Some notes on continuity in convex optimization
Torbjørn Cunis
证明了在欧几里得空间中的凸参数化最优化问题的最优值函数本身是延拓实直线上的凸函数。
We provide proof that the optimal value function of a convex parametrized optimization problem in Euclidean spaces is itself a convex function onto the extended real line.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the local everywhere Hölder continuity for weak solutions of a class of not convex vectorial problems of the Calculus of Variations
本文研究了积分泛函局部极小的正则性：特别地，对密度不作凸性（拟凸性、多凸性或秩一凸性）假设，不作结构假设，不作径向或对角假设。
Not convex densities and everywhere Hölder continuity
本文研究了一类向量积分泛函极小值的处处Hölder连续性
"Relative-Continuity" for Non-Lipschitz Non-Smooth Convex Optimization using Stochastic (or Deterministic) Mirror Descent
开发和分析非光滑（随机或确定性）凸优化的一阶方法的常用方法假设目标函数是一致Lipschitz连续的参数$M_f$。然而，在许多设置中，不可微凸函数$f(\cdot)$不是一致Lipschitz连续的-例如（i）经典支持向量机（SVM）问题，（ii）最小化凸二次函数的最大值的问题，甚至（iii）具有$f(x) := \max\{0, x\} + x^2$的单变量设置。在这里，我们开发了一个概念“相对连续性”，这是相对于用户指定的“参考函数”$h(\cdot)$（这应该是计算上易于处理的算法），我们表明，许多不可微凸函数相对于一个相应的相当简单的参考函数$h(\cdot)$是相对连续的。我们也同样发展了一个“相对随机连续“的随机设置的概念。我们分析了两个标准的算法-（确定性）镜像下降算法和随机镜像下降算法-在这两个新的设置解决最优化问题，我们第一次开发的计算保证的情况下，目标函数是不一致的Lipschitz连续。本文是不可微凸优化的一个姊妹篇，是Lu、Freund和Nesterov最近的一篇论文的姊妹篇，他们对可微凸优化给出了类似的结果。
Online Optimization Problems with Functional Constraints under Relative Lipschitz Continuity and Relative Strong Convexity Conditions
最近，引入了相对光滑、相对连续和相对强凸优化问题的重要类别。这些概念显着扩大了一类问题，最佳复杂性估计的梯度型方法在高维空间发生。基于近年来对目标函数为相对Lipschitz连续和相对强凸的在线优化（遗憾极小化）问题的研究，本文提出了在线求解带不等式约束的强凸优化问题的算法.我们提出了一个计划与生产和非生产步骤之间的切换这类问题，并证明了其收敛速度的类相对Lipschitz和强凸极小化问题。我们还提供了一个实验比较所提出的方法和AdaMirr，最近提出的相对Lipschitz凸问题。
Lipschitz continuity of solution multifunctions of extended $\ell_1$ regularization problems
本文研究Lasso和基追踪中解多值映射对正则化参数、观测向量及数据矩阵扰动的Lipschitz连续性，给出完整刻画并证明Lipschitz连续性蕴含单值性。
Lipschitz Continuity of Convex Functions
给出了实巴拿赫空间上的真下连续凸函数局部或整体Lipschitz连续的充要条件.我们的准则依赖于存在一个有界选择的次微分映射和交叉的次微分映射和正常的锥运营商的区域的给定功能。此外，我们还指出，给定函数在开有界（不一定是凸的）集上的Lipschitz连续性可以通过给定集的边界上的次微分映射的有界选择的存在性来刻画，从而它等价于该集的边界上每一点的局部Lipschitz连续性.我们的结果被应用于将Lipschitz和凸函数推广到整个空间，并研究了它的Moreau包络函数的Lipschitz连续性。
