Sign-changing solutions for the stationary Kirchhoff problems involving the fractional Laplacian in \mathcal{R}^N
本文研究了一类含分数阶Laplacian算子的Kirchhoff型问题的最小能量变号解的存在性。利用约束变分方法和定量变形引理，我们得到了给定问题的最小能量节块解ub。此外，我们还证明了ub的能量严格大于基态能量的两倍。当b为参数时，我们还给出了u_b在b趋于0时的收敛性质。
2017-01-14 math.AP
Sharp order of vanishing for parabolic equations, nodal set estimates and Landis type results
该研究针对变系数抛物方程，得到了解消失阶的精确估计，推广了Donnelly-Fefferman的结点集结论，并建立了全局解的Landis型结果。
2024-05-21 math.AP
On Some Quantitative Unique Continuation Properties of Fractional Schrödinger Equations: Doubling, Vanishing Order and Nodal Domain Estimates
在这篇文章中，我们确定了一个广义Dirichlet-to-Neumann映射（这是与分数薛定谔方程）上的一个紧凑的，光滑的黎曼流形，$(M,g)$，没有边界的特征函数消失的极大序模的界限。此外，这些结果仅稍加修改就可推广到具有$C^1$势的方程。在这里，Carleman估计是一个关键工具。这些产生一个定量的三球不等式，这意味着定量的体积和边界加倍的估计，从而导致控制的极大序模的消失。利用边界加倍性质，证明了解析流形上广义Dirichlet-to-Neumann映射的本征函数节点域的$\mathcal{H}^{n-1}$ -测度的上界.
2014-07-06 math.AP
Positive solutions for a coupled nonlinear Kirchhoff-type system with vanishing potentials
本文考虑具有消失势的强耦合非线性Kirchhoff型系统：\begin{equation*}\begin{cases} -\left(a_1+b_1\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\dx\right)Δu+λV(x)u=\fracα{α+β}|u|^{α-2}u|v|^β,&x\in\mathbb{R}^3,\\ -\left(a_2+b_2\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla v|^2\dx\right)Δv+λW(x)v=\fracβ{α+β}|u|^α|v|^{β-2}v,&x\in\mathbb{R}^3,\\ u,v\in \mathcal{D}^{1,2}(\R^3), \end{cases}\end{equation*}其中$a_i>0$为常数，$λ,b_i>0$为$i=1,2$，$α,β>1$和$α+β\leqslant 4$的参数，$V(x)$，$W(x)$为非负连续势，非线性项$F(x,u,v)=|u|^α|v|^β$在无穷远处不是4-超线性的.由于Palais-Smale序列不一定是有界的，因此不能用标准变分方法直接研究这类问题，即使将能量泛函限制在Nehari流形上也不行。结合一些新的详细估计和截断技巧，我们得到了当$b_1+b_2$小，$λ$大时，上述方程组正向量解的存在性.此外，还研究了这些向量解的渐近性态，…
2022-10-03 math.AP
Initial boundary value problem of a class of pseudo-parabolic Kirchhoff equations with logarithmic nonlinearity
本文考虑一类具有对数非线性项的拟抛物型Kirchhoff方程的初边值问题。我们利用势阱方法给出了具有初始能量$J(u_0)\leq d$的弱解的整体存在性和有限时间爆破的阈值结果。当初始能量为$J(u_0)>d$时，得到了消失解和爆破解的另一判据。我们还得到了整体解的指数衰减率和爆破解的生存期。同时，我们研究了相应的定态问题，建立了其基态解与整体解之间的收敛关系。
2021-04-04 math.AP
The nodal set of solutions to some nonlocal sublinear problems
研究了$$ (-Δ)^s u = λ_+ (u_+)^{q-1} - λ_- (u_-)^{q-1}\quad\text{in $B_1$}, $$型方程的节点解集，其中$λ_+,λ_->0, q \in [1,2)$、$u_+$和$u_-$分别是$u$的正、负部分.这个非线性集合包括不稳定的两相膜问题$q=1$以及$1<q<2$的次线性方程。我们初步证明了强唯一连续性和消失阶的有限性的有效性，以实现节点集的爆破分析。在局部情形$s=1$中，我们证明了容许消失阶不能超过临界值$k_q= 2s/(2- q)$ .此外，我们还研究了节点集的正则性，并证明了一个分层结果。最后，对于这些参数，使$k_q< 1$，我们证明了一个显着的差异与当地的情况下：解决方案只能消失的顺序$k_q$和问题承认一维解决方案。我们的方法是基于一个家庭的Almanti型或2-参数家庭的Weiss型单调性公式的有效性，根据消失的顺序的解决方案。
2020-04-09 math.AP
Graph structure of the nodal set and bounds on the number of critical points of eigenfunctions on Riemannian manifolds
本文将紧致二维Riemannian流形上Laplacian特征函数的零点集识别为嵌入度量图，并利用初等图论工具，依据特征值指标$k$与曲面Euler-Poincaré示性数估计了特征函数零点集的临界点数量及消失阶之和。
2025-05-05 math.AP
