Hurwitz-Ran 空间
Hurwitz-Ran spaces
AI总结：
本文基于复平面的子空间对与PMQ-对引入了Hurwitz-Ran空间，证明其函子性，并建立了局部有限PMQ下该空间与单纯Hurwitz空间的同胚，赋予其胞腔分层。
摘要：
给定复平面 $\mathbb{C}$ 中满足某些温和条件（一个“好对”）的一对子空间 $\mathcal{Y}\subset\mathcal{X}$，并给定一个 PMQ-对 $(\mathcal{Q},G)$，它由一个部分乘法拟群（PMQ）$\mathcal{Q}$ 和一个群 $G$ 组成，我们引入了一个“Hurwitz-Ran”空间 $\mathrm{Hur}(\mathcal{X},\mathcal{Y};\mathcal{Q},G)$，其中包含 $\mathcal{X}\setminus\mathcal{Y}$ 和 $\mathcal{Y}$ 中的点构型，其分别具有 $\mathcal{Q}$ 和 $G$ 中的单调性。我们进一步引入了好对之间的态射概念，并证明 Hurwitz-Ran 空间在好对和 PMQ-群对中都是函子性的。对于局部有限的 PMQ $\mathcal{Q}$，我们证明了 $\mathrm{Hur}((0,1)^2;\mathcal{Q}_+)$ 与作者先前工作中引入的单纯 Hurwitz 空间 $\mathrm{Hur}^Δ(\mathcal{Q})$ 之间的同胚：这特别为 $\mathrm{Hur}((0,1)^2;\mathcal{Q}_+)$ 提供了具有 Fox-Neuwirth 和 Fuchs 精神的胞腔分层。
英文摘要：
Given a couple of subspaces $\mathcal{Y}\subset\mathcal{X}$ of the complex plane $\mathbb{C}$ satisfying some mild conditions (a ``nice couple''), and given a PMQ-pair $(\mathcal{Q},G)$, consisting of a partially multiplicative quandle (PMQ) $\mathcal{Q}$ and a group $G$, we introduce a ``Hurwitz-Ran'' space $\mathrm{Hur}(\mathcal{X},\mathcal{Y};\mathcal{Q},G)$, containing configurations of points in $\mathcal{X}\setminus\mathcal{Y}$ and in $\mathcal{Y}$ with monodromies in $\mathcal{Q}$ and in $G$, respectively. We further introduce a notion of morphisms between nice couples, and prove that Hurwitz-Ran spaces are functorial both in the nice couple and in the PMQ-group pair. For a locally finite PMQ $\mathcal{Q}$ we prove a homeomorphism between $\mathrm{Hur}((0,1)^2;\mathcal{Q}_+)$ and the simplicial Hurwitz space $\mathrm{Hur}^Δ(\mathcal{Q})$, introduced in previous work of the author: this provides in particular $\mathrm{Hur}((0,1)^2;\mathcal{Q}_+)$ with a cell stratification in the spirit of Fox-Neuwirth and Fuchs.
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