute for Software Integrated Systems（软件集成系统研究所）；Department of Computer Science（计算机科学系）；Department of Electrical and Computer Engineering（电气与计算机工程系）
针对CFD仿真在CAD优化中的计算瓶颈，本研究在UUV船体设计背景下，对比了贝叶斯优化与DNN代理模型方法，发现BO-LCB样本效率最高，DNN代理模型预测阻力MAPE为1.85%，结合两者实现两个数量级加速。
2024-03-29 cs.AI cs.LG physics.app-ph
A Symplectic Theory of Turbulence Closure: Hidden Reservoir Dynamics, Endogenous Stochastic Transport, and Kraichnan Dual Cascades
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
该研究提出辛几何闭合（SGC），基于多层随机模型几何约化构建，保留二维湍流双级串所需几何与哈密顿结构，重现Kraichnan理论算子架构，为几何约束的稳定数据驱动闭合提供基础。
2026-09-09 math-ph math.MP physics.flu-dyn
Implementation of the Critical Wave Groups Method with Computational Fluid Dynamics and Neural Networks
Naval Surface Warfare Center Carderock Division（卡德洛克海军水面作战中心）；The University of Michigan（密歇根大学）
准确有效地预报船舶的极端响应一直是船舶水动力学中的一个具有挑战性的问题。概率框架结合计算效率高的数值流体动力学工具已经开发出来，使研究人员和设计人员更好地了解极端。然而，这些流体动力学工具在极端事件期间定量表示物理的能力是有限的。以往的研究成功地实现了临界波群（CWG）概率方法与计算流体动力学（CFD）。虽然CWG方法允许比蒙特卡罗方法更少的模拟时间，但是所需的大量模拟是成本过高的。本文的目标是通过构建长短期记忆（LSTM）神经网络来降低CFD实现CWG的计算成本。在用有限数量的模拟训练模型之后，模型可以提供更大量的预测来计算概率。新的框架演示了2-D的海军研究办公室Tumblehome（ONRT）船体在海况7和梁海在零速度的船中段。新的框架能够产生的预测是一个纯粹的CFD驱动的CWG框架的代表，两个数量级的计算成本节省。
2023-01-24 cs.LG cs.NA math.NA
