德摩根克隆与四值逻辑
De Morgan clones and four-valued logics
摘要：
研究了次直不可约四元De~Morgan代数$\mathbf{DM_{4}}$的所有项函数的克隆$\mathsf{DMA}$所对应的四元集合上的克隆.我们发现生成集的克隆的所有功能保持的子代数的$\mathbf{DM_{4}}$，~ $\mathbf{DM_{4}}$的自态射，真序和信息顺序的$\mathbf{DM_{4}}$，以及克隆定义的这些条件的连接。我们确定了$\mathsf{DMA}$在四值克隆格中的覆盖，并描述了$\mathsf{DMA}$上包含有一个函数的克隆格。最后，观察到每个克隆以上$\mathsf{DMA}$定义了一个扩展的四值贝尔纳普-邓恩逻辑，我们分类这些克隆由它们的元逻辑属性，特别是由它们的位置内的莱布尼茨和弗雷格层次的抽象代数逻辑。
英文摘要：
We study clones on a four-element set related to the clone $\mathsf{DMA}$ of all term functions of the sub\-directly irreducible four-element De~Morgan algebra $\mathbf{DM_{4}}$. We find generating sets for the clones of all functions preserving the subalgebras of $\mathbf{DM_{4}}$, the auto\-morphisms of~$\mathbf{DM_{4}}$, the truth order and the information order on $\mathbf{DM_{4}}$, as well as clones defined by conjunctions of these conditions. We identify the covers of $\mathsf{DMA}$ in the lattice of four-valued clones and describe the lattice of clones above $\mathsf{DMA}$ which contain the discriminator function. Finally, observing that each clone above $\mathsf{DMA}$ defines an expansion of the four-valued Belnap--Dunn logic, we classify these clones by their metalogical properties, specifically by their position within the Leibniz and Frege hierarchies of abstract algebraic logic.
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