Algebra in Algorithmic Coding Theory
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学本科工程学院与应用科学学院）
本文综述了纠错码中代数的应用，探讨了其在编码构造和算法设计中的作用。
2025-12-16 cs.CC cs.IT math.IT
On Galois hulls of linear codes and new entanglement-assisted quantum error-correcting codes
线性码的Galois壳是线性码与其Galois对偶码的交集，近年来引起了研究者的兴趣。本文研究了线性码的Galois壳。首先，得到了线性码的Galois壳维数的对称性，刻画了线性码是Galois自正交码、Galois自对偶码和Galois线性互补对偶码的一些新的充要条件。然后，我们提出了明确的方法来构造更长的Galois自正交码从给定的Galois自正交码。作为应用，进一步导出了具有任意维伽罗瓦壳的更长线性码。以Hermitian内积为中心，构造了两类新的Hermitian自正交最大距离可分（MDS）码。最后，将所得结果应用于纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）的构造，得到了许多新的$q$元或$\sqrt{q}$元EAQECC和MDS EAQECC，它们的码率大于或等于$\frac{1}{2}$，且净码率为正.此外，长度为$n>\sqrt{q}+1$的许多$\sqrt{q}$元MDS EAQECC的最小距离大于或等于$\lceil \frac{\sqrt{q}}{2} \rceil$。
2023-01-11 cs.IT math.IT
Explicit constructions of optimal linear codes with Hermitian hulls and their application to quantum codes
我们证明了任何Hermitian自正交$[n,k,d]_{q^2}$码产生一个$[n,k,d]_{q^2}$码与$\ell$维Hermitian壳$0\le \ell \le k$。提出了一种新的构造大维数自正交Hermitian $[n,k]_{q^2}$码的方法$k>\frac{n+q-1}{q+1}$ .得到了一类新的具有良好参数的厄米特自正交码族，更确切地说，是几乎包含MDS码的一类。通过对厄米特自正交码应用删余技术，得到了具有大维数厄米特壳的MDS $[n,k]_{q^2}$线性码$k>\frac{n+q-1}{q+1}$.新的家庭MDS，几乎MDS和最佳码与任意厄米特壳尺寸明确构造代数曲线。作为应用，我们给出了具有新参数的纠缠辅助量子纠错码。
2021-05-19 cs.IT math.IT
Hermitian hull of some GRS codes and new EAQMDS codes
本文将一类广义 Reed–Solomon 码的 Hermitian 包络维数计算转化为格计数问题，给出显式公式，并据此构造具有新参数的多种 EAQMDS 码。
2025-07-24 cs.IT math.IT
The MacWilliams Identity for the Hermitian Rank Metric
本文通过引入负 q-代数，为有限域上配备秩度量的埃尔米特矩阵码建立了麦克威廉姆斯恒等式及其相关矩，推广了 Schmidt 的近期工作，并强调了与斜秩度量方法的相似性以便未来推广。
2024-01-14 cs.IT math.IT
MDS Codes with Euclidean and Hermitian Hulls of Flexible Dimensions and Their Applications to EAQECCs
线性码的外壳是其自身与其对偶码关于某个内积的交集。欧几里德壳和厄米特壳都具有理论和实际意义。本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码构造了几类新的MDS码，并确定了它们的欧氏壳和Hermitian壳。具体地说，我们构造了四类新的具有可变维Hermitian壳的MDS码和六类新的具有可变维Euclidean壳的MDS码。对于前者，我们进一步构造了四类新的纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）和四类新的长度为$n>q+1$的MDS EAQECC.对于后者，我们也给出了一些欧氏自正交和一维欧氏壳MDS码的例子。
2022-10-05 cs.IT math.IT
Hulls of special typed linear codes and constructions of new EAQECCs
本文研究了广义Reed-Solomon码和扭广义Reed-Solomon码的Euclidean壳和Hermitian壳，以及Roth-Lempel型码的Hermitian壳。我们提出了明确的MDS和AMDS线性码的结构，其壳尺寸是确定的。作为应用，我们给出了几类新参数的纠缠辅助量子纠错码。
2022-07-16 cs.IT math.IT
Euclidean and Hermitian Hulls of MDS Codes and Their Applications to EAQECCs
本文利用广义Reed-Solomon（GRS）码和扩展GRS码构造了几类最大距离可分（MDS）码，并确定了它们的Euclidean壳或Hermitian壳的维数.结果表明，在我们的构造中，码的欧几里德壳或厄米特壳的维数可以取所有或几乎所有可能的值。因此，我们可以将我们的结果应用到纠缠辅助的量子纠错码（EAQECC），并获得几个新的家庭的MDS EAQECC灵活的参数。这些MDS EAQECC的最大纠缠态的所需数量可以取所有或几乎所有可能的值。此外，还得到了几类新的长度为n > q + 1的q元MDS EAQECC.
