Weighted $L^2$ bounds for kinetic Fokker-Planck equations and hypocoercivity
CEREMADE (CNRS UMR n$ˆ∘$ 7534), Université Paris-Dauphine, PSL University（巴黎第九大学，PSL大学）；Université Paris-Dauphine, PSL University（巴黎第九大学，PSL大学）
该研究针对带幂律约束势和重尾局部平衡态的动力学Fokker-Planck方程，采用DMS方法与Foster-Lyapunov条件法建立加权范数全局估计，推导熵-熵产生不等式及平衡态收敛速率。
2026-08-31 math.AP
Hypocoercivity
这本回忆录试图在一个系统的研究收敛到定态的某些类退化扩散方程，通过精心选择的李雅普诺夫泛函。典型的例子是动力学Fokker-Planck和Boltzmann方程。许多开放的问题和未来研究的可能方向进行了讨论。
2006-09-01 math.AP
Hypocoercivity in Wasserstein-1 for the kinetic Fokker-Planck equation via Malliavin Calculus
本文研究了具有禁闭势的全空间动力学Fokker-Planck方程。我们展示了在一个精心选择的Wasserstein-1距离的指数收敛到平衡的定量率。我们使用由Hairer和Mattingly引入的Harris定理的Wasserstein-1版本。我们利用hypocurvity和hypoellipticity之间的相似性，以便使用Malliavin演算，看到hypocurvity为这个方程的水平上的。
2018-10-02 math-ph math.AP math.MP
$\mathrm L^2$ Hypocoercivity methods for kinetic Fokker-Planck equations with factorised Gibbs states
本文利用 L² 亚强制性方法研究具有分解吉布斯态的动理学 Fokker-Planck 方程，通过扩散极限或局部平衡态的速率估计长时间收敛与衰减，并给出包含次指数情形的速率分类。
2023-08-09 math.AP math.FA
Homogenization and hypocoercivity for Fokker-Planck equations driven by weakly compressible shear flows
我们研究了由漂移驱动的二维线性Fokker-Planck方程的长时间动力学，漂移可以分解为一个大的剪切分量和依赖于一个空间变量的正则势的梯度的总和。这个问题可以解释为一个被动标量平流的轻微可压缩的剪切流，并进行小扩散。对于相应的随机微分方程，我们给出了明确的均匀化率在一个家庭的时间尺度依赖于参数测量的不可压缩扰动的强度。这是通过利用辅助泊松问题，并通过计算相关的有效扩散系数。关于福克-普朗克方程的解决方案的长期行为，我们提供了明确的衰减率的唯一不变测度通过采用定量版本的经典hypoverrity计划。从流体力学的角度来看，这是相当于量化的现象，增强扩散轻微可压缩剪切流。
2020-08-27 math.AP math.PR
Hypocoercivity and global hypoellipticity for the kinetic Fokker-Planck equation in $H^k$ spaces
本文将Villani的回忆录\cite{Villani}中关于$H^1$空间中动力学Fokker-Planck方程的hypovervivity结果推广到高阶索伯列夫空间.与$L^2$和$H^1$设置一样，相关运算符的$H^k$中缺乏相关性。为了解决这个问题，我们将修改通常的$H^k$规范与某些精心选择的混合项和适当的系数，这是由$k$上的归纳构造。并行地，类似的策略，但系数取决于时间（c.f. \cite{Herau}），通常称为Hérau方法，可以用来证明$H^k$中的整体亚椭圆性。我们的正则性估计中的指数在短时间内是最优的。此外，在我们最近的工作\cite{GLWZ}中，这里的一般结果可以应用在平均场设置，以获得独立的维度的估计，特别是，居里-外斯模型的应用。
2020-12-11 math.AP math.FA
Hypocoercivity and sub-exponential local equilibria
本文将 Hypocoercivity 方法应用于无空间约束且局部平衡态呈亚指数衰减的线性动力学方程，通过 Nash 型估计和加权 Poincaré 不等式获得反映扩散极限的全局衰减率，且无需额外正则性假设即可覆盖多种局部平衡态的过渡。
2019-12-09 math.AP
Trajectorial hypocoercivity and application to control theory
