平方可积表示与可解李群的余伴随作用
Square-integrable representations and the coadjoint action of solvable Lie groups
AI总结：
本文利用余伴随作用的广义轨道刻画可解李群的平方可积表示，建立 I 型平方可积表示拟等价类与单连通开轨道的双射，并分析本原理想空间性质。
摘要：
我们通过余伴随作用的广义轨道来刻画（连通、单连通）可解李群的平方可积表示。我们证明，经由 Pukánszky 对应对应于开余伴随轨道的正规表示是 I 型表示，但不一定是平方可积表示。我们表明，I 型平方可积表示的拟等价类与单连通开余伴随轨道一一对应，并且开余伴随轨道的存在保证了该群的本原理想空间存在一个紧开子集。当幂零根的余维数为 1 时，我们证明本原理想空间的孤立点总是 I 型的。对于余维数大于 2 的情形，这并不总是成立，具有稠密但非局部闭余伴随轨道的可解李群的具体例子说明了这一点。
英文摘要：
We characterize the square-integrable representations of (connected, simply connected) solvable Lie groups in terms of the generalized orbits of the coadjoint action. We prove that the normal representations corresponding, via the Pukánszky correspondence, to open coadjoint orbits are type I, not necessarily square-integrable representations. We show that the quasi-equivalence classes of type I square-integrable representations are in bijection with the simply connected open coadjoint orbits, and the existence of an open coadjoint orbit guarantees the existence of a compact open subset of the space of primitive ideals of the group. When the nilradical has codimension 1, we prove that the isolated points of the primitive ideal space are always of type I. This is not always true for codimension greater than 2, as shown by specific examples of solvable Lie groups that have dense, but not locally closed, coadjoint orbits.
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