Nodal Sets of Smooth Functions with Finite Vanishing Order and p-Sweepouts
证明了在紧致黎曼流形$(M,g)$上，任意$p+1$光滑函数的线性组合的结点集构成一个容许的$p-$ sweepout，只要这些线性组合具有一致有界的消失阶.这特别适用于拉普拉斯本征函数的有限线性组合。从而得到了$M.$的最小-最大$p$ -宽度的Gromov，Guth，Marques-Neves上界的一个新的证明.同时证明了在$\mathbb{R}^{n+1}$上的光滑函数为$k$阶为零的点附近，对于某些$p > 1$，其结点集包含在$k$ $W^{1,p}$图的并中.这意味着节点集是局部可数$n$ -可求长的，并具有局部有限的$\mathcal{H}^n$措施，事实也遵循从以前的结果巴尔。最后，我们证明了节点集的Hausdorff测度在热流下的连续性。
2016-10-17 math.AP math.DG
The nodal set of solutions to some elliptic problems: sublinear equations, and unstable two-phase membrane problem
本文研究了\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}形式的方程的节点解集，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in [1,2)$，$B_1=B_1(0)$是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$和$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.该类包括\emph{unstable two-phase membrane problem}（$q=1$）以及$1<q<2$的\emph{sublinear}方程。我们证明了以下主要结果：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节集的正则性：节集是正则余维1流形直到Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集的局部有限集合（局部有限时$N=2$）;（d）部分分层定理。最终，节点集的主要特征与线性（或超线性）方程的解严格相关，有两个显著的区别。首先，允许消失阶不能超过临界值$2/(2-q)$。在阈值，我们找到了一个多重的齐次解决方案，产生的任何估计的$(N-1)$ -维措施的节点集的解决方案的消失顺序方面的\emph{non…
2018-02-06 math.AP
Degenerate Kirchhoff problems with nonlinear Neumann boundary condition
针对带非线性Neumann边界的退化Kirchhoff型方程，本文基于变分方法在非局部约束集上极小化能量泛函，证明了节点基态解的存在性。
2025-03-20 math.AP
Inverse problems for nonlinear Kirchhoff plate equations with multiple unknown parameters
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Jilin University（吉林大学）；Nankai University（南开大学）
本文研究非线性基尔霍夫板方程的逆边值问题，建立正问题整体适定性，针对被动、主动测量情形分别实现初始数据、初始数据与系数的恢复，提出Runge逼近等方法，可推广至多类板模型。
2026-08-11 math.AP
Nodal Sets for Broken Quasilinear Partial Differential Equations with Dini Coefficients
研究了一类破裂拟线性偏微分方程\begin{equation*} \mbox{div} (a_+ \nabla u^+ - a_- \nabla u^-) = \mbox{div} f, \end{equation*}弱解的节点集，其中$a_+$和$a_-$是一致椭圆的Dini连续系数矩阵，且满足强相关性，即$a_+$和$a_-$是某个标量函数的倍数.在这样的结构条件下，我们发展了一种迭代方法，使解在奇点处达到高阶逼近，这对于Hölder区域以下的标准椭圆型偏微分方程也是新的，并由此建立了一个奇异集的结构定理.我们还估计了节点集的Hausdorff测度，只要给定解的消失阶在其节点集上是有界的，通过一种方法，将经典的论点扩展到具有不连续梯度的某些解。此外，我们还证明了解的Lipschitz正则性及其节点集在正则点附近的连续可微性。
2020-06-23 math.AP
On the nodal set of solutions to some sublinear equations without homogeneity
研究不稳定Alt-Phillips型次线性非齐次方程解的节点集结构，克服经典自由边界工具难以直接应用的困难，给出了局部行为、消失阶分类、奇异集维数估计及退化解存在性等结果。
2024-03-25 math.AP
On nodal and generalized singular structures of Laplacian eigenfunctions and applications to inverse scattering problems
在本文中，我们提出了一些新的和有趣的发现的几何结构的拉普拉斯本征函数和它们的深层关系的定量行为的本征函数在二维空间。本文引入了拉普拉斯本征函数的广义奇异线的概念，并对这些奇异线和节点线进行了详细的研究。研究表明，两条直线的相交角与本征函数在交点处的消失阶数密切相关。我们建立了一个准确和全面的定量表征的关系。粗略地说，如果相交角是{ \it无理}，则消失阶一般是无限的，如果相交角是有理的，则消失阶是有限的。事实上，在后一种情况下，消失的顺序是合理性的程度。的理论研究结果是原始的和显着的兴趣在光谱理论。此外，它们还直接应用于一些重要的物理问题，包括逆障碍物散射问题和逆衍射光栅问题。结果表明，在一定的多边形设置，人们可以恢复的未知散射体的支持以及表面阻抗参数由许多远场图案。实际上，对于某些重要的应用，最多两个远场图案就足够了。在逆散射理论中，由多个远场方向图唯一可识别性一直是一个极具挑战性的基本数学问题。
