Spectral conditions for the existence of specified paths and cycles in graphs
设$G$是一个顶点数为$n$的图，$λ_n(G)$是$G$邻接矩阵的最小特征值.本文给出了不含路或圈的图的最小特征值的精确界，并确定了极图。这个结果给出了图中存在指定路和圈的谱条件。
2013-09-26 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
On the intersection of two longest paths in $k$-connected graphs
本文证明了$k$连通图中每对最长路至少相交于$(8k-n+2)/5$顶点。我们还证明了，在一个4-连通图中，每对最长路至少相交于四个顶点。这证实了Hippchen关于$k$ -连通图当$k\leq 4$或$k\geq (n-2)/3$ .
2020-08-05 math.CO
Long heterochromatic paths in heterochromatic triangle free graphs
在本文中，所考虑的图总是边着色的。本文研究了无异色三角形图的长异色路。考虑了两类图，一类是具有Gallai染色的完全图，即，一类是无异色三角形的完全图，另一类是有$k$ -好着色的无异色三角形的图，即，最小颜色度至少为$k$。对于异色无三角形图$K_n$，我们得到，对于每个顶点$v\in V(K_n)$，$K_n$有一个异色$v$ -路的长度至少$d^c(v)$ ;而对于异色无三角形图$G$，我们证明，如果，对于任何顶点$v\in V(G)$，$d^c(v)\geq k\geq 6$，那么$G$的异色路的长度至少$\frac{3k}{4}$。
2008-04-29 math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of graphs with large minimum degree
对于给定的最小度至少为$k$的有限图$G$，设$G_{p}$是$G$的随机子图，通过以概率$p$独立地取每条边而得到.我们证明了：（i）如果$p \ge ω/k$的功能$ω=ω(k)$，趋于无穷的$k$没有，那么$G_p$渐近几乎必然包含一个周期（从而路径）的长度至少$(1-o(1))k$，（ii）如果$p \ge (1+o(1))\ln k/k$，那么$G_p$渐近几乎必然包含一条路径的长度至少$k$。我们的定理推广了经典的关于二项随机图的路和圈的结果，这些结果是通过把$G$看作是$k+1$顶点上的完全图而得到的。
2013-05-25 math.CO
Cycles and paths through specified vertices in graphs with a given clique number
本文受已有结果启发，证明了团数为ω的n阶2-连通图中存在经过所有度数≥n−ω顶点的圈（除非G为特定图），还证明了相关路径存在性及特定顶点对间路径包含指定度数顶点的结论。
2025-02-11 math.CO
Long paths and cycles in subgraphs of the cube
令$Q_n$表示具有顶点集$\{0,1\}^n$的$n$维立方体的图，其中如果两个顶点恰好在一个坐标上不同，则两个顶点相邻。设$G$是$Q_n$的一个子图，其平均度至少为$d$ .我们能保证在$G$中找到多长的路径？本文的目的是证明$G$一定包含一条指数长的路，事实上，我们证明了如果$G$的最小度至少为$d$，那么$G$一定包含一条长度为$2^d-1$的路.请注意，这个界限是紧的，如$Q_n$的$d$维子立方体所示。我们还得到了稍强的结果，$G$必须包含一个周期的长度至少为$2^d$，并证明了类似的结果，为其他的“产品型”图。
2015-03-20 math.CO
Cycles and paths through vertices whose degrees are at least the bipartite-hole-number
本文以二部洞数 $\widetildeα(G)$ 为度阈值，证明2-连通图中存在圈经过所有高度数顶点，并在连通图中给出连接两个高度数顶点且经过同类顶点的路，从而推广已有结论。
2025-06-11 math.CO
Path Ramsey number for random graphs
回答Dudek和Prawatat提出的一个问题，我们证明了如果$pn\rightarrow \infty$，w. h. p.，~只要$G=G(n,p)$是$2$颜色的，就存在长度为$n(2/3+o(1))$的单色路径。在$2/3$不能被更大的常数替代的意义上，该结果是最佳的。作为证明的一部分，我们得到了以下结果，这可能是独立的利益。我们证明了，给定一个图$G$的$n$顶点至少有$(1-ε)\binom{n}{2}$的边缘，只要$G$是$2$ -边着色，有一个单色路径的长度至少为$(2/3-100\sqrtε)n$。这是一个扩展的经典结果Gerencsér和Gyárfás说，每当$K_n$是$2$着色有一个单色路径的长度至少$2n/3$。
2014-05-26 math.CO
A Dirac type condition for properly coloured paths and cycles
设$c$是图$G$的边着色，使得对于每个顶点$v$，在与$v$关联的边上至少有$d \ge 2$不同的颜色.我们证明了$G$包含一条长度为2d的适当着色的路或一个长度至少为$d+1$的适当着色的圈.此外，如果$G$不包含任何适当着色的循环，则存在长度为$3 \times 2^{d-1}-2$的适当着色的路径。
2013-06-20 math.CO
Connectivity keeping paths in $k$-connected bipartite graphs
2010年，马德尔[W. Mader，Connectivity keeping paths in $k$ -连通图，J.图论65（2010）61-69.]证明了每一个最小度至少为$\lfloor\frac{3k}{2}\rfloor+m-1$的$k$ -连通图$G$都含有一条$m$阶的路$P$，使得$G-V(P)$仍然是$k$ -连通的.本文考虑了二部图的类似问题，证明了每一个最小度至少为$k+m$的$k$ -连通二部图$G$都含有一条$m$阶的路$P$，使得$G-V(P)$仍是$k$ -连通的.