2019-12-06 cs.IT math.IT
Optimal quaternary linear codes with one-dimensional Hermitian hull and the related EAQECCs
有限域上的小壳线性码由于其在计算复杂性和信息保护方面的实际应用而得到了广泛的研究。在本文中，我们开发了一个通用的方法来确定$D_4^H(n,k,1)$的$n\leq 12$或$k\in \{1,2,3,n-1,n-2,n-3\}$的确切值，其中$D_4^H(n,k,1)$表示所有四元线性$[n,k]$码中的最大最小距离，一维Hermitian壳。因此，我们解决了Mankean和Jitman提出的猜想的最大最小距离的四元线性码一维厄米壳。作为应用，我们利用一维厄米壳的四元线性码构造了一些二元纠缠辅助量子纠错码（EAQECC）。这些EAQECC中的一些是最优码，其中一些比以前已知的更好。
2022-11-26 cs.IT math.IT
Generalized Roth--Lempel Codes: NMDS Characterization, Hermitian Self-Orthogonality, and Quantum Constructions
School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University（南京师范大学数学科学学院）
本文研究广义Roth-莱姆佩尔码的NMDS特性，提出埃尔米特自正交码的构造方法，并基于此构建了四种量子GRL码，其中两种无限家族达到量子单边界减一。
2026-04-25 cs.IT math.IT
MDS, Hermitian Almost MDS, and Gilbert-Varshamov Quantum Codes from Generalized Monomial-Cartesian Codes
本文利用广义单项式-笛卡尔码和显式扭转向量构造新的稳定子量子纠错码，给出最小距离与维数公式，并证明其在m=2时的一族无限参数下优于Gilbert-Varshamov界。
2023-07-28 cs.IT math.IT
Hulls of projective Reed-Muller codes over the projective plane
本文通过求解商环中的多项式问题，计算射影平面上射影Reed-Muller码的相对壳和Hermitian壳维数，从而确定纠缠辅助量子纠错码所需的最小纠缠对数量，并给出所有参数，同时得到二元仿射码的Hermitian壳维数。
2024-06-19 cs.IT math.AC math.IT
Quantum error-correcting codes from matrix-product codes related to quasi-orthogonal and quasi-unitary matrices
有限域上的矩阵积码是由有限域上的一个定义矩阵和若干个公度的较短线性码组合而成的一类重要的长线性码。构造有限域上具有一定自正交性的矩阵乘积码是获得良好的大码长$q$元量子码的有效途径。本文有两个目的：第一是总结了作者及其合作者在[10-12]中关于这一课题的一些结果;第二是补充了关于拟正交矩阵的一些新结果（分别是.准酉矩阵）、欧几里得对偶包含（分别厄米对偶）矩阵乘积码和由这些矩阵乘积码导出的$q$元量子码。
2022-10-30 cs.IT math.IT quant-ph
On Semigroups Generated by Two Consecutive Integers and Improved Hermitian Codes
通过对一点码的Berlekamp-Massey-Sakata译码算法的分析，提出了两种提高码速率的方法。Feng和Rao提出的一种方法是删除奇偶检验，而这些校验可以通过他们的多数表决算法恢复。第二种方法是将代码设计为仅校正给定权重的几何通用的那些误差向量。在这项工作中，公式给出的厄米特码的冗余优化这些标准以及公式的顺序上的最小距离的限制。结果从分析两个连续整数生成的数值半群。最优厄米特码的冗余度公式纠正了给定数量的错误，回答了Pellikaan和Torres在1999年提出的一个开放性问题。
2006-11-15 cs.DM cs.IT math.IT
On Linear Codes Whose Hermitian Hulls are MD
针对 Hermitian 包络本身为 MDS 的线性码刻画难题，本文提出研究工具与显式构造，覆盖 Reed–Solomon 型和非 Reed–Solomon 型 MDS 码，并在相同包络维数下获得更高码维。
2024-04-07 cs.IT math.IT
Construction of Self-Orthogonal Quasi-Cyclic Codes and Their Application to Quantum Error-Correcting Codes
本文分别在三种内积下推导了t-generator拟循环码自正交及对偶包含的充要条件，并据此构造了多个具有良好参数的量子稳定子码和量子同步码。
2025-08-12 cs.IT math.IT
New families of quantum stabilizer codes from Hermitian self-orthogonal algebraic geometry codes