Continuity of Convex Set-valued Maps and a Fundamental Duality Formula for Set-valued Optimization
在过去的几年里，一个集值函数的共轭对偶理论，映入到一个预序拓扑向量空间的上闭子集的集合被开发。在标量对偶理论中，凸函数的连续性起着重要的作用。对于集值映射，存在不同的连续性概念。我们将比较最流行的特殊情况下，图像空间是一个预序拓扑向量空间的上闭子集的集合，并分析哪些结果可以从扩展的实值情况下传达。此外，我们提出了一个基本的对偶公式的集值优化，使用最弱的连续性概念下考虑的正则性条件。
Lipschitz Modulus of Convex Functions via Function Values
本文仅利用函数值信息建立有限维全局凸函数在给定球上的Lipschitz连续性，并在存在时求出全局Lipschitz模，同时给出若干非范数类例子。
Stochastic Weakly Convex Optimization Beyond Lipschitz Continuity
本文提出自适应正则化策略，使随机弱凸优化算法在无Lipschitz连续性假设下仍保持O(1/√K)收敛率，并放宽了Lipschitz参数的约束条件。
A note on the continuity of free-boundaries in finite-horizon optimal stopping problems for one dimensional diffusions
我们提供了充分条件的自由边界的连续性，在一般类的有限时域最优停止问题，例如在金融和经济学。其基本过程是一维时齐随机微分方程的强解。证明依赖于分析和概率的参数，它是基于矛盾的计划启发的最大值原理在偏微分方程（PDE）理论。温和的，局部的正则性的系数的增益函数的平滑度在边界处的局部是必需的。
A note on quasi-convex functions
给出了$\mathbb{R}^{3}$正八分圆上的光滑拟凸函数的一个例子，这些光滑函数不能作为凸光滑函数在$\mathbb{R}$的单调光滑映射下的象得到.
A Note on Duality in Reverse Convex Optimization
本文探讨带反凸不等式约束的反凸优化对偶性，重点研究无额外拓扑或测度结构的任意无限指标集一般情形。
Hypodifferentials of nonsmooth convex functions and their applications to nonsmooth convex optimization
本文建立了Banach空间上非光滑凸函数亚微分的完整理论，包括刻画、微积分规则及Lipschitz性质，并应用于非光滑凸优化，提出了收敛速率为O(1/k^2)的加速亚微分下降方法。
Lecture Notes: Convex Optimization
介绍格拉茨工业大学2026年凸优化课程笔记，涵盖数学预备知识、多种优化方法及最优传输简介，为凸优化学习提供全面资料。
Lipschitz Continuity of the Value Function in Mixed-Integer Optimal Control Problems
本文研究了巴拿赫空间上控制问题的最优值函数，它涉及连续和离散控制决策。对于具有混合控制不等式约束的半线性动力学问题，在相当自然的假设下，可以证明最优值局部Lipschitz连续依赖于初始数据的扰动和成本。我们证明了一个类似的结果扰动的初始数据，约束和成本的问题，涉及线性动力学，凸成本和凸约束下斯莱特型约束规格。我们通过一个例子表明，这些结果在某种意义上是尖锐的。
Continuity and monotonicity of weighted perimeters of convex bodies
该研究针对$\boldsymbol{\text{R}}^n$中凸体的加权周长，证明其关于Hausdorff度量的连续性、特定径向权下包含关系的单调性，将结果用于证明形状优化问题极小元的存在性。
A note on the policy iteration algorithm for discounted Markov decision processes for a class of semicontinuous models
针对半连续折扣 MDP 中标准 PI 因可测性问题失效的情况，提出带平滑步骤的替代策略迭代算法，并证明其线性收敛及存在连续代价的最优改进策略。
Bregman Finito/MISO for nonconvex regularized finite sum minimization without Lipschitz gradient continuity
该研究提出两种基于相对光滑性的非凸正则化有限和最小化算法，以Bregman Moreau包络为Lyapunov函数简化分析，在不同采样和凸性条件下得到收敛结果。
