部分乘法quandle与单纯Hurwitz空间
Partially multiplicative quandles and simplicial Hurwitz spaces
AI总结：
本文提出部分乘法quandle（PMQ），建立其自由与完备理论，定义参数化平面分支覆盖的单纯Hurwitz空间，并计算源于对称群的PMQ包络群与完备化。
摘要：
我们引入部分乘法quandle（PMQ），它是部分幺半群和quandle二者的推广。我们建立PMQ的基础理论，重点研究自由PMQ与完备PMQ的性质。对于一个带完备化\hat{\mathcal{Q}}的PMQ \mathcal{Q}，我们引入\hat{\mathcal{Q}}-交叉拓扑空间范畴，并定义Hurwitz空间\mathrm{Hur}^Δ(\mathcal{Q})：它是一个\hat{\mathcal{Q}}-交叉空间，参数化平面的\mathcal{Q}-分支覆盖。当\mathcal{Q}是离散群G时，该定义恢复经典Hurwitz空间。最后，我们分析由对称群\mathfrak{S}_d产生的PMQ类\mathfrak{S}_d^{\mathrm{geo}}，并计算其包络群及其PMQ完备化。
英文摘要：
We introduce partially multiplicative quandles (PMQ), a generalisation of both partial monoids and quandles. We set up the basic theory of PMQs, focusing on the properties of free PMQs and complete PMQs. For a PMQ $\mathcal{Q}$ with completion $\hat{\mathcal{Q}}$, we introduce the category of $\hat{\mathcal{Q}}$-crossed topological spaces, and define the Hurwitz space $\mathrm{Hur}^Δ(\mathcal{Q})$: it is a $\hat{\mathcal{Q}}$-crossed space, and it parametrises $\mathcal{Q}$-branched coverings of the plane. The definition recovers classical Hurwitz spaces when $\mathcal{Q}$ is a discrete group $G$. Finally, we analyse the class of PMQs $\mathfrak{S}_d^{\mathrm{geo}}$ arising from the symmetric groups $\mathfrak{S}_d$, and we compute their enveloping groups and their PMQ completions.
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