从经典的纠错码出发，人们已经做了大量的努力来构造好的量子码。利用厄米特自正交码构造新的量子码是一个比较困难的问题。本文从代数函数域的角度研究了厄米特自正交码。给出了代数几何码的厄米特自正交性的充分条件。利用射影直线、椭圆曲线、超椭圆曲线、Hermitian曲线和Artin-Schreier曲线构造了新的Hermitian自正交码。此外，在投影线上，我们构造了新的MDS量子码族的参数$[[N,N-2K,K+1]]_q$在以下条件下：i）$N=t(q-1)+1$或$t(q-1)+2$与$t|(q+1)$和$K=\lfloor\frac{t(q-1)+1}{2t}\rfloor+1$ ; ii）$(n-1)|(q^2-1)$，$N=n$或$N=n+1$，$K_0=\lfloor\frac{n+q-1}{q+1}\rfloor$，和$K\ge K_0+1$ ; iii）$N=tq+1$，$\forall~1\le t\le q$和$K=\lfloor\frac{tq+q-1}{q+1}\rfloor+1$ ; iv）$n|(q^2-1)$，$n_2=\frac{n}{\gcd (n,q+1)}$，$\forall~ 1\le t\le \frac{q-1}{n_2}-1$，$N=(t+1)n+2$和$K=\lfloor \frac{(t+1)n+1+q-1}{q+1}\rfloor+1$。
2021-12-12 cs.IT math.IT
Hermitian Hulls of Rational Algebraic Geometry Codes and Applications in Quantum Codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）
本文通过代数几何码的埃尔米特包络维度研究，设计出新的MDS EAQECC家族，并验证其参数新颖性。
2025-12-18 cs.IT math.IT
Lower Rate Bounds for Hermitian-Lifted Codes for Odd Prime Characteristic
本文将特征 2 域上 Hermitian-lifted 局部可恢复码的码率下界结果推广到任意奇素数特征，证明 q=p^l 时其码率具有依赖于 p 的正常数下界。
2023-08-29 cs.IT math.IT
The Hermitian Hull Dimensions for a Class of (L,P)-Twisted Generalized Reed-Solomon Codes
College of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University（四川师范大学数学科学学院）
研究一类（L，P）-TGRS码C_k(a)的埃尔米特包络维数。通过特殊向量a及分析i奇偶性与i和q+1关系分三种情况确定其维数，并据此构造两类纠缠辅助量子纠错码。
2026-07-07 cs.IT math.IT
Non-GRS type Euclidean and Hermitian LCD codes and Their Applications for EAQECCs
College of Mathematical Sciences, Sichuan Normal University（四川师范大学数学科学学院）；School of Mathematics, Southwest Jiaotong University（西南交通大学数学系）；School of Information Science and Technology, Southwest Jiaotong University（西南交通大学信息科学与技术学院）
本文基于非GRS类型的线性码构造了欧几里得LCD码、赫尔米特LCD码及小维度包络码，并给出了相关上界，同时应用这些码构造了EAQECCs，并证明了GRL码在k>ℓ时非GRS。
2026-03-17 cs.IT math.IT
Goppa Codes: Key to High Efficiency and Reliability in Communications
本文研究基于特定极大曲线的代数几何码，通过调整Hermitian自正交量子稳定子码的参数获得良好性能，并展示了其在噪声电力线通信中实现高数据速率传输的潜力。
2024-05-05 cs.IT math.AG math.IT
Simultaneous Reduction of Observables and Measured Qudits in Entanglement-Assisted Quantum Local Recovery
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出一种线性代数程序，同时约简纠缠辅助量子纠错码中的可观测量与修复组，以最小规模纠正擦除，并给出特殊码的闭式上界及量子信息局部性对应物。
2026-09-22 cs.IT math.IT quant-ph
A Construction of Infinite Families of Good Self-Orthogonal Quasi-Cyclic Codes