Regret Bounds without Lipschitz Continuity: Online Learning with Relative-Lipschitz Losses
在线凸优化（OCO）中，通常假设函数的Lipschitz连续性以获得次线性遗憾。而且，当这些函数也是强凸函数时，许多算法只有对数遗憾。近年来，凸优化领域的研究者提出了“相对Lipschitz连续性”和“相对强凸性”的概念。这两个概念都是经典概念的推广。它已被证明，次梯度方法在相对设置具有类似于他们的性能在经典设置的性能。在这项工作中，我们考虑OCO相对Lipschitz和相对强凸函数。我们扩展了经典OCO算法的遗憾界的相对设置。具体来说，我们显示遗憾的界限遵循正规化的领导者算法和在线镜像下降的一个变体。由于这些方法的通用性，这些结果产生各种各样的OCO算法的遗憾界。此外，我们进一步扩展的结果与额外的正则化算法，如正则化双平均。
Hölder continuity for optimal multivalued mappings
Gangbo和McCann证明了当目标曲面是严格凸时，超曲面之间的最优迁移通常会导致多值最优映射--二值。在本文中，我们量化的Hölder连续性的二价映射优化平均距离平方之间的任意措施支持的欧几里德球。
Kinetic Langevin MCMC Sampling Without Gradient Lipschitz Continuity -- the Strongly Convex Case
在这篇文章中，我们考虑从Hamilton设置的对数凹分布采样，而不假设目标梯度是全局Lipschitz。我们提出了两个算法的基础上单调多边形（驯服）欧拉计划，从目标措施的样本，并提供非渐近2-Wasserstein距离界限之间的法律的过程中，每个算法和目标措施。最后，我们应用这些结果来限制相关的最优化问题的超额风险优化误差。
First Order Methods beyond Convexity and Lipschitz Gradient Continuity with Applications to Quadratic Inverse Problems
我们专注于非凸和非光滑最小化问题的复合目标，其中的可微部分的目标是从通常的和限制性的全局Lipschitz梯度连续性假设。这种长期存在的光滑性限制是普遍的一阶方法（FOM），最近规避凸复合优化的Bauschke，Bolte和Teboulle，通过一个简单而优雅的框架，捕捉，所有一次，几何的功能和可行集。在这项工作的基础上，我们解决真正的非凸问题。我们首先补充和扩展他们的方法，通过引入光滑适应函数的概念，得到一个完整的扩展下降引理。然后，我们考虑了一种基于Bregman的逼近梯度法，该方法适用于具有光滑适应函数的非凸复合模型，并证明了该方法在对问题数据的自然假设下全局收敛于一个临界点.为了说明我们的一般框架和结果的权力和潜力，我们考虑了广泛的一类二次反问题的稀疏性约束，出现在许多基本的应用，我们应用我们的方法来获得新的全局收敛计划，这一类。
Continuous Convexity Measures
本文通过引入Hausdorff连续性假设重新审视凸性度量公理，构造了一种连续凸性度量以解决现有方法忽略连续性的问题，并强调研究需限制在非点紧集上。
Adaptive proximal algorithms for convex optimization under local Lipschitz continuity of the gradient
提出自适应近端梯度法adaPG和自适应原始-对偶算法adaPD及其变体，利用局部光滑模量估计实现无回溯步长自适应，处理非光滑项，数值实验验证其优于现有方法。
Convex Increasing Functionals on $C_b(X)$ Spaces
证明了满足弱连续条件的$C_b(X)$空间上的凸函数可以用σ可加测度表示。这推广了Cheridito，Kupper和Tangpi的一个结果，
Unified Acceleration of High-Order Algorithms under Hölder Continuity and Uniform Convexity
