一个唯一的完全幂十边形数
A Unique Perfect Power Decagonal Number
AI总结：
本文通过下降论证和模方法，证明十边形数中唯一大于1的完全幂为 $\mathcal{P}_{10}(3)=3^3$。
摘要：
设 $\mathcal{P}_s(n)$ 表示第 $n$ 个 $s$ 边形数。我们考虑方程 $\mathcal{P}_s(n) = y^m$，其中 $n,s,y,m$ 为整数。对于 $m>2$ 且 $s \in \{3,5,6,8,20\}$，该方程的所有解已知。我们考虑 $s=10$ 的情形，即十边形数。利用下降论证和模方法，我们证明唯一大于 1 的、可表示为 $m>1$ 的完全 $m$ 次幂的十边形数是 $\mathcal{P}_{10}(3) = 3^3$。
英文摘要：
Let $\mathcal{P}_s(n)$ denote the $n$th $s$-gonal number. We consider the equation \[\mathcal{P}_s(n) = y^m, \] for integers $n,s,y,$ and $m$. All solutions to this equation are known for $m>2$ and $s \in \{3,5,6,8,20 \}$. We consider the case $s=10$, that of decagonal numbers. Using a descent argument and the modular method, we prove that the only decagonal number $>1$ expressible as a perfect $m$th power with $m>1$ is $\mathcal{P}_{10}(3) = 3^3$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
