Simply Exponential Approximation of the Permanent of Positive Semidefinite Matrices
针对正半定矩阵的积和式，设计了一个确定性的多项式时间$c^n$逼近算法，其中$c=e^{γ+1}\simeq 4.84$ .我们写了一个自然的凸松弛，并表明其最优解给出了永久的$c^n$近似。通过构造一类正半定矩阵，进一步证明了该因子是渐近紧的。
2017-04-11 cs.DS math.CO math.PR
Characterizing graphs with fully positive semidefinite $Q$-matrices
本研究从量子概率论视角出发，刻画了使得路径长度距离定义的$Q$-矩阵在$[-1,1]$上全半正定的连通图，证明其等价于可等距嵌入超立方体的二部图，且不含$K_{2,3}$等特定五顶点构型。
2023-04-20 math.CO
Maximizing Products of Linear Forms, and The Permanent of Positive Semidefinite Matrices
本文研究了一个多项式最优化问题的凸松弛问题，即在复球面上最大化一个线性型的乘积。我们证明了这个凸规划也是Hermitian半正定（HPSD）矩阵的积和的松弛。通过分析一种构造性的随机舍入算法，得到了一种改进的HPSD矩阵积和式的乘法逼近因子，并证明了这种逼近因子的计算效率.我们还提出了一个模拟的HPSD矩阵的van der Waerden猜想，多项式最优化问题被解释为一个松弛的永久。
2021-01-13 cs.DS math.CO math.OC
Interlacing Families II: Mixed Characteristic Polynomials and the Kadison-Singer Problem
我们使用的方法，交错家庭的多项式介绍，证明两个定理，已知的Kadison-辛格问题的正解。第一个是Weaver的猜想$KS_{2}$ \cite{weaver}，众所周知，该猜想通过Akemann和Anderson的投影铺路猜想暗示了Kadison-Singer。第二种是Casazza等人的一种配方，Anderson的原始铺路猜想，我们能够计算明确的铺路界限。证明涉及一个家庭的多项式，我们称之为“混合特征多项式”的矩阵集合的最大根的分析。
2014-04-14 math.CO math.FA math.OA
Sparse Sums of Positive Semidefinite Matrices
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
研究将任意秩的半正定矩阵和稀疏化，仅保留少数非零系数，同时近似保持原矩阵和，提出两种算法并展示其在图稀疏化、超图稀疏化和半定规划稀疏解中的应用。
2011-10-18 cs.DM cs.DS cs.NA
Orthogonal Representations, Projective Rank, and Fractional Minimum Positive Semidefinite Rank: Connections and New Directions
利用$r$ -折忠实正交表示定义了分数阶最小半正定秩，并证明了任意图的射影秩等于其补图的分数阶最小半正定秩.一个$r$倍版本的传统定义的最小半正定秩的图使用埃尔米特矩阵，适合图。本文还引入了图的$r$ -折叠正交表示，并将图的投影秩的理解形式化为分数正交秩。连接这些概念的量子理论，包括Tsirelson的问题，进行了讨论。
2015-09-02 math.CO quant-ph
Complete quadrics: Schubert calculus for Gaussian models and semidefinite programming
我们在以下之间建立联系：线性浓度模型的最大似然度（ML度），半定规划（SDP）的代数度，以及完全二次型的Schubert演算。我们证明了Sturmfels和Uhler关于ML-次数的多项式性的一个猜想。我们还证明了一个猜想由聂，Ranestad和Sturmfels提供一个明确的公式的程度SDP。三个领域之间的相互作用揭示了新的枚举不变量的渐近行为的各种完整的二次曲面。我们也将这些结果推广到一般矩阵空间和反对称矩阵空间。
2020-11-27 math.AG math.CO math.RT
The complexity of positive semidefinite matrix factorization
设$A$是一个实元素非负的矩阵。$A$的PSD秩是存在$k\times k$实PSD矩阵$B_1,\ldots,B_m$、$C_1,\ldots,C_n$的最小整数$k$，对于所有$i,j$，$k\times k$实PSD矩阵$B_1,\ldots,B_m$、$C_1,\ldots,C_n$满足$A(i|j)=\operatorname{tr}(B_iC_j)$。本文确定了PSD秩的计算复杂性状态。也就是说，我们证明了计算这个函数的问题是多项式时间等价于实数的存在理论。
2016-06-29 cs.CC math.CO
Tropicalizing Principal Minors of Positive Definite Matrices
