Numerical analysis of dynamical systems: unstable periodic orbits, hidden transient chaotic sets, hidden attractors, and finite-time Lyapunov dimension
本文以已知的低阶动力学模型Lorenz、Rossler和Vallis系统为例，讨论了混沌动力学系统可靠数值分析的困难。对于Lorenz系统，讨论了隐混沌吸引子和隐瞬态混沌集的存在性问题及其数值研究。以计算Rossler系统的不稳定周期轨道为例，讨论了通过计算沿一条轨道的有限时间李雅普诺夫指数和有限时间李雅普诺夫维数来数值表征混沌吸引子的问题.使用的例子描述厄尔尼诺-南方涛动的瓦利斯系统，它表现出的自激和隐藏的吸引子的本地化的分析方法，它允许获得精确的公式或估计其李雅普诺夫维数。
2018-12-05 nlin.CD
Symbolic Dynamics Analysis of the Lorenz Equations
一维，特别是二维映射的符号动力学的最新进展使我们能够构造常微分方程系统的符号动力学。符号动力学的指导下的数值研究能够产生的耗散常微分方程系统中的混沌和周期制度，既不能通过纯粹的分析手段，也不能通过数值工作单独获得的整体结果。从Poincare截面出发，构造一维和二维映射的符号动力学，可以找到给定长度的不稳定周期轨道，也可以在较宽的参数范围内找到给定长度的稳定周期轨道.这些知识反过来又讲述了很多关于混乱极限的本质的信息。应用于洛伦兹方程，这种方法导致了一种命名法，即，绝对周期和符号名称，稳定和不稳定的周期轨道的自治系统。利用符号动力学分析了对称性破缺和对称性置换以及不同区域的共存。
1997-10-26 chao-dyn nlin.CD
What is new on computed Lorenz strange attractors: chaos or numerical errors?
本文通过洛伦兹方程实例，证明数值混沌解依赖于时间步长，并揭示虚拟分界线导致数值误差爆炸性放大，从而质疑计算混沌解的有效性。
2009-12-31 cs.NA math.DS math.NA
History-Dependent Dynamical Invariants in the Lorenz System
Universidad de Chile（智利大学）
本文证明洛伦兹系统中存在历史依赖的非局部动力学不变量，通过扩展相空间的构造方法导出，并用高精度数值模拟验证其在周期与混沌轨道上的守恒性，揭示不稳定周期轨道与守恒量特定值的对应关系，从而重新定义耗散系统的不可积性概念。
2025-09-11 math-ph math.MP nlin.CD
Resonances in a Chaotic Attractor Crisis of the Lorenz Flow
局部分支的驻点和极限环已成功地特征在于这些解决方案的临界指数。李雅普诺夫指数及其相关的协变李雅普诺夫向量已被提出作为工具，支持在混沌动力系统的临界转变的理解。然而，在一般情况下，它是不清楚的统计性质如何改变的动力系统跨越边界危机期间，一个混沌吸引子碰撞鞍。这种行为在这里研究的边界危机的Lorenz流，其中既没有李雅普诺夫指数，也没有协变李雅普诺夫向量提供一个标准的危机。相反，由转移算子半群控制的概率密度到不变测度的时间演化的收敛，预计在危机来临时会减慢。这种收敛性由这个半群的生成元的本征值来描述，它可以分为两个家族，分别称为稳定和不稳定的Ruelle-Pollicott共振。前者描述了密度收敛到吸引子（或从排斥子逃逸），并从相空间的许多短时间序列采样中估计。后者负责相关性的衰减或混合，并且可以从长时间序列中估计，调用遍历性。数值计算发现，洛伦兹流的稳定共振确实接近虚轴在危机期间，作为指示的吸引子的全局稳定性的损失。另一方面，不稳定的共振，尤其是相关性的衰减，并不agg危机的接近，从而质疑通常的设计预警指标的边界危机的混沌吸引子和响应理论的适用性接近这样的危机。
2017-05-23 math-ph math.MP nlin.CD
Chaos, Order Statistics and Unstable Periodic Orbits
