Multilevel Picard approximations for high-dimensional decoupled forward-backward stochastic differential equations
倒向随机微分方程（BSDEs）有着广泛的应用.经典的近似方法受到维数灾难的影响，基于深度学习的近似方法并不收敛于贝叶斯解。最近，Hutzenthaler等人（arXiv：2108.10602）针对前向扩散为布朗运动的倒向随机微分方程引入了一种新的逼近方法，并证明了该方法以本质上最优的速度收敛，而不会受到维数灾难的影响。本文的中心目标是将这一结果推广到一般的前向扩散。主要的挑战是，我们需要在时空Hölder范数中建立收敛，因为前向扩散一般不能精确采样。
2022-04-18 cs.NA math.AP math.NA
Deep-Picard Iteration for Space-time Fractional Diffusion PDEs
Tsinghua University（清华大学）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京雁栖湖应用数学研究院）
本文提出一种深度-皮卡德迭代框架，用于高维非线性时空分数扩散方程，通过蒙特卡洛模拟分数动力学替代直接离散Caputo记忆项和非局部分数拉普拉斯算子，利用监督神经网络回归避免分数微分算子残差最小化，测试表明在d=100维问题中具有稳定收敛性和高精度。
2026-05-01 cs.NA math.NA math.PR
Backward stochastic differential equations with unbounded generators
本文考虑两类倒向随机微分方程。首先，在方程生成元的Lipschitz型条件下（该条件也可以是无界的），给出了方程存在唯一解对的充分条件。证明的方法是皮卡德迭代和由此产生的条件是新的。我们还证明了一个比较定理。其次，在可能无界生成元的线性增长和连续性假设下，证明了解对的存在性。这类方程比现有的方程更一般。
2018-03-07 math.PR
Mean Reflected Backward Stochastic Differential Equations Driven by G-Brownian Motion with Double Constraints
本文研究带双重均值反射的G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程，通过倒向Skorokhod问题与不动点理论证明解的存在唯一性，拓展非Lipschitz系数情形并得到相关性质。
2024-05-15 math.PR
Picard Approximation and Martingale Integrand Estimation for Path-Dependent FBSDEs
Seoul National University（首尔大学）；Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究所）
本文提出路径依赖型 FBSDE 与 PDE 的离散化数值格式，通过带收敛保证的 Picard 迭代、鞅被积项新估计量及神经网络监督学习，实现可广泛适配的求解算法。
2026-10-07 math.PR q-fin.CP q-fin.MF
Random Backward Iteration Algorithm for Julia sets of Rational Semigroups
我们考虑黎曼球面上的有理半群（有理映射半群）的动力学。我们提供的证据表明，一个随机向后迭代算法绘制的朱利亚集，以前被证明是工作在一个合理的映射的迭代度2或以上的背景下，扩展到一个随机生成的合理半群（某种类型）的图片。我们还提供了这个结果的一些后果。
2013-12-05 math.CV math.DS math.GT
Skorohod Equation and Reflected Backward Stochastic Differential Equations
利用Skorohod方程，我们导出了一种迭代方法，使我们能够求解一类由反射局部时引起的具有非线性阻力的反射向后随机微分方程.特别是，我们提出了一种新的方法来研究的反射Bundle提出的El Karoui等人。\cite{MR1434123}。
2011-03-10 math.PR
Stochastic functional differential equations driven by G-Browniain motion with monotone nonlinearity
利用Picard迭代格式，建立了G-Browniain运动驱动的随机泛函微分方程解的存在唯一性定理.在单调性条件下，得到了解的有界性和存在唯一性结果。给出了Picard近似解$y^k(t)$与精确解$y(t)$之间的误差估计。得到了$L^2_G$和指数估计。该理论已被进一步推广到弱单调性条件。在弱单调性条件下，得到了解的存在唯一性和指数估计。
2018-06-20 math.PR
Backward Stochastic Volterra integral equations driven by G-Brownian motion
Zhongtai Securities Institute for Financial Studies, Shandong University（山东大学中泰证券金融研究院）
本文研究了由G-布朗运动驱动的反向随机Volterra积分方程，通过新的反向迭代方法构建近似序列，并利用随机分析技术证明了解的存在性、唯一性和连续性，同时推导了比较定理。
2025-12-29 math.PR
Maximum Principle for Quasi-linear Backward Stochastic Partial Differential Equations
本文研究抛物型拟线性倒向随机偏微分方程（简称BSPDE）的最大值原理。我们首先证明了拟线性边值问题在侧边满足Dirichlet零条件时弱解的存在唯一性。然后利用De Giorgi迭代方法，建立了拟线性倒向随机微分方程的最大值估计和全局极大值原理.为了研究弱解的局部正则性，我们还证明了倒向随机抛物型De Giorgi类的一个局部极大值原理。
2011-03-05 math.PR
Pathwise Iteration for Backward SDEs
Saarland University（萨尔兰州立大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