2021-10-03 math.CO
On path-cycle decompositions of triangle-free graphs
本文研究无三角形图中长度受限的路径-圈分解条件，刻画了奇距离至少为3且允许长度至少为4的分解的图类，并推广了Gallai猜想至稀疏图类。
2017-10-23 math.CO
Long directed paths in Eulerian digraphs
Bollobás和Scott的一个古老的猜想断言，每个平均度为$d$的欧拉有向图都包含一个长度至少为$Ω(d)$的有向圈。最有名的下界为这个问题是$Ω(d^{1/2})$黄，马，Shapira，Sudakov和Yuster。他们问这个估计是否可以改善至少有向路径，而不是循环，以及是否可以找到一个长路径从任何顶点开始，如果主机有向图是连接的。在本文中，我们打破了$\sqrt{d}$障碍，展示了如何找到一个道路的长度$Ω(d^{1/2+1/40})$从任何顶点的连通欧拉有向图。
2021-01-27 math.CO
The (theta, wheel)-free graphs Part IV: induced paths and cycles
本文研究不含theta图和wheel图作为导出子图的图类，利用第二部分证明的基于团割集和2-连接的分解定理，解决了该图类中寻找导出路和环的相关问题。
2019-12-01 math.CO
Long induced paths in minor-closed graph classes and beyond
本文证明了路宽小于$k$且有一条阶为$n$的路的图也有一条阶至少为$\frac{1}{3} n^{1/k}$的诱导路。这是Esperet，Lemoine和Maffray（2016）针对有界团数的区间图获得的多对数界的指数改进和推广。我们补充这个结果的上限。这个结果被用来证明以下两个推广：-每个树宽小于$k$的图，如果它有一条阶为$n$的路，它就包含一条阶至少为$\frac{1}{4} (\log n)^{1/k}$的导出路;- 对于每一个非-一个在拓扑子式下封闭的平凡图类，存在一个常数$d \in (0,1)$，使得来自这个类的每个具有$n$阶路的图都包含至少一个阶的导出路$(\log n)^d$。我们还描述了这些结果的后果超出了图类下拓扑未成年人关闭。
2023-01-03 cs.DM math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of H-free graphs
设$\mathcal{H}$是给定的有限（可能为空）连通图族，每个连通图包含一个圈，$G$是任意有限无$\mathcal{H}$图，其最小度至少为$k$ .对于$p \in [0,1]$，我们通过以概率$p$独立地保持$G$的每条边来形成$G$的$p$ -随机子图$G_p$.推广了Ajtai，Komlós和Szemerédi的经典结果，证明了对每个正的$\varepsilon$，存在正的$δ$（仅取决于$\varepsilon$），使得以下成立：如果$p \ge \frac{1+\varepsilon}{k}$，则概率趋于$1$作为$k \to \infty$，随机图$G_p$包含长度至少为$n_{\mathcal{H}}(δk)$的循环，其中$n_{\mathcal{H}}(k)>k$是平均度至少为$k$的无$\mathcal{H}$图中的最小顶点数。因此，特别地，如上所述的$G_p$通常包含长度至少为$k$线性的环。
2014-01-16 math.CO
Splitting Planar Graphs of Girth 6 into Two Linear Forests with Short Paths
最近，Borodin，Kostochka和Yancey（On $1$ -inappropriate $2$ -coloring of sparse graphs. Discrete Mathematics，313（22），2013）示出了围长至少为$7$的每个平面图的顶点可以是$2$着色的，使得每个颜色类导出匹配的子图。我们证明了任何周长至少为$6$的平面图都允许$2$颜色的顶点着色，使得每个单色分量是长度至多为$14$的路。此外，我们显示了这个结果的列表版本。另一方面，对于每个正整数$t\geq 3$，我们构造了一个周长$4$的平面图，使得在$2$颜色的顶点的任何着色中，存在长度至少为$t$的单色路径.围长$5$的每个平面图是否允许没有长单色路的$2$ -染色仍然是开放的。
2015-07-10 cs.DM math.CO