我们提出的定量方法，最近的工作arXiv：2209.09340在一个简单的设置，连同一个紧凑的参数，不包括在arXiv：2209.09340，本身有兴趣。我们关注的是退化热化线性动力学方程的指数稳定（谱隙），即当碰撞算子在空间域的部分区域上为零时。arXiv：2209.09340中的方法涵盖了散射和Fokker-Planck型算子，并处理了外部势和边界条件，但在这些注释中，我们只给出了它的核心论点，并将自己限制在具有单位速度和热化简并的周期环面中的动力学Fokker-Planck。Bernard and Salvarani（2013），Han-Kwan and Léautaud（2015），Evans and Moyano（arXiv：1907.12836）之前的结果没有涵盖这个方程。
2022-10-25 math.AP
Well-posedness and long-time behavior for self-consistent Vlasov-Fokker-Planck equations with general potentials
本文研究了具外部约束势和非线性自洽相互作用的 Vlasov-Fokker-Planck 方程的适定性及长时间行为，通过引入新相互作用核条件，结合 hypocoercivity 理论设计 Lyapunov 泛函，证明了在低正则性下解的指数衰减及稳态稳定性。
2024-08-29 math.AP
Hypocoercivity and exponential time decay for the linear inhomogeneous relaxation Boltzmann equation
本文考虑一个具有外约束势的非齐次线性Boltzmann方程。碰撞算子是一个简单的局部麦克斯韦松弛，因此没有扩散。我们证明了指数时间衰减到全球麦克斯韦，明确的衰减率。该方法是基于次椭圆方法转置在这里得到的光谱信息。他们的灵感来自于以前的作品福克-普朗克方程和这项工作的主要特点是，他们是相关的，虽然方程本身没有正则化的性质。
2005-03-17 math.AP
Hypocoercivity of Linear Degenerately Dissipative Kinetic Equations
本文研究了一类既含迁移项又含退化耗散项的线性动力学方程的亚纯性。作为具体的例子，我们考虑了弛豫算符、Fokker-Planck算符和线性化Boltzmann算符。通过构造等价的时间能量泛函，得到了当空间域为整个空间或环面时，在有或无约束力的情况下，某些希尔伯特空间中解接近平衡点的时间速率.证明的主要工具是宏微观分解结合川岛关于双曲抛物系统耗散性的论证。最后，给出了一个带有概率测度的Korn型不等式，用于处理动量分量的耗散。
2009-12-09 math.AP
Hypocoercivity and Uniform Regularity for the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck System with Uncertainty and Multiple Scales
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文研究了含不确定性和多尺度的Vlasov-泊松-福克-普朗克系统，通过Lyapunov型不等式在弱条件下证明了解在随机空间中的正则性和解向全局马克斯韦分布的指数衰减，结果对随机扰动下的系统敏感性及数值方法的谱收敛性具有重要意义。
2017-10-17 cs.NA math.AP math.NA
Sharpening of decay rates in Fourier based hypocoercivity methods
本文讨论了基于Fourier分解和逐模估计的两种$L^2$方法，并将其应用于环面上和整个欧几里得空间上动力学方程的收敛或衰减速率。其主要思想是扰动的标准$L^2$规范的扭曲得到的非局部扰动建立在扩散宏观动力学，或由基于Lyapunov矩阵不等式的标量积的变化。我们探讨各种估计方程涉及一个福克-普朗克和线性松弛算子。我们回顾现有的结果在简单的情况下，并专注于准确性的估计率。并以一维Goldstein-Taylor模型为例，对这两种方法进行了比较。
2021-05-25 math.AP
Hypocoercivity for linear kinetic equations conserving mass
对一类只有一个守恒律的线性动力学方程给出了一种新的证明方法。局部质量守恒假设在碰撞内核的水平，而运输涉及到一个封闭的潜力，使解决方案放宽到一个独特的平衡态。我们的目标是在一个适当加权的$L^2$规范的指数收敛速率的平衡。该方法涵盖了各种模型，从扩散动力学方程，如弗拉索夫-福克-普朗克方程，散射模型，如线性玻尔兹曼方程或模型与时间松弛碰撞内核对应的多方吉布斯平衡，包括线性玻尔兹曼模型的情况下。在最后一种情况下，以及在伏拉索夫-福克-普朗克方程的情况下，允许势能的任何线性或超线性增长。
2010-05-10 math.AP math.SP