本文提出一种新的数值方法，用于求解一类随机动态规划问题，这些问题源于反向随机微分方程或半线性偏微分方程的离散化。该方法通过迭代改进上界和下界来近似嵌套条件期望，适用于高维金融应用。
2016-06-23 cs.NA math.NA math.PR
Backward Iteration Algorithms for Julia sets of Möbius Semigroups
本文将一个关于绘制朱利亚集的随机向后迭代算法的结果（已知对某些含有非Möbius元素的有理半群有效）推广到一类Möbius半群上，这类半群包括某些文献中尚未涉及的设置，即当朱利亚集不是[David Fried，Sebastian. M. Marotta，and Rich Stankewitz，Complex dynamics of Möbius semigroups，遍历论Dynam. Systems，32（6）：1889- 1929，2012]。
2016-09-09 math.CV math.DS math.GT
Reflected BSDEs driven by G-Brownian motion with non-Lipschitz coefficients
本文考虑了系数满足β阶Mao条件的G-布朗运动驱动的反射倒向随机微分方程（反射G-BSDEs）.通过一些先验估计得到了解的唯一性，并通过两种不同的方法证明了解的存在性。第一种是Picard迭代，第二种是通过惩罚近似。后一种构造对于得到比较定理是有用的。
2022-12-23 math.PR
Multi-dimensional reflected BSDEs driven by $G$-Brownian motion with diagonal generators
本文研究由 $G$-Brownian 运动驱动且生成元为对角型的多维反射 $G$-BSDEs 的适定性，利用惩罚法与 Picard 迭代证明解的存在唯一性，并揭示其与完全非线性 PDE 系统障碍问题的联系。
2024-01-22 math.PR
Picard approximation of stochastic differential equations and application to LIBOR models
本文的目的是为LIBOR市场模型中衍生品的蒙特卡罗定价提供快速准确的近似方案。标准方法可用于求解连续LIBOR利率的随机微分方程，但这些方法通常很慢。我们的贡献是双重的。首先，我们提出了一个替代的近似计划的基础上Picard迭代。这种方法在精度上类似于欧拉离散化，但其特点是每个利率的演变独立于期限结构中的其他利率。这使得能够使用并行计算同时计算不同到期日的衍生品价格。其次，在由跳跃过程驱动的LIBOR市场模型的漂移中出现的产品项作为利率数量的函数呈指数增长，迅速使模型变得难以处理。我们减少这种增长从指数到二次使用截断扩展的产品条款。我们包括我们的方法定价caplet，掉期和远期利率协议的准确性和速度的数值说明。
2011-07-18 math.PR q-fin.CP q-fin.PR
Stochastic evolution equations driven by cylindrical stable noise
证明了由定义在希尔伯特空间上的标准$α$ -稳定圆柱Lévy过程驱动的随机发展方程的温和解的存在唯一性。假设系数在方程中存在的生成器的分数幂的某些域之间映射。该解决方案被构造为一个弱极限的皮卡德迭代使用紧密性参数。利用Yamada-Watanabe定理的一般形式得到了该方程的强解的存在性.
2021-08-03 math.PR
Maximum Principle for Quasi-linear Reflected Backward SPDEs
建立了拟线性反射倒向随机偏微分方程（简称RBSPDE）的一个最大值原理。我们证明了非零Dirichlet边界条件下RBSPDEs弱解的存在唯一性，并利用De Giorgi迭代的随机版本，建立了一般域上RBSPDEs的最大值原理.有界区域上RBSPDE的最大值原理和一般区域上倒向随机偏微分方程（简称BSPDE）的最大值原理可以作为副产品得到。最后，考虑了弱解的局部性态.
2016-04-08 math.AP math.PR
A learning scheme by sparse grids and Picard approximations for semilinear parabolic PDEs
基于倒向随机微分方程（BSDEs）与非线性抛物型偏微分方程（PDEs）之间的经典联系，提出了一种求解高维半线性抛物型偏微分方程的新的概率学习方法.该方案受到来自机器学习的方法的启发，并使用Han等人的深度神经网络开发[32]。我们的算法是基于皮卡德迭代计划，其中一系列的线性二次优化问题是通过随机梯度下降（SGD）算法解决。在近似空间的线性规范的框架下，我们设法证明了我们的计划的收敛结果，在一定的小条件。在实践中，为了能够处理高维的例子，我们采用稀疏网格近似空间。在周期系数和使用预小波基函数的情况下，我们得到了我们的方法的全局复杂性的上界。它特别表明，灾难的维数是驯服的意义上，为了实现一个均方根误差的顺序$ε$，对于一个规定的精度$ε$，皮卡德算法的复杂性多项式增长$ε^{-1}$到一些对数因子$ |log(ε)| $，它线性增长的PDE尺寸。给出了各种数值结果来验证我们的方法的性能，并将其与Han等人[20]和Huré等人[37]中提出的一些最近的机器学习方案进行比较。
2021-02-24 cs.NA math.NA math.PR
Backward stochastic differential equations with nonlinear Young drivers I
本文研究带非线性Young积分的倒向随机微分方程，通过改进Picard迭代证明有界驱动下解的存在唯一性，推导比较原理与正则性，并给出一类带Neumann边界的线性随机热方程的Feynman-Kac公式。
2025-07-31 math.AP math.CA math.PR
Numerical approximation of ergodic BSDEs using non linear Feynman-Kac formulas
针对无限时间框架下的遍历 BSDE 及其对应椭圆 PDE，本文利用梯度概率表示和非线性 Feynman–Kac 公式，构造结合 Picard 迭代、网格离散与 Monte-Carlo 的可实现数值格式，并给出误差上界及低维实验验证。
2024-09-10 cs.NA math.NA math.PR