2019-06-29 math.AP math.SP
On nodal and generalized singular structures of Laplacian eigenfunctions and applications in $\mathbb{R}^3$
本文是我们最近关于Laplacian本征函数的几何结构及其在逆散射问题中的应用的工作[3]的继续和推广。在文献[3]中，研究了拉普拉斯本征函数在两条节点或广义奇异线相交点处的解析行为。它揭示了一个有趣的性质，即本征函数在交点处的消失阶与相交角的合理性有关。在本文中，我们认为这样一个研究的3D对应的拉普拉斯特征函数的节点或广义奇异平面相交的地方研究的分析行为。与2D情况相比，几何情况更加复杂：两个平面的相交生成边角，而三个以上平面的相交生成顶点角。我们为所有这些病例提供了全面的特征描述。此外，我们应用谱结果为通过相关散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗参数的几何逆问题建立了一些新颖的唯一可识别性结果。
2019-09-23 math.AP
The nodal set of solutions to some elliptic problems: singular nonlinearities
本文研究方程\begin{equation*} -Δu = λ_+ \left(u^+\right)^{q-1} - λ_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*}的解，其中$λ_+,λ_- > 0$，$q \in (0,1)$，$B_1=B_1(0)$分别是$\mathbb{R}^N$，$N \ge 2$，$u^+:= \max\{u,0\}$中的单位球，$u^-:= \max\{-u,0\}$分别是$u$的正部分和负部分.我们将最近在\cite{SoTe2018}中对\emph{sublinear and discontinuous}方程$1\leq q<2$所得到的结果推广到这类\emph{singular}方程，即：（a）在每一点上消失阶的有限性和阶谱的完全特征;（b）弱非退化性质;（c）任何解的节点集的正则性：节点集是正则余维1流形的局部有限集合，直到具有Hausdorff维数至多为$N-2$的剩余奇异集（当$N=2$时局部有限）。作为中间步骤，我们建立了一类\emph{not necessarily minimal}解的正则性。证明是基于先验界，单调性公式\的$2$参数家庭的Weiss型泛函，爆破参数，和分类的齐次解决方案。
2018-03-18 math.AP
A priori Hölder estimates for equations degenerating on nodal sets
本文研究在奇异节点集上退化的可变系数方程，通过加权 Sobolev 空间、容度与一致不等式建立归一化解的先验 Hölder 估计，并推出商解的边界 Harnack 原理。
2025-07-25 math.AP
On the nodal set of solutions to a class of nonlocal parabolic equations
研究了Muckenhoupt-Neumann型抛物问题解的局部性质，包括节点集和节点性质：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_t \overline{u} - y^{-a} \nabla \cdot(y^a \nabla \overline{u}) = 0 \quad &\text{ in } \mathbb{B}_1^+ \times (-1,0) \\ -\partial_y^a \overline{u} = q(x,t)u \quad &\text{ on } B_1 \times \{0\} \times (-1,0), \end{cases} \end{equation*}其中$a\in(-1,1)$是固定参数，$\mathbb{B}_1^+\subset \mathbb{R}^{N+1}$是上单位半球，$B_1$是$\mathbb{R}^N$中的单位球.我们的主要动机来自于它的关系与一类非局部的抛物型方程涉及的热算子的分数幂\begin{equation*} H^su(x,t) = \frac{1}{|Γ(-s)|} \int_{-\infty}^t \int_{\mathbb{R}^N} \left[u(x,t) - u(z,τ)\right] \frac{G_N(x-z,t-τ)}{(t-τ)^{1+s}} dzdτ. …
2020-03-27 math.AP
On a weighted two-phase boundary obstacle problem
在这项工作中，我们考虑了一个非齐次两相障碍型问题驱动的分数拉普拉斯算子。特别地，利用Caffarelli-Silvestre延拓，Almgren和Monneau型单调性公式和blow-up分析，我们给出了可能的消失阶的分类，这意味着强唯一连续性.此外，我们证明了一个分层的节点集的结果，连同其豪斯多夫维数的估计，定期和奇异部分。其主要工具来自于几何测度论，即惠特尼延拓定理和费德勒归约原理。
2022-01-25 math.AP
Sign-changing bubbling solutions for an exponential nonlinearity in $\mathbb{R}^2$
College of Sciences, Nanjing Agricultural University（南京农业大学理学院）
本文研究了在有界光滑平面域Ω中，针对边界值问题-Δu=λu|u|^{p-2}e^{|u|^p}，在0<p<2和λ>0的小参数下，构造了正或变号解以及任意m个孤立气泡解，并探讨了能量展开收敛性及节点线与边界交点的条件。
2026-09-02 math.AP