Exponential relaxation to equilibrium for a kinetic Fokker-Planck-Alignment equation with force
本文研究了带Rayleigh型摩擦和自驱动力的动力学Fokker-Planck-Alignment方程，通过Desvillettes-Villani方法建立全局弱强迫性，证明了在满足特定谱隙条件下解随时间呈指数松弛至平衡。
2023-10-25 math.AP
On a discrete framework of hypocoercivity for kinetic equations
我们提出并研究了一个全离散的有限体积格式的Vlasov-Fokker-Planck方程写为一个双曲型系统使用Hermite多项式的速度。这种方法自然地保持了稳态解和加权L2相对熵。然后，我们采用了[12]中基于hypovervity方法的论证，得到了离散解收敛到平衡点的定量估计。最后，我们证明了在扩散极限，该计划是渐近保持的时间变量和尺度参数在发挥作用。
2022-10-05 cs.NA math.AP math.NA
Hypocoercivity with Schur complements
我们提出了一种方法来获得明确的估计的hypocotive运营商的预解式通过使用Schur补，而不是从一个指数衰减的发展半群结合时间积分。我们目前的应用Langevin动力学和Fokker-Planck方程，以及线性玻尔兹曼方程（这也是分子动力学中的随机混合蒙特卡罗生成器）。特别是，我们精确的动力学参数和尺寸上的预解边界的依赖性。我们还强调了我们的方法与其他hypocurctive方法的关系。
2021-09-10 math.AP math.PR
Hypocoercivity and metastability of degenerate KFP equations at low temperature
MATHERIALS, Inria Paris（MATHERIALS，巴黎国家研究院）
本文研究了退化KFP方程在低温下的hypocoercivity与metastability，通过构造精确的高斯quasimodes证明了半经典情况下谱底的Eyring-Kramers公式并量化了谱间隙。
2026-01-29 math.AP math.PR math.SP
Long-time contractivity estimates for kinetic Kolmogorov-Fokker-Planck equations
本文针对动力学 Kolmogorov-Fokker-Planck 等亚椭圆扩散方程，提出了一种基于伴随问题振荡估计的初等自包含方法，通过加倍变量和短时间梯度估计，证明了长时间收缩性及指数收敛速率。
2025-10-13 math.AP
On estimates of solutions of Fokker--Planck--Kolmogorov equations with potential terms and non uniformly elliptic diffusion matrices
考虑系数无界的Fokker-Planck-Kolmogorov方程，得到了解的上界估计.我们还得到了新的估计涉及李雅普诺夫函数。
2013-07-23 math.AP
The Gevrey Hypoellipticity for linear and non-linear Fokker-Planck equations
本文研究了一类线性和拟线性Fokker-Planck方程的弱解的Gevrey正则性。
2009-03-24 math.AP
Pointwise and Weighted Hessian Estimates for Kolmogorov-Fokker-Planck type operators
本文在几个Banach函数空间中得到了非散度型Kolmogorov-Fokker-Planck算子的Hessian估计.我们的方法依赖于一个代表性的公式和新开发的稀疏支配技术在调和分析。我们的结果时，限制到加权Lebesgue空间产生尖锐的定量Hessian估计的Kolmogorov-Fokker-Planck算子。
2022-05-30 math.AP
Phi-entropies for Fokker-Planck and kinetic Fokker-Planck equations
本文讨论了$ϕ$ -熵在全空间的Fokker-Planck方程和动力学Fokker-Planck方程中的应用。所谓的$ϕ$ -熵是通常在吉布斯熵和L2估计之间插值的李雅普诺夫泛函。本文在Fokker-Planck型扩散方程的情形下讨论了它们的一些性质，给出了新的简化证明，并将这些方法应用于具有位置和速度的相空间上的动力学Fokker-Planck方程.在动力学水平，由于扩散只作用于速度变量，输运算子在弛豫过程中起着至关重要的作用。在这里，我们采用H1的观点，并建立一个急剧的衰减率。我们的目标不是给出一般但定量模糊的估计，而是考虑简单的情况，对可用的方法进行基准测试，并在一个关键的例子上获得精确的估计。一些$ϕ$ -熵引起改进的熵-熵产生不等式，因此，非退化扩散方程解的熵估计的衰减速率更快。我们的主要结果是证明，更快的熵衰减也持有在动力学水平和最佳衰减率仅在渐近制度。