Hamiltonian increasing paths in random edge orderings
如果完全图$K_n$的边是全序的，则边是升序的简单路称为增路。几十年来，最长递增路径的最坏情况长度一直是一个悬而未决的问题，其渐近界介于$\sqrt{n}$（Graham and Kleitman，1973）和$n/2$（Calderbank，Chung，and Sturtevant，1984）之间。我们考虑的平均情况下，当顺序是随机选择均匀。我们发现令人惊讶的结果，在随机设置中，一个最大可能长度的$n-1$的增加路径存在的概率至少约为$1/e$。我们还证明了概率$1-o(1)$，有一个增加的路径的长度至少为$0.85n$，这表明这种哈密顿（或近哈密顿）现象可以渐近几乎肯定。
2014-03-04 math.CO
About the second neighborhood conjecture for tournaments missing two stars or disjoint paths
本文针对 Seymour 第二邻域猜想，证明了缺失两颗星的竞赛图满足该猜想，并研究了缺失不相交路径（尤其是长度为 2 的路径）的竞赛图，在某些情形下还证明了至少存在两个具有第二邻域性质的顶点。
2024-06-05 math.CO
Lattice Path Matroids are 3-Colorable
我们证明了每个秩至少为2的格路拟阵都有一条相当简单的共线，也称为正共线。因此，格路拟阵的每一个方向关于有定向拟阵的色数都是3-可染的。Nickel和W. Hochstättler。
2018-07-02 math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of graphs with large minimum degree
对于图$G$和图$p\in [0,1]$，设$G_p$是由图$G$通过以概率$1-p$相互独立地删除每条边而产生的。随机图模型$(K_n)_p$无疑是研究最多的随机图模型，也称为$G(n,p)$ -模型。我们发现，几个结果的最长路径/周期的长度自然地转化为$G_p$，如果$G$是一个任意的最小度至少$n-1$图。对于一个常数$c$，我们表明，渐近几乎肯定的最长路径的长度至少是$(1-(1+ε(c))ce^{-c})n$为某些功能$ε(c)\to 0$ $c\to \infty$，和最长的周期的长度是至少$(1-O(c^{- \frac{1}{5}}))n$。第一个结果是渐近最佳可能的。这推广了$G(n,p)$ -模型中关于随机图的最长路/圈长度的几个已知结果.
2015-12-15 math.CO math.PR
Induced subgraph density. V. All paths approach Erdos-Hajnal
本文证明 Erdős-Hajnal 猜想对所有路径几乎成立：任意无路径 $H$ 的 $n$ 顶点图都含有规模至少为 $2^{(\log n)^{1-o(1)}}$ 的团或稳定集，将此前仅覆盖至多五顶点路径的结果推广到所有路径。
2024-10-21 math.CO
Every $(13k-6)$-strong tournament with minimum out-degree at least $28k-13$ is $k$-linked
一个有向图$D$是$k$ -链接的，如果它满足对于$D$的顶点的不交集$\{x_1,\ldots{},x_k\}$和$\{y_1,\ldots{},y_k\}$的每个选择，都有顶点不交路$P_1,\ldots{},P_k$使得$P_i$是$(x_i,y_i)$ -路。最近Meng等人证明了每个$(40k-31)$ -强竞赛图都是$k$ -关联的.本文利用一个重要引理证明了最小出度至少为$28k-13$的$(13k-6)$ -强竞赛图是$k$ -连通的.
2021-08-05 math.CO
Arc-disjoint hamiltonian paths in Cartesian products of directed cycles
我们证明了，如果$C_1$和$C_2$是有向圈（长度至少为2），那么笛卡儿积$C_1 \Box C_2$有两条弧不相交的哈密顿路径。(This回答了JA提出的问题Gallian（1985年）同样的结论也适用于任何四个或更多个有向圈（长度至少为2）的笛卡儿积，但某些情况下对三个有向圈的笛卡儿积仍然开放。我们还讨论了（有限或无限）阿贝尔群上$2$生成的Cayley有向图中弧不交的Hamilton路的存在性.
