关于加权二项和$2^{-r}\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}$的最大值
On the maximum of the weighted binomial sum $2^{-r}\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}$
摘要：
加权二项和$f_m(r)=2^{-r}\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}$起源于编码理论和信息论。我们证明了，对于$m\not \in\{0,3,6,9,12\}$，当$r=\lfloor m/3\rfloor+1$时，$f_m(r)$与$0\leqslant r\leqslant m$的最大值出现.我们还证明了该最大值与$\frac{3}{\sqrt{πm}}\left(\frac{3}{2}\right)^m$（即$m\to\infty$）是渐进的。
英文摘要：
The weighted binomial sum $f_m(r)=2^{-r}\sum_{i=0}^r\binom{m}{i}$ arises in coding theory and information theory. We prove that,for $m\not \in\{0,3,6,9,12\}$, the maximum value of $f_m(r)$ with $0\leqslant r\leqslant m$ occurs when $r=\lfloor m/3\rfloor+1$. We also show this maximum value is asymptotic to $\frac{3}{\sqrt{πm}}\left(\frac{3}{2}\right)^m$ as $m\to\infty$.
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