2018-08-01 math.AP
Fokker--Planck equations and n--dimensional Poincaré inequalities for isotropic densities
DIGIP, University of Bergamo（贝加莫大学）；Department of Mathematics, University of Pavia（帕维亚大学）；Department of Mathematics, University of Milan（米兰大学）
该研究探索了n维福克-普朗克方程的平衡趋势问题与加权庞加莱不等式的新联系，考虑了一类受财富分布演化研究中一维方程启发的、具可变各向同性扩散系数和漂移项的n维福克-普朗克方程。
2025-11-15 math.AP
On the well-posedness of the Cauchy problem for Fokker--Planck--Kolmogorov equations with potential terms on arbitrary domains
研究了具有无界退化系数的Fokker-Planck-Kolmogorov方程的Cauchy问题.给出了解存在唯一的充分条件。
2013-07-13 math.AP
Solving Fokker-Planck equations using the zeros of Fokker-Planck operators and the Feynman-Kac formula
本文针对物理信息神经网络不适用的Fokker-Planck方程，提出一种基于Fokker-Planck算子零点和Feynman-Kac公式的无网格、可并行、逐点求解算法，在2至10维问题上验证其轨迹需求比Monte-Carlo少几个数量级，并分析了漂移项影响及轨迹逃逸误差。
2024-05-01 math.AP
On uniqueness of solutions to nonlinear Fokker--Planck--Kolmogorov equations
研究了无界系数非线性Fokker-Planck-Kolmogorov方程Cauchy问题解的概率测度流的唯一性。指出了唯一性的充分条件，并构造了非唯一性的例子。
2014-07-30 math.AP
Global Existence and Decay of Solutions to the Fokker-Planck-Boltzmann Equation
研究了在Grad角截断假设下Fokker-Planck-Boltzmann方程的Cauchy问题。当初始数据是平衡态的一个小扰动时，建立了经典解的整体存在性和最优时间衰减估计。我们的分析是基于Fokker-Planck算子和一个初等的加权能量方法的非线性。
2013-06-13 math.AP
Global regularity of solutions of coupled Navier-Stokes equations and nonlinear Fokker-Planck equations
本文证明了二维空间无边界耦合Navier-斯托克斯方程和Fokker-Planck方程解的整体正则性。证明产生空间梯度的增长的先验估计。
2009-01-28 math.AP
Global-in-time existence of weak solutions for Vlasov-Manev-Fokker-Planck system
本文研究了三维Vlasov-Manev-Fokker-Planck（VMFP）系统，它与Vlasov-Poisson-Fokker-Planck系统的区别在于它的引力势是$-1/r - 1/r^2$而不是牛顿引力势.对于VMFP系统，我们建立了弱解的整体时间存在性。证明延伸到几个相关的动力学系统。
2022-02-17 math.AP
Long time behavior of Fokker-Planck equations for bosons and fermions
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Universität Münster（明斯特大学）
本文研究了玻色子和费米子的福克-普朗克方程的长期行为，通过L²-超协调方法证明了解在加权L²空间中指数衰减到全局平衡态。
2026-09-14 math.AP
On the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck equation near Maxwellian
通过时间上一致的能量估计和宏观方程，我们建立了Vlasov-Poisson-Fokker-Planck方程小振幅光滑解在全空间和周期盒中的指数时间衰减率.
