A Survey of the Hadamard Maximal Determinant Problem

单位根上矩阵的极大行列式

Maximal determinants of matrices over the roots of unity

本文研究元素为ℓ次单位根的矩阵极大行列式，推广Hadamard问题，给出一般上界与构造，并重点解决ℓ=3、4情形。

Cauchy矩阵的任意Hadamard度的行列式和积和式及R.F.Scott（1881）猜想的推广

Determinants and permanents of an arbitrary Hadamard degree of a Cauchy matrix and a proof of a generalization of a conjecture of R.F.Scott (1881)

本文给出了R.F.Scott（1881）关于柯西矩阵$\ls \frac{1}{x_i-y_j} \rs_{1 \leqslant i,j \leqslant n},$的积和式的一个猜想的全新证明，其中$x_1, ..., x_n$和$y_1, ..., y_n$分别是多项式$x^n-1$和$y^n +1,$的不同根.给出了柯西矩阵$A= \ls \frac{1}{x_i-y_j} \rs_{1 \leqslant i,j \leqslant n},$的积和式的简单公式，其中$x_1, ..., x_n$和$y_1, ..., y_n$分别是多项式$x^n+a$和$y^n +b$的不同根：\begin{gather*} \per (A) =\frac{n}{(b-a)^n} \prod_{k=1}^{n-1}[nb-k(b-a)] = =\begin{cases} %\begin{eqnarray} (-1)^{\frac{n-1}{2}} \cfrac{n}{(b-a)^n} \prod\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}[-na-k(b-a)][nb-k(b-a)], \mbox{if $n \equiv 1 (\mod 2)$,} \cfrac{n}{2} \cdot \cfrac{n(a+b)}{(b-a)^n} \prod\limits_{k=1}^…

用概率方法求+-1矩阵最大行列式的下界

Lower bounds on maximal determinants of +-1 matrices via the probabilistic method

本文证明了$n \times n$ ${\pm 1}$ -矩阵的最大行列式D（n）满足$R(n) := D(n)/n^{n/2} \ge κ_d > 0$ .这里$n^{n/2}$是Hadamard上界，$κ_d$仅取决于$d := n-h$，其中$h$是具有$h \le n$的Hadamard矩阵的最大阶。R（n）的先前下界取决于$d$和$n$。我们的界限是改进，对于所有足够大的$n$，如果$d > 1$。我们给出了R（n）上仅依赖于$d$的各种下界.例如，$R(n) \ge 0.07 (0.352)^d > 3^{-(d+3)}$。对于任何固定的$d \ge 0$，我们有$R(n) \ge (2/(πe))^{d/2}$用于所有足够大的$n$（并且确切地用于所有正的$n$）。如果Hadamard猜想成立，则有$d \le 3$和$κ_d \ge (2/(πe))^{d/2} > 1/9$ .

二元矩阵极大行列式的一般下界

General lower bounds on maximal determinants of binary matrices

本文给出了n乘n {+1，-1}-矩阵的极大行列式的一般下界，包括Hadamard猜想的假设和不假设.我们的界改进了de Launey和Levin（2010）的早期结果，对于n mod 4的某些同余类，改进了Koukouvinos，Mitrouli和Seberry（2000）的结果。在附录中，我们使用Jacobi行列式恒等式给出了Szölllossi（2010）关于Hadamard矩阵的子式的一个结果的新证明。

一类斜正则四元Hadamard矩阵

A class of skew-regular quaternary Hadamard matrices

本文研究了一类新的斜正则四元Hadamard矩阵，针对每个奇素数幂p，证明了阶为1+p²的矩阵存在性，其行和恒为1-pi，为生成具有极大超额的Hadamard矩阵提供了稳健框架。

平衡可分Hadamard矩阵

Balancedly splittable Hadamard matrices

引入并研究了可平衡分裂的Hadamard矩阵。一个连接Hadamard可对角化强正则图，极大等角线集，和无偏Hadamard矩阵。介绍了几种施工方法。作为应用，构造了4类、5类和6类的交换结合方案。

6 × 6矩阵的正交极大Abel *-子代数

Orthogonal maximal abelian *-subalgebras of the 6x6 matrices

通过对所有6阶自伴复Hadamard矩阵进行分类，构造了$M_6(\mathbb C)$的新的正交极大交换$*$ -子代数对.特别是，我们展示了一个非仿射单参数家庭的非等价的阿达玛矩阵的顺序6。在本文的最后一部分，我们提出了其他以前未知的例子复杂的阿达玛矩阵的高阶。

稀疏01矩阵的极大行列式

Maximal determinants of sparse zero-one matrices

对于整数$k$，给出了含$kn$ 1的$n\times n$ 0 - 1矩阵的行列式的上界.我们的结果改进了Ryser对$k=o(n^{1/3})$的结果。对于固定的$k\ge 3$，Hadamard不等式是否可以指数改进是一个悬而未决的问题。我们的回答是肯定的。我们的结果源于研究行和为$k$的矩阵及其格拉姆行列式的界。我们的技术允许我们给这些矩阵扰动时的上界。