提出了一种新的一维混沌映射不稳定周期点的定位方法。该方法基于顺序统计量。在映射的不稳定周期点处，迭代的各个极大值的密度是不连续的。这是用逻辑映射来说明的，其中对应于少量迭代的密度已经以封闭形式获得。这种技术可以应用于连续时间系统的类中的连续极大值的时间序列的行为，如果他们是从一个单峰映射生成。这是用Lorenz模型来证明的。
1998-03-19 chao-dyn nlin.CD
Energetics, skeletal dynamics and long-term predictions in Kolmogorov-Lorenz systems
从能量和Casimir平衡的观点出发，研究了一类低维Kolmogorov-Lorenz系统混沌模型的特殊返回映射，它得到了一个优美的广义Hamilton描述，并包括著名的Lorenz 63情形.特别是它被认为是详细的一个子类，这些模型，正是那些从洛伦兹63通过一个小扰动的标准参数，其中包括例如强迫洛伦兹情况下，在Ref。[6]的文件。本文分为两个部分。在第一部分中，所提到的态函数的极端被认为是，它定义了一个不变的流形，用于构建一个适当的庞加莱曲面为我们的返回映射。从实验观察到的两个不稳定的固定点周围的简单轨道运动的情况下，这些轨道是由它们的能量或Casimir最大值分类，我们构建了一个概念上简单的骨架动力学有效的子类，很好地再现了Lorenz映射Casimir。这种充满活力的方法揭示了一些政权过渡的物理机制。本文的第二部分是专门调查的一种新类型的最大能量为基础的长期预测，其中知识的一个特定的最大能量壳金额的知识的未来（定性）的行为的系统。它表明，在这方面，当地的可预测性分析是不适合这种行为的一个完整的表征。在（地质）流体动力学的更现实的情况下，这种类型的可预测性分析的可能扩展的角度进行了讨论，在论文的最后。
2007-05-28 nlin.CD
Direct transition to high-dimensional chaos through a global bifurcation
在目前的工作中，我们报告了一个真正的路线，其中高维（d>4）混沌吸引子直接创建，即，没有低维混沌吸引子作为中间步骤。高维混沌集产生于一个异宿全局分岔，产生无穷多个不稳定环面。通过耦合三个Lorenz振子构建的系统说明了该机制。因此，这里提出的路线可以被认为是一个原型的高维混沌行为，就像洛伦兹模型是低维混沌。
2005-10-10 nlin.CD
Sensitivity Analysis of Chaotic Systems using Unstable Periodic Orbits
提出了一种混沌动力系统的伴随灵敏度方法。该方法产生于专业化的建立变分技术的不稳定的周期轨道的系统。在这样的轨道上，伴随问题就变成了一个时间周期边值问题。伴随解在时间上保持有界，并且不表现出使用传统方法在不稳定的非周期性轨迹上观察到的典型的无界指数增长（Lea等人，Tellus 52（2000））。这使得能够精确地计算周期平均量的灵敏度，而不管轨道周期如何，因为切线动力学的稳定性与灵敏度计算有效地解耦。我们证明了两个原型系统，在标准参数的洛伦兹方程和Kuramoto-Sivashinky方程，一个一维的偏微分方程与混沌行为的方法。我们分别基于大小为10^5和4x10^4的不稳定周期轨道数据库，对这两个系统的灵敏度进行了统计分析。经验观察是，大多数轨道预测近似相同的灵敏度。讨论了对称性、分叉和不对称性的影响，并在结论中概述了未来的工作。
2018-03-08 nlin.CD
Adjoint sensitivity analysis on chaotic dynamical systems by Non-Intrusive Least Squares Adjoint Shadowing (NILSAS)
我们开发了NILSAS算法，通过计算伴随跟踪方向来进行混沌系统的伴随灵敏度分析。NILSAS约束其最小化的伴随不稳定子空间，并可以实现与现有的伴随求解器很少修改。NILSAS的计算成本与参数的数量无关。我们证明了NILSAS的Lorenz 63系统和弱湍流三维流动的圆柱。
2019-01-08 nlin.CD physics.comp-ph