Federal University of São João del-Rei（圣若昂-德尔雷伊联邦大学）；Embry-Riddle Aeronautical University（埃默里-里德航空大学）
本文通过域扩张上的组成码构造了无限族准循环码，使其在欧几里得和内积下自正交，并计算了维数和最小距离的平方根型下界，进而利用CSS构造得到参数良好的量子纠错码。
2026-05-21 cs.IT math.IT
Hulls and sums of separable constacyclic codes over $\mathbb{F}_q \times (\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q)$ and new quantum codes
School of Mathematics and Statistics, Hefei University（合肥大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Hefei University of Technology（合肥工业大学数学学院）
研究在环F_q×(F_q+vF_q)上可分常循环码的对偶、壳与和的生成多项式，利用其格雷像，提出两种构造量子纠错码的方法，生成了参数更优的新量子码。
2026-06-23 cs.IT math.IT
On the classification of Hermitian self-dual additive codes over GF(9)
GF（9）上关于厄米迹内积自对偶的加法码在量子信息论中有着自然的应用，它们对应于三进制量子纠错码。然而，到目前为止，这些码受到编码理论家的兴趣远远低于GF（4）上的自对偶加法码，其对应于二进制量子码。GF（9）上的自对偶可加码已被分类到长度8，本文将完整的分类扩展到长度9和10的码。分类是通过使用一种新的算法，结合两个图形表示的自对偶加性码。搜索空间首先减少的事实，每一个代码可以映射到一个加权图，然后引入一个不同的图，将代码等价的问题转化为图同构的问题。通过扩展技术，我们能够对长度为11和12的所有最优码进行分类。有56，005，876（11，3^11，5）个代码和6493（12，3^12，6）个代码。我们还找到了具有平凡自同构群的最小码。
2011-11-29 cs.IT math.CO math.IT
CSS-like Constructions of Asymmetric Quantum Codes
非对称量子纠错码（AQC）可以通过为更频繁的错误类型提供更好的纠错来提供优于其对称对应物的一些优势。通过去除$\F_{q}$线性要求以及对所使用的内积类型的限制，扩展了$q$元AQC的公知CSS构造。建议的建设被称为CSS样的建设，并利用对嵌套子域线性码下的欧几里德，跟踪欧几里德，厄米特，跟踪厄米特内积。在建立了一定的理论基础后，构造了性能最好的类CSS AQC。结合经典码对的嵌套构造和线性规划，我们找到了许多最优的、性能良好的$q$ -ary CSS类$q \in {2,3,4,5,7,8,9}$码，在许多情况下，去除$\F_{q}$ -线性和使用替代内积，我们得到的纯AQC比单纯依赖标准CSS构造的AQC具有更好的参数.
2013-07-03 cs.IT math.IT
Entanglement-assisted Quantum Codes from Cyclic Codes
量子纠缠辅助码（QUENTA）是利用量子纠缠作为资源的量子纠错码的一个子类。这些码可以提供比从传统稳定器形式主义导出的码更高的纠错能力。本文给出了由循环码构造QUENTA码的一般方法。然后，将该方法应用于Reed-Solomon码、BCH码和一般循环码。我们使用了欧几里德和厄米特构造的QUENTA码。两类QUENTA码是最大距离可分的（MDS）码，一类是几乎MDS码或几乎接近MDS码。本文中的码的比较主要是基于量子Singleton界。
2019-11-14 cs.IT math.IT quant-ph
Entanglement-assisted Quantum Codes from Algebraic Geometry Codes
量子纠错码在量子系统中通过引入冗余来起到抑制噪声和消相干的作用。一些策略可以用来改善这些代码的参数。例如，纠缠可以为量子纠错码提供一种方法，以实现比通过传统稳定器形式主义获得的速率更高的速率。这种编码被称为纠缠辅助量子（QUENTA）编码。本文利用代数几何码，通过欧几里德和厄米特构造，构造了几类QUENTA码。其中两个家族具有最大的纠缠度，并且量子单态亏损等于零或一。比较其他家庭的代码与各自的量子Gilbert-Varshamov界，我们表明，我们的代码有一个率，超过该界限。最后，利用线性互补对偶码的渐近好的塔，得到了渐近好的最大纠缠QUENTA码族。此外，与量子Gilbert-Varshamov界限的简单比较表明，使用我们的构造，可以创建一个渐进的QUENTA码族，超过这个界限。
2019-08-21 cs.IT math.IT quant-ph
Explicit Codes Achieving List Decoding Capacity: Error-correction with Optimal Redundancy