本文刻画正定矩阵主子式映射像的热带化，证明其等于仿射热带旗簇与次模锥的交集，并据此发现半正定矩阵主子式的新不等式。
2025-08-29 math.AG math.CO
Support-based lower bounds for the positive semidefinite rank of a nonnegative matrix
非负$(m\times n)$ -矩阵$S$的半正定秩是使得存在半正定$(q\times q)$ -矩阵$q$，$B_1,\dots,B_n$使得$S(k,\ell) = \mbox{tr}(A_k^* B_\ell)$ .最重要的，非负秩的下界技术仅基于矩阵S的支持，即，零/非零模式。本文刻画了半正定秩的下界的幂，给出了仅基于支撑的幂的刻画。
2013-11-15 cs.DM math.CO math.OC
Self-dual polyhedral cones and their slack matrices
本文分析了自对偶多面体锥及其松弛矩阵的性质，证明了自对偶性等价于半正定松弛的存在，并揭示了不可约锥的PSD松弛与DNN矩阵锥极射线的关系，最后展示了如何利用半定规划探测具有给定组合学的自对偶锥。
2023-03-05 cs.NA math.CO math.NA
Four Deviations Suffice for Rank 1 Matrices
我们证明了一个矩阵的差异范围，加强了著名的凯迪逊-辛格马库斯，斯皮尔曼和Srivastava的结果。考虑具有有限支持的任何独立标量随机变量$ξ_1, \ldots, ξ_n$，例如$\{ \pm 1 \}$或$\{ 0,1 \}$值随机变量，或其某种组合。设$u_1, \dots, u_n \in \mathbb{C}^m$和$$ σ^2 = \left\| \sum_{i=1}^n \text{Var}[ ξ_i ] (u_i u_i^{*})^2 \right\|. $$，则存在支持$ξ_1, \ldots, ξ_n$ s. t.的结果$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$的选择。$$ \left \|\sum_{i=1}^n \mathbb{E} [ ξ_i] u_i u_i^* - \sum_{i=1}^n \varepsilon_i u_i u_i^* \right \| \leq 4 σ. $$我们结果的一个简单推论是Akemann和Weaver的一个Lyapunov型定理的改进。
2020-08-04 cs.DM math.CO math.FA
Positive semidefinite rank
设M是一个p × q矩阵，其元素为非负。M的半正定秩（psd秩）是存在大小为$k \times k$的正半定矩阵$A_i, B_j$使得$M_{ij} = \text{trace}(A_i B_j)$的最小整数k。psd秩有许多吸引人的几何解释，包括多面体的半定表示和信息论应用。在本文中，我们发展和调查psd秩的主要数学性质，包括它的几何形状，与其他秩概念的关系，以及计算和算法方面。
2014-07-15 cs.DM math.CO math.OC
Positivity of Hadamard powers of a few band matrices
设$\mathbb{P}_G([0,\infty))$和$\mathbb{P}_G^{'}([0,\infty))$分别是$n$阶半正定矩阵和正定矩阵的集合，其中零元素的某些位置由具有$n$顶点的单图$G$限制.证明了对于$n\geq 3$阶连通单图$G$，$\mathbb{P}_G([0,\infty))$上的保半正定幂集与$\mathbb{P}_G^{'}([0,\infty))$上的保正定幂集完全相同.特别是，这提供了一个明确的组合描述的临界指数的正定性，所有弦图。利用链序列证明了每个非负三对角矩阵保持正（半）定的Hadamard幂都是$r\geq 1$。研究了三对角矩阵的无限整除性。对一类特殊的五对角矩阵也证明了同样的结果。
2022-02-08 math.CO math.SP
Algorithms for Positive Semidefinite Factorization
本文研究半正定分解问题，它是精确非负矩阵分解的推广。给定一个$m$ × $n$非负矩阵$X$和一个整数$k$，PSD分解问题在于找到（如果可能的话）对称的$k$ × $k$半正定矩阵$\{A^1,...,A^m\}$和$\{B^1,...,B^n\}$，使得$X_{i,j}=\text{trace}(A^iB^j)$对于$i=1,...,m$，和$j=1,...n$ . PSD分解是NP难的。在这项工作中，我们介绍了几个局部优化方案来解决这个问题：一个快速投影梯度法和两个算法的基础上的坐标下降框架。PSD因式分解的主要应用是计算半定扩张，即将多面体表示为谱面的投影，其中要因式分解的矩阵是多面体的松弛矩阵。我们比较我们的算法在这类问题上的性能。特别地，当$n=5$、$8$和$10$时，我们计算规则$n$ -1的大小为$k=1+ \lceil \log_2(n) \rceil$的PSD扩展。我们还展示了如何推广我们的算法来计算平方根秩（这是PSD因式分解中所有因子矩阵$A^i$和$B^j$的秩为1的因子的大小）和完全PSD因式分解（这是输入矩阵对称且所有$i$都需要相等$A^i=B^i$的特殊情况）。
2017-07-25 cs.DM math.CO math.OC