用概率方法求二元矩阵的极大行列式的下界

Lower bounds on maximal determinants of binary matrices via the probabilistic method

设$D(n)$是$n \times n$ $\{\pm 1\}$ -矩阵的最大行列式，${\mathcal R}(n) = D(n)/n^{n/2}$是$D(n)$与Hadamard上界之比.给出了${\mathcal R}(n)$在$d$意义下的几个新的下界，其中$n = h+d$，$h$是Hadamard矩阵的阶，$h$是$h \le n$的极大值.一个相对简单的界限是\[{\mathcal R}(n) \ge \left(\frac{2}{πe}\right)^{d/2} \left(1 - d^2\left(\fracπ{2h}\right)^{1/2}\right) \;\text{ for all }\; n \ge 1.\]一个渐近尖锐的界限是\[{\mathcal R}(n) \ge \left(\frac{2}{πe}\right)^{d/2} \exp\left(d\left(\fracπ{2h}\right)^{1/2} + \; O\left(\frac{d^{5/3}}{h^{2/3}}\right)\right).\]我们还表明，\[{\mathcal R}(n) \ge \left(\frac{2}{πe}\right)^{d/2}\]，如果$n \ge n_0$和$n_0$是足够大的，阈值$n_0$是独立的$d$，或所有$n\ge 1$，如果$0 \…

二元矩阵极大行列式的概率下界

Probabilistic lower bounds on maximal determinants of binary matrices

设${\mathcal D}(n)$是$n \times n$ $\{\pm 1\}$ -矩阵的最大行列式，$\mathcal R(n) = {\mathcal D}(n)/n^{n/2}$是${\mathcal D}(n)$与Hadamard上界之比.利用概率论方法，证明了关于${\mathcal D}(n)$和$\mathcal R(n)$的$d = n-h$的新的下界，其中$h$是Hadamard矩阵的阶，$h$是$h \le n$的极大值.例如，如果是$1 \le d \le 3$，则为$\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}$，如果是$d > 3$，则为$\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}(1 - d^2(π/(2h))^{1/2})$。由Livinskyi最近的结果，$d^2/h^{1/2} \to 0$作为$n \to \infty$，所以第二个界限是接近$(πe/2)^{-d/2}$大$n$。当$d$固定时，$n \to \infty$之前的下界趋于零，$d \in \{0,1\}$情况除外。对于$d \ge 2$，我们的边界对于所有足够大的$n$都更好。如果Hadamard猜想成立，那么$d \le 3$，所以上面的第一个界限表明$\mathcal R(n)$被一个正的常数$(πe/2)^{-3/2} > 0.1133$…

15阶极大{-1，1}-行列式

The maximal {-1,1}-determinant of order 15

本文研究了元素为{-1，1}的奇阶矩阵的极大行列式的求法。最一般的最大行列式的上界，由于巴尔巴，只能达到时，秩序是两个连续的平方和。它是明确的，在这种情况下，总是达到的界限。除此之外，仅在第3、7、9、11、17和21阶中确立了最大值。在本文中，我们确认了这些订单的结果，并添加到列表中的第15个订单。我们遵循以前的作者在穷举搜索候选革兰氏矩阵的行列式大于或等于平方的一个已知的最大下界。然后，我们尝试将每个候选分解为{-1，1}-矩阵及其转置的乘积。对于15阶，我们找到了四个候选者，都是埃里希块形式，其中两个具有行列式（105*3^5*2^14）^2，另一个具有行列式（108*3^5*2^14）^2。前者之一分解（以一种基本上独特的方式），而其余三个不分解。这个结果证明了W. D. Smith和J. H. E.科恩我们还利用我们的方法计算了29阶、33阶和37阶极大行列式的改进的上界，并建立了9阶和1,1阶{-1，1}-矩阵的行列式函数的值域.

组合矩阵的极大行列式

Maximal determinants of combinatorial matrices

我们证明了当$A\in\{0,1\}^{n\times n}$至多包含$2n$时，$\det A\leq 6^\frac{n}{6}$.我们还证明了一个上界的矩阵的行列式矩阵的$k$ -连续的属性，一个推广的连续的属性，其中每行被允许有多达$k$块的一。最后，我们证明了树中路边关联矩阵的行列式的一个上界，并利用它来限制图的叶秩。