我们提出的纠错码，实现信息理论上最好的速率和纠错半径之间的权衡。具体来说，对于每个$0 < R < 1$和$\eps> 0$，我们提出了一个明确的建设率$R$的纠错码，可以在多项式时间内列表解码的{ \em最坏情况}错误的一部分$(1-R-\eps)$。至少在理论上，这满足了算法编码理论的核心挑战之一。我们的代码很容易描述：它们是{ \em折叠Reed-Solomon码}，实际上是{ \em exactly} Reed-Solomon（RS）码，但通过仔细捆绑码字符号而被视为更大字母表上的代码。考虑到RS码的普遍性，这是我们的结果的一个吸引人的特征，并且事实上，当错误发生在{ \em相位突发}中时，我们的方法直接产生更好的RS码解码算法。这些折叠RS码的字母表大小是多项式的块长度。我们能够使用有关“列表恢复”的想法和来自\cite{GI-focs01,GI-ieeejl}的基于扩展器的代码将其减少到一个常数（取决于$\eps$）。将折叠RS码与合适的内码级联还为我们提供了多项式时间可构造的二进制码，其可以被有效地列表解码直到Zyablov界，即，高达级联码的标准GMD解码所实现的半径的两倍。
2007-10-08 cs.IT math.IT
Relative hulls and quantum codes
本文研究 $q$ 元码的相对壳维数，证明 $q>2$ 时可通过等价码逐步减小维数至下界，并给出增大条件，进而构造新的纠缠辅助量子最大距离可分码。
2023-12-23 cs.IT math.IT math.RA
Structure of CSS and CSS-T Quantum Codes
本文研究CSS和CSS-T量子纠错码的存在性、稀有性和性能，给出CSS码对数量下界，证明CSS-T码的码率和相对距离不能同时很大，并提供从Hermitian曲线的构造方法。
2024-05-28 cs.IT math.IT
Galois Hulls of Generalized Roth-Lempel Codes and Their Applications to EAQECCs
School of Mathematics, Nanjing Normal University（南京师范大学数学学院）
本文提出基于归一化拉格朗日系数的通用方法，构造具有指定Galois壳维数的广义Roth-Lempel码，并应用于纠缠辅助量子纠错码，获得MDS/AMDS码及最大纠缠EAQECCs。
2026-09-18 cs.IT math.IT
Entanglement assisted quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Universidad de Jaén（哈恩大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出纠缠辅助量子(r,δ)本地可恢复码框架，确立其性质的充要条件，建立相关概念联系与类Singleton界，并从多类经典码构造出最优的此类码。
2026-08-19 cs.IT math.IT quant-ph
Quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Universidad de Jaén（哈恩大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文提出量子$(r,δ)$-局部可恢复码，研究其构造条件及与经典码的等价性，并给出单边界及实例。
2025-12-30 cs.IT math.IT quant-ph
Decoding a Class of Affine Variety Codes with Fast DFT
提出了一种基于快速离散傅里叶变换（DFT）和Berlekamp-Massey-Sakata算法的仿射簇码误差值计算方法。我们的程序是由多维DFT和线性递归关系从Grobner基础上实现的，并适用于擦除和错误解码和系统编码。该算法中误差值计算的计算复杂性在许多情况下比用纠错对求解线性方程组的算法复杂。激励的情况下，我们的算法的里德-所罗门码和我们的算法的数值例子的情况下，埃尔米特码的例子也被描述。
2012-09-29 cs.DM cs.IT math.AC
Quantum Codes from Group Codes
SRM University-AP（SRM大学安得拉邦分校）；Inria, ENS de Lyon, Lyon 1, LIP（法国国家信息与自动化研究所、巴黎高等师范学院里昂分校、里昂第一大学、LIP实验室）；Carleton University（卡尔顿大学）
研究由有限域上群环构造的线性码和量子纠错码，利用群环代数结构给出统一框架，建立群码自正交条件，表明同阶非同构群可生成不等价码，给出量子码明确构造及新例子。
2026-07-14 cs.IT math.IT
Optimal pure quantum $(r,δ)$-locally recoverable codes from matrix-product construction
Universitat Jaume I（豪梅一世大学）；Institut Universitari de Matemàtiques i Aplicacions de Castelló（卡斯特利翁数学与应用大学研究所）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）；IMUVA-Mathematics Research Institute（IMUVA数学研究所）