2011-12-23 math.AP
Pointwise upper bound for the fundamental solution of fractional Fokker-Planck equation
本文利用Littlewood-Paley分解技术，简洁证明了分数阶Fokker-Planck方程基本解的点态上界估计。
2025-01-24 math.AP
Regularity of the spatially homogenous fractional Kramers-Fokker-Planck equation
研究空间齐次分数阶Kramers-Fokker-Planck方程的Cauchy问题，证明解在L2初值下具有Gevrey正则性和衰减估计。
2023-05-13 math.AP
Nonlinear Fokker-Planck equations with singular integral drifts and McKean-Vlasov SDEs
本文证明了Sobolev空间H^{-1}中具有奇异漂移的非线性Fokker-Planck方程的适定性，并给出了其在McKean-Vlasov方程强解存在性中的应用。
2025-06-02 math.AP
Analytic Gelfand-Shilov smoothing effect of fractional Kramers-Fokker-Planck equation
研究分数阶Kramers-Fokker-Planck方程柯西问题，证明解在正时间具有解析Gelfand-Shilov正则化效应。
2023-05-13 math.AP
Analytic smoothing effect of Cauchy problem for a class of Kolmogorov-Fokker-Planck equations
本文研究一类Kolmogorov-Fokker-Planck方程的Cauchy问题，证明了在正时间内，L2初值对应的解具有解析光滑效应。
2023-09-21 math.AP
Quaternionic structure and analysis of some Kramers-Fokker-Planck operators
本文研究多项式次数小于或等于2的Kramers-Fokker-Planck算子的整体亚椭圆估计.在这些估计中出现的常数是准确地制定的系数，特别是当那些是大的。
2019-06-01 math.AP
The kinetic Fokker-Planck equation with weak confinement force
考虑了具有弱约束力的动力学Fokker-Planck方程。我们证明了一些（多项式和次指数）的收敛速率的平衡（取决于初始数据所属的空间）。我们的结果将文献[4，5，21，11，10，9，1，14]中的结果推广到弱约束情形。
2018-06-08 math.AP
Uniform semigroup spectral analysis of the discrete, fractional \& classical Fokker-Planck equations
本文从半群的观点研究了离散、分数阶和经典Fokker-Planck方程的谱分析。离散和分数阶Fokker-Planck方程在某种意义上收敛于经典方程。因此，我们首先处理离散和经典的Fokker-Planck方程在同一个框架，证明统一的谱估计使用微扰参数和放大参数。然后，我们对分数阶和经典的Fokker-Planck方程做了类似的分析，使用了一个扩大半群衰变空间的论点。我们还处理了另一类离散的Fokker-Planck方程，它收敛到分数阶Fokker-Planck方程，我们也能够从谱分析的观点在同一个框架下处理这些方程，仍然是一个半群的方法，并感谢微扰的论点结合扩大之一。让我们在这里强调，我们改进了在[7]中引入并在[11]中发展的微扰论证，放松了定理的假设，从而扩大了满足应用它所需假设的算子类。
2016-03-03 math.AP
Weighted and maximally hypoelliptic estimates for the Fokker-Planck Operator with electromagnetic fields
本文考虑一个具有电势和电磁场的Fokker-Planck算子。我们建立了尖锐的加权和次椭圆估计，涉及到控制的电位和电磁场的导数。我们的证明依赖于一个本地化的论点，以及仔细的计算。
2020-12-19 math.AP
Regularity of kinetic Fokker-Planck equations in bounded domains
本研究针对有界区域中带流入、漫反射、镜面反射等边界条件且系数有界可测的动理学Fokker-Planck方程，证明了解的存在性、唯一性及正则性。
2024-10-10 math.AP
Local well-posedness of a nonlinear Fokker-Planck model
噪声或波动在建模和理解自然界中各种复杂系统的行为中起着重要作用。Fokker-Planck方程是研究涨落作用下系统行为的有力数学工具。本文建立了一个新的非线性Fokker-Planck方程的局部适定性结果。这种方程出现在多晶材料微结构演化过程中的晶界动力学模型中，并遵循特殊的能量定律。
2022-12-20 math.AP
Boundary conditions and subelliptic estimates for geometric Kramers-Fokker-Planck operators on manifolds with boundaries
本文研究了几何Kramers-Fokker-Planck算子在有边流形上的极大增生实现。引入了一类一般的边界条件，保证了最大增生性和一些整体次椭圆估计。这些估计意味着很好的谱性质以及相关半群的指数衰减性质。对于通常的标量Kramer-Fokker-Planck方程或Bismut的亚椭圆Laplacian方程，容许边界条件有着广泛的应用。
2014-02-03 math.AP
Pencil-beam approximation of stationary Fokker-Planck
在窄束区中，定态福克-普朗克方程的解通常用弹道线性输运或费米粒子束方程来近似。我们提出了一个严格的近似分析，这三个模型在半空间几何。在1-Wasserstein意义上获得误差估计，其是量化波束扩展的适应度量。详细地给出了具有奇异内源和边界源的定常Fokker-Planck方程的适定性和正则性结果。
2020-06-08 math.AP
Global subelliptic estimates for Kramers-Fokker-Planck operators with some class of polynomials
本文研究了具有大于2次多项式位势$V(q)$的Kramers-Fokker-Planck算子的二次极限行为.在一定条件下，本文给出了KFP算子的一个精确的全局亚椭圆估计。
2019-05-27 math.AP
Global-in-time L p -- L q estimates for solutions of the Kramers-Fokker-Planck equation
在这项工作中，我们证明了一个最佳的全球在时间Lp-Lq估计的解决方案的Kramers-Fokker-Planck方程的短程潜力在三维。结果表明，t $\rightarrow$ + $\infty$的衰变率与x变量下的热方程相同，而t $\rightarrow$ 0 +的发散率与Kramers-Fokker-Planck算符1/3导数损失的亚椭圆率有关.