在本文中，通过一个非常直观的香草近似方法的角度来看，我们得到了加速高阶优化算法最小化的凸函数，具有Hölder连续导数。在这个一般的凸设置中，我们提出了一个简洁的统一加速框架（UAF），它调和了两种不同的高阶加速方法，一种是Nesterov和Baes [29，3，33]，另一种是Monteiro和Svaiter [25]。因此，UAF仅通过两个问题相关参数和两个用于框架设计的附加参数来统一两种方法的高阶加速实例[29，3，33，15，16，25，19，6，14]。此外，UAF（及其分析）是第一种使高阶方法适用于非欧几里德范数的高阶光滑条件的方法。如果函数进一步一致凸，我们提出了一个一般的重新启动计划的UAF。在大多数重要情况下，UAF和重新启动的UAF的实例的迭代复杂度与现有的下界匹配[2，16]。对于实际的实施，我们引入了一个新的和有效的启发式，显着简化了框架所需的二叉搜索过程。我们使用实验来验证的启发式的有效性，并证明了明确的和一致的优势，高阶加速方法超过一阶的，在运行时的复杂性。最后，在一般的复合凸集上直接提出了UAF算法，从而证明了已有的高阶算法[29，3，33，16，6，14]可以自然地推广到一般的复合凸集上。
Note on Steepest Descent Algorithm for Quasi L$^{\natural}$-convex Function Minimization
该研究定义了半严格拟L$^{\ atural}$-凸函数这类离散拟凸函数，证明L$^{\ atural}$-凸函数最小化的最速下降算法对其适用，并拓展迭代次数分析，揭示该算法的测地性质。
Convergence Rates for Deterministic and Stochastic Subgradient Methods Without Lipschitz Continuity
我们将经典的次梯度法的收敛速度理论推广到非Lipschitz函数。对于确定性投影次梯度法，我们对任何局部Lipschitz的凸函数给出了全局$O(1/\sqrt{T})$收敛速度.这种方法是基于Shor的经典次梯度分析，并意味着推广的标准收敛速度的梯度下降函数与Lipschitz或Hölder连续梯度。进一步证明了随机投影次梯度法在至多二次增长的凸函数上的$O(1/\sqrt{T})$收敛速度，在强凸性或弱二次下界条件下，该收敛速度提高到$O(1/T)$.
Notes on the primal-dual algorithm for convex optimization applied to X-ray tomographic image reconstruction
本文探讨了Chambolle和Pock的对偶算法在图像重建中的应用，提供算法直觉和可预处理的系统，涵盖非光滑凸分析的基础知识。
Proximal mappings and Moreau envelopes of single-variable convex piecewise cubic functions and multivariable gauge functions
本文给出了有限维、适当的、下连续的、凸函数的Moreau包络的一系列有用的性质。特别是，研究了度规函数和分段三次函数，并对它们的莫罗包络进行了分类。建立了凸Moreau包络的刻画，包括严格凸性、强凸性和Lipschitz连续性。
A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra
分面体是由线性矩阵不等式定义的集合。一个谱面体的投影通常被称为半定可表示集。我们表明，凸包的有限联盟这样的投影再次是一个投影的光谱面体。这改进了Helton和Nie的结果，他们在有界集的情况下证明了相同的结果。
A note on the diameter of convex polytope
这个简短的说明将由整数矩阵定义的凸多胞体的直径的上界的最近结果（Bonifas等人，On sub-determinants and the diameter of polyhedra，Discrete Computational Geometry，52，2014）扩展到由实矩阵定义的凸多胞体的直径的类似上界。并通过一个例子说明了新的界可能比Bonifas等人的界更好。
Two Generalized Derivative-free Methods to Solve Large Scale Nonlinear Equations with Convex Constraints
针对带凸约束的大规模非线性方程组问题，提出两种满足充分下降条件的广义无导数方法，分析了其收敛性依赖差异，数值结果验证了算法有效性。
Lecture notes on non-convex algorithms for low-rank matrix recovery
低秩矩阵恢复问题是在信号处理、成像和机器学习等各个领域中自然出现的逆问题。它们是非凸的，是NP-困难的。因此，这是一个微妙的问题，设计有效的恢复算法，并提供严格的理论见解，这些算法的行为。这些笔记的目的是回顾最近的进展，在这个方向上的类所谓的“非凸算法”，特别关注的证明技术。虽然他们的目的是介绍最近的研究工作，这些笔记已经写的意图，尽可能多地，非专业人士访问。
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