本文针对量子存储的删除错误修复需求，以矩阵积码为基础，构造出满足类Singleton界的最优纯量子$(r,δ)$-局部可修复码族，为量子存储系统提供了高效的纠错方案。
2026-08-25 cs.IT math.IT
Improved bounds and optimal constructions of pure quantum locally recoverable codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University（南洋理工大学物理与数学科学学院）；Anhui University（安徽大学）；School of Internet, Anhui University（安徽大学互联网学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；School of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学数学学院）；VinUniversity（越大）
本文提出改进的纯量子局部可恢复码界限，并通过经典QECCs构造了最优qLRCs的无限族。
2025-12-08 cs.IT math.IT
Using concatenated algebraic geometry codes in channel polarization
极化码由Arikan在2008年提出，并且是在低复杂度编码下实现任意二进制输入离散无记忆信道的对称容量并使用有效的连续消除解码策略的第一个纠错码族。最近，已经研究了非二进制极化码，其中可以使用不同的代数几何码来实现更好的错误解码概率。在本文中，我们研究了二元极化码的性能，得到非二元代数几何码使用级联。对于给定长度$n$的二进制极化码（即二进制内核），我们在数值上比较了在大字段上使用短代数几何码与在小字段上使用长代数几何码。我们发现，对于每个$n$有一个最佳的选择。对于大小高达$n \leq 1,800$的二进制内核，级联Reed-Solomon码优于其他选择。对于更大的内核大小，级联厄米特码或铃木码将做得更好。
2013-10-27 cs.IT math.AG math.IT
Channels with Synchronization/Substitution Errors and Computation of Error Control Codes
我们引入了\ff -最大错误检测分组码的概念，对于0和1之间的某些参数\ff{}，以便形式化分组码接近最大错误检测的情况。我们这样做的动机是，构建一个最大的错误检测码是一个计算困难的问题。我们提出了一种随机算法，作为输入的两个正整数$N,\ell$，概率值\ff，并在某些应用程序中允许的错误的规格，并产生一个错误检测，或纠错，块码具有高达$N$码字的长度$\ell$。如果算法找到少于$N$码字，则这些码字构成具有高概率的\ff最大值的代码。误差规范（也称为通道）被建模为换能器，这允许对替代和同步误差的任何合理组合进行建模。我们还提出了一些元素，我们实现的各种错误检测属性及其相关的方法。然后，我们在各种渠道上的实施随机算法的几个测试。方法上的贡献是介绍各种理想的错误组合可以表示正式和处理算法。
2016-07-29 cs.IT math.IT
Dualities of dihedral and generalised quaternion codes and applications to quantum codes
Universitat d’Alacant（阿利坎特大学）；Universidad de Granada（格拉纳达大学）
本文通过群代数分解研究二面体与广义四面体码的对偶性，并应用该方法构造量子纠错码。
2026-09-09 cs.IT math.IT math.QA
Structure Theorems (and Fast Algorithms) for List Recovery of Subspace-Design Codes
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文提出了一种高效的算法，用于子空间设计码的列表恢复，通过紧凑描述实现高效处理，改进了现有算法性能。
2025-12-08 cs.CC cs.IT math.IT
Codes with hierarchical locality from covering maps of curves
局部可恢复（LRC）码提供了在不必访问每个剩余坐标的情况下恢复码字的擦除坐标的方式。具有分层局部性的LRC码（H-LRC码）的子族通过引入用于校正不同数目的擦除的若干层可恢复性来为构造提供额外的灵活性。我们提出了一个一般的建设代码与2级层次的地方从代数曲线之间的映射，并专门为几个代码的家庭获得的自同构群，包括合理的，椭圆的，Kummer，和Artin-Schreier曲线的代数曲线之间的映射。我们进一步解决问题的H-LRC代码的可用性，并建议一般建设这样的代码从纤维产品的曲线。详细的计算参数的H-LRC代码的可用性进行Reed-Solomon和Hermitian类代码的家庭。最后，我们从Garcia-Stichtenoth塔的曲线构造了渐近好的H-LRC码族。
2019-04-02 cs.IT math.AG math.IT