2021-07-07 math.AP
Pencil-beam approximation of fractional Fokker-Planck
我们考虑用分数阶Fokker-Planck方程模拟光束在高度前峰湍流介质中的传输，并用分数阶Fermi湍流光束模型对它们进行近似。我们得到了一个误差估计，在1-Wasserstein距离后一个模型表明，光束扩展是很好地捕获的费米粒子束近似的小扩散限制。
2020-12-03 math.AP
Optimal non-symmetric Fokker-Planck equation for the convergence to a given equilibrium
本文研究了在$\mathbb{R}^d$中寻找Fokker-Planck方程，该方程对给定平衡点具有最快的指数衰减。对于一个规定的，各向异性的高斯，我们确定了一个非对称的福克-普朗克方程的线性漂移，显示出最高的指数衰减率的收敛到平衡的解决方案。同时，它必须允许衰减估计的乘法常数任意接近其下确界。这种最优的福克-普朗克方程是用秩为1的扩散矩阵显式构造的，因此是次强制的。在一个$L^2$分析中，我们发现最大衰减率等于逆协方差阵的最大特征值，并且可达到的乘法常数的下确界是1，对应于Fokker-Planck漂移的高旋转极限。
2021-09-09 math.AP
THE Fokker-Planck Equation With Absorbing Boundary Conditions
研究了区间上Fokker-Planck方程的初边值问题，其边界条件为吸收边界条件。我们发展了一个理论的适定性的经典解的问题。我们还证明了所得到的解决方案，指数衰减很长一段时间。为了证明这些结果，我们得到了几个重要的估计，其中包括具有吸收边界条件的Fokker-Planck方程远离奇异集的亚椭圆性，以及H旧的连续性的解决方案，直到奇异集。
2013-11-19 math.AP
Sharp Decay of the Fisher Information for Degenerate Fokker-Planck Equations
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）；Durham University（杜伦大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究退化福克-普朗克方程在二次菲舍尔信息下的精确收敛率，通过与有限维ODE相关联的传播算子范数来确定该速率。
2026-02-10 math.AP
Fitting parameters of a Fokker-Planck-like equation with constraint
本文研究带积分约束的Fokker-Planck型方程的参数拟合，给出解存在唯一性的准则与反例，并受肿瘤生长免疫控制应用启发。
2025-05-28 math.AP
Short and long time behavior of the Fokker-Planck equation in a confining potential and applications
本文考虑空间维$d \geq 3$中约束势中的线性Fokker-Planck方程。利用谱方法证明了解的短时导数和长时导数的界，并给出了一些应用。
2008-01-23 math.AP
Hypocoercivity in Phi-entropy for the Linear Relaxation Boltzmann Equation on the Torus
本文研究了空间非齐次线性弛豫Boltzmann方程在Boltzmann熵及相关熵泛函$p$ -熵下的平衡收敛性。Villani证明了在\cite{V09}熵hypovivity一类偏微分方程的Hörmander总和的平方形式。这是一个开放的问题，以证明这样的结果，不共享这种形式的运营商。我们证明了线性松弛Boltzmann方程的指数快速收敛到平衡态的显式熵率。在我们的证明中出现的关键新想法是使用我们的解决方案的投影的熵的全导数来补偿使用非线性熵时出现的额外误差项。我们还将线性弛豫Boltzmann和动力学Fokker-Planck的假充性的证明推广到$p$ -熵泛函的情形。
2019-07-26 math-ph math.AP math.MP