2022-03-22 math.CO math.GR
Reconstruction from $k$-decks for graphs with maximum degree 2
图的$k$ -deck是图的$k$顶点上的诱导子图的集合。证明了具有最大度$2$的$n$ -顶点图具有相同的$k$ -deck，如果每个圈至少有$k+1$顶点，每个路分量至少有$k-1$顶点，且边数相同.使用这一下界，我们得到的最大程度的最多$2$每个图的最小$k$，使它是由它的$k$ -甲板。对于$n$ -顶点循环，此值为$\lfloor n/2 \rfloor$，对于$n$ -顶点路径，此值为$\lfloor n/2 \rfloor+1$。而且，使得$n$顶点图的$k$ -deck总是确定它是否连通的最小$k$至少是$\lfloor n/2 \rfloor +1$ .
2016-09-01 math.CO
Paths of length five with equal-degree endpoints
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
研究证明，对于n≥11，K_{n,n+1}是唯一具有至少n²+n条边且不含长度为五的等度端点路径的2n+1顶点图，扩展了Chen和Ma的猜想。
2026-04-13 math.CO
Large induced subgraph with a given pathwidth in outerplanar graphs
University of the Ryukyus（冲绳大学）；Kanazawa Institute of Technology（金泽工业大学）；Keio University（庆应义塾大学）
研究外平面图中具有给定路径宽度的导出子图的最大阶，推广了Pelsmajer关于导出线性森林的结果，并给出了上界。
2026-06-09 cs.DM math.CO
Bonds intersecting long paths in $k$-connected graphs
Gallai（1966）提出了一个著名的问题：是否存在一个顶点，它穿过连通图的所有最长路。虽然这已经被证明了一些特殊类别的图，如外平面图，圆弧图，串并联图，答案是否定的一般图。在本文中，我们证明了其他结果，如果我们用键代替顶点，那么答案是肯定的。图的一个键是一个极小非空边割。特别地，在任何2-连通图中，与顶点关联的所有边的集合是一个键，称为顶点键。显然，对于一个2连通图，一条路径通过一个顶点$v$当且仅当它满足关于$v$的顶点键。因此，一个非常自然的方法来解决Gallai的问题是研究是否有一个键满足所有最长路径。设$p$表示连通图的最长路的长度。我们证明了对于任何2-连通图，存在一个键满足所有长度至少为$p-1$的路。证明了对于任意3连通图，存在一个键满足所有长度至少为$p-2$的路.对于一个$k$ -连通图$(k\ge3)$，我们证明了存在一个键满足长度至少为$p-t+1$的所有路径，其中如果$p$是偶数则满足$t=\Big\lfloor\sqrt{\frac{k-2}{2}}\Big\rfloor$，如果$p$是奇数则满足$t=\Big\lceil\sqrt{\frac{k-2}{2}}\Big\rceil$.我们的结果提供了P. Wu和S. McGuinness [Bonds intersecting cycles in a graph，Combinatorica 25（4）…
2022-01-27 math.CO
Finding paths in sparse random graphs requires many queries
我们讨论了一个新的算法类型的问题，在随机图研究的最小数量的查询，一个必须问的相邻顶点对之间的随机图$G\sim {\mathcal G}(n,p)$，以找到一个子图，具有一些目标属性的概率高。本文主要研究当$p=\frac{1+\varepsilon}{n}$为固定常数$\varepsilon>0$时，在$G\sim \mathcal G(n,p)$中寻找长路径的问题.已知该随机图具有典型的线性长路径。为了在$G\sim \mathcal G(n,p)$中具有高概率的$\ell$边，显然需要查询至少$Ω\left(\frac{\ell}{p}\right)$顶点对。我们能经济地找到长度为$\ell$的路径吗，即，通过查询大概这么多对？我们认为，这是不可能的，需要查询显着更多的对。我们证明，任何随机算法，找到一个路径的长度$\ell=Ω\left(\frac{\log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)}{\varepsilon}\right)$与$p=\frac{1+\varepsilon}{n}$的$G\sim \mathcal G(n,p)$至少恒定的概率必须查询至少$Ω\left(\frac{\ell}{p\varepsilon \log\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)}\right)$对顶点。这是紧到$\l…
2016-08-04 math.CO math.PR