OGY Control of Haken Like Systems on Different Poincare Sections
Chua系统、Lorenz系统、Chen系统和Lü系统都是混沌系统，它们的状态空间方程与光学慢-快系统的非线性模型Haken系统非常相似。这些Haken类系统具有非常相似的性质。它们都有两个慢但不稳定的特征值和一个最快但稳定的特征值。这使得慢流形的一个近似等价于系统的不稳定流形。另一方面，混沌系统的一些重要控制方法，如OGY方法，其主要实质是对系统离散模型在定义流形（Poincare映射）上的控制。本文通过对H-L系统慢流形的不同定义方法，研究了OGY控制镇定问题的有效性。
2012-06-05 nlin.CD
Autonomous route to the strange attractor: the many life stages of the chaotic bubblewheel
University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
该研究通过漂浮在碳酸水上的圆柱体实验，探究气泡积聚与旋转的耦合关系，构建模型关联广义Lorenz系统，发现质心偏移可调控其动力学，实现了Lorenz系统的简易物理体现。
2026-08-19 cond-mat.soft nlin.CD physics.flu-dyn
Exact Coherent Structures and Chaotic Dynamics in a Model of Cardiac Tissue
嵌入在混沌吸引子中的不稳定非混沌解可以为低维和高维系统的混沌动力学提供重要的新见解。特别是，在湍流流动中，这种不稳定的解决方案被称为精确相干结构（ECS），并在启动和维持湍流中发挥重要作用。然而，ECS的性质及其在组织时空混沌动力学中的作用，只有在缺乏连续欧几里得对称性的相对较小的空间域上的系统才能得到合理的理解。在大的域和连续的平移和/或旋转对称性的存在下，ECS的建设仍然是一个挑战。这是特别真实的可激发介质模型显示螺旋湍流和标准的方法来计算ECS完全崩溃。本文使用心脏组织的Karma模型来说明一种潜在的方法，该方法可以通过将任意形状的大型域分解为较小域或瓦片上的拼凑解决方案来计算一类新的ECS，这些解决方案在局部保留欧几里得对称性。
2015-01-20 nlin.CD
Periodic Shadowing Sensitivity Analysis of Chaotic Systems
双曲混沌系统的长时间平均值对参数扰动的敏感性可以通过跟踪方向来确定，即灵敏度方程的时间一致有界解。虽然它的存在是正式保证某些系统，方法来确定它几乎是可用的。一种实用的方法是最小二乘阴影（LSS）算法（Q Wang，SIAM J Numer Anal 52，156，2014），由此阴影方向通过具有最小二乘平均范数的灵敏度方程的解来近似。在这里，我们提出了一种替代的，可能更简单的基于阴影的算法，称为周期性阴影。其关键思想是通过在时间上补充周期性边界条件来获得灵敏度方程的有界解。我们表明，这不仅是合理的，当参考轨迹本身是周期性的，但也可能和有效的混沌轨迹。我们的误差分析表明，周期跟踪具有相同的收敛速度LSS时，时间跨度$T$增加：灵敏度误差首先衰减为$1/T$，然后，渐近为$1/\sqrt{T}$。我们在洛伦兹方程上演示了该方法，并且还表明，随着$T$趋于无穷大，周期跟踪灵敏度收敛到从长不稳定周期轨道获得的相同值（D Lasagna，SIAM J Appl Dyn Syst 17，1，2018），其中没有跟踪误差。最后，有限差分近似的灵敏度也进行了检查，我们表明，微妙的非双曲特征的洛伦兹系统引入一个小的，但系统的，偏见。
2018-06-06 nlin.CD
Accurate deep learning-based filtering for chaotic dynamics by identifying instabilities without an ensemble
本文用残差卷积神经网络学习混沌动力学顺序DA的分析步骤，在Lorenz 96上仅凭单状态预报即达到接近最优集合卡尔曼滤波的精度，并揭示其能识别不稳定扰动。
2024-09-09 nlin.CD physics.ao-ph stat.ML