Interactive Oracle Proofs of Proximity to Algebraic Geometry Codes
在这项工作中，我们开始研究邻近测试代数几何（AG）代码。代数曲线$\mathcal{X}$上的AG码$C = C(\mathcal{X}, \mathcal{P}, D)$是与Riemann-Roch空间$L_\mathcal{X}(D)$中的函数在$\mathcal{P}$上的求值相关联的向量空间。测试与纠错码$C$的接近度的问题在于区分以下两种情况：给定为oracle的输入字属于$C$的情况和它远离$C$的每个码字的情况。AG码是构造短证明系统的良好候选者，但是对于它们没有有效的邻近检验。我们的目标是填补这一空白。我们构造了一个交互式Oracle Proof of Proximity（IOPP）的一些家庭的AG码通过推广的IOPP Reed-Solomon码介绍本-萨森，Bentov，Horesh和Riabzev，被称为FRI协议。我们确定了为AG代码设计高效IOPP系统的合适要求。我们的方法依赖于一个整洁的分解的黎曼-罗克空间的任何不变的除数下的一组作用曲线上的商曲线成几个明确的黎曼-罗克空间。我们提供了足够的条件，允许减少一个接近测试问题$C$的成员资格问题，一个显着较小的代码$C'$的AG代码$C$。作为具体的例子，我们研究了Kummer曲线和Hermitian塔上的曲线上的AG码。后者可以在多字节大小的字母表上定义。我们专门的通用AG-IOPP建设，以达到线性证明运行时…
2022-10-25 cs.CC cs.CR cs.IT
Fast-SSC-Flip Decoding of Polar Codes
本文提出快速SSC-Flip译码算法，在保持与列表译码相当纠错性能的同时，将高速SC译码与SC-Flip思想结合，使译码速度比先前工作提升近一个数量级。
2018-05-09 cs.IT eess.SP math.IT
Syndrome decoding of Reed-Muller codes and tensor decomposition over finite fields
Reed-Muller码是一些最古老和最广泛研究的纠错码，它们的代数结构以及它们的许多算法特性都令人感兴趣。Saptharishi，Shpilka和Volk最近的一个漂亮的结果表明，对于长度为$n$和距离为$d = O(1)$的二进制Reed-Muller码，可以在$\operatorname{poly}(n)$时间内纠正$\operatorname{polylog}(n)$随机错误（这远远超过了$O(1)$的最坏情况错误容限）。本文考虑了随机错误中Reed-Muller码的“伴随式解码”问题。更具体地，给定在$\operatorname{polylog}(n)$随机坐标中损坏的码字的$\operatorname{polylog}(n)$位长的校正子向量，我们想要计算码字损坏的位置。这个问题等价于计算有限域上随机低秩张量的张量分解的一个基本问题。我们的主要结果是Reed-Muller码的伴随式解码（以及等价的张量分解问题）可以有效地解决，即，以$\operatorname{polylog}(n)$的时间。我们给出了两个算法：1。第一个算法是一个有限域的经典算法张量分解实数由于Jennrich的变种。这也为Saptharishi等人的主要结果提供了另一种证明。第二种算法是通过在次线性时间中实现Saptharishi等人的Berlekamp-Welch式解码算法的步骤来获得的。主要的新…
2017-12-17 cs.DS cs.IT math.IT
Explicit Factorization of $x^{p+1}-1$ over $\mathbb{Z}_{p^e}$: A Structural Approach via Dickson Polynomials
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Shanghai University（上海大学）
本文通过建立提升过程与辅助多项式 $V(x)$ 根之间的结构同构，揭示了与 Dickson 多项式的确定性联系，并开发了线性时间算法 Dickson-Engine，用于在整数剩余环上显式分解 $x^{p+1}-1$，从而构造近最优的 Hermitian 对称循环码。
2026-09-01 cs.IT math.IT
Information locality of a quantum locally recoverable code
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文针对量子稳定子码提出量子信息局部性概念及对应线性代数方法，证明现有量子局部性定义高估删除纠正所需符号数，还给出经典信息局部性的量子转换低估该数值的实例。
2026-08-06 cs.IT math.IT quant-ph
Continuous Optimization for Decoding Errors
本论文提出了基于受限证明系统和抽象正则性引理的列表解码框架，为Tanner codes、AEL和量子LDPC等码设计了多项式时间解码算法，并改进了超越Johnson界的列表大小与纠错半径。
2024-08-26 cs.DS cs.IT math.IT