复杂数最大行列式矩阵的组合学

Combinatorics of Complex Maximal Determinant Matrices

本论文研究复杂数最大行列式矩阵的构造与性质，探讨了数论工具、Butson型Hadamard矩阵、关联方案及设计理论在隐私保护中的应用。

极大行列式问题的新下界

New lower bounds for the maximal determinant problem

我们报告了一个n乘n矩阵的最大行列式的新世界纪录，其元素为+/-1。使用各种技术，我们打破了n=22，23，27，29，31，33，34，35，39，45，47，53，63，69，73，77，79，93和95的现有记录，我们在这里给出了破纪录的矩阵。我们推测，我们的n=22的值达到全球最大化的行列式在其维度。我们还列出了n=67，75，83，87，91和99的新记录，这些尺寸以前没有提出过要求。所有这些方面的相关矩阵以及其他相关信息都公布在http://www.indiana.edu/~maxdet上。

Computation of Maximal Determinants of Binary Circulant Matrices

We describe algorithms for computing maximal determinants of binary circulant matrices of small orders. Here "binary matrix" means a matrix whose elements are drawn from $\{0,1\}$ or $\{-1,1\}$. We describe efficient parallel algorithms for the search, using Duval's algorithm for generation of necklaces and the well-known representation of the determinant of a circulant in terms of roots of unity. Tables of maximal determinants are given for orders $\le 53$. Our computations extend earlier results and disprove two plausible conjectures.

The Determinant of $\{\pm 1\}$-Matrices and Oriented Hypergraphs

The determinants of $\{\pm 1\}$-matrices are calculated by via the oriented hypergraphic Laplacian and summing over an incidence generalization of vertex cycle-covers. These cycle-covers are signed and partitioned into families based on their hyperedge containment. Every non-edge-monic family is shown to contribute a net value of $0$ to the Laplacian, while each edge-monic family is shown to sum to the absolute value of the determinant of the original incidence matrix. Simple symmetries are identified as well as their relationship to Hadamard's maximum determinant problem. Finally, the entries…

通过随机分解和切换寻找D最优设计

Finding D-optimal designs by randomised decomposition and switching

Hadamard极大行列式（maxdet）问题是求给定阶n的{+1，-1}方阵的最大行列式D（n）。这种具有最大行列式的矩阵称为饱和D最优设计。我们考虑一些情况，其中n > 2不能被4整除，所以阿达玛界限是不可达到的，但由于巴尔巴或埃利希和沃伊塔斯的界限可能是可达到的。若R是一个具有极大（或限制极大）行列式的矩阵，则G = RR^T是相应的格拉姆矩阵。对于我们所考虑的情况，极大或广义极大格拉姆矩阵是已知的。我们将展示如何生成许多Hadamard等价类的解决方案，从一个给定的革兰氏矩阵G，使用随机分解算法和行/列切换。特别地，我们考虑了阶数为26、27和33的情形，得到了新的饱和D最优设计（阶数为26）和新的约束饱和D最优设计（阶数为27和33）.

极大行列式与19阶和37阶饱和D最优设计

Maximal determinants and saturated D-optimal designs of orders 19 and 37

饱和D最优设计是具有最大行列式的给定阶{+1，-1}方阵。我们搜索了19阶和37阶的饱和D最优设计，发现Smith，Cohn，Orrick和Solomon的已知矩阵是最优的.对于19阶，我们找到了所有具有最大行列式2^30 x 7^2 x 17的不等价饱和D最优设计，并确认这三个已知设计组成了一个完整的集合。对于37阶，我们证明了最大行列式是2^39 x 3^36，并找到了一个不等价的饱和D最优设计的样本。我们的方法是一个扩展的奥里克用来解决以前最小的未知顺序15;和Chadjipantelis，Kounias和Moyssiadis解决订单17和21。该方法是一个两步的计算，首先搜索候选的革兰氏矩阵，然后试图分解它们。使用类似的方法，我们也找到了13阶{+1，-1}矩阵行列式值的完整谱。

二元矩阵子式的界

Bounds on minors of binary matrices

证明了{+1，-1}矩阵的子式平方和的一个上界。阿达玛矩阵的界是尖锐的，这是de Launey和Levin（2009）的结果，但我们的证明更简单。给出了与Hadamard矩阵的子式有关的几个推论，推广了Turan关于随机{+1，-1}矩阵行列式的一个结果.

反对称型$(-1,1)$ -矩阵的行列式：上循环方法

Determinants of $(-1,1)$-matrices of the skew-symmetric type: a cocyclic approach

$n$ × $n$斜对称型$(-1,1)$ -矩阵$K=[k_{i,j}]$在主对角线上具有$1$，而在其它地方具有$\pm 1$和$k_{i,j}=-k_{j,i}$ .这种矩阵$K$的最大可能行列式是一个有趣的问题。有关$n\equiv 0 \mod 4$（斜阿达玛矩阵）的文献很多，但对于$n\equiv 2\mod 4$，这个问题的已知结果很少。在本文中，我们探讨这个问题，构造上的二面体群的$2t$元素的上循环矩阵，$t$奇，这是等价于$(-1,1)$ -矩阵的斜型。一些显式计算已经完成了$t=11$。据我们所知，18阶和22阶极大行列式的上界已得到改进。

量化与Hadamard变换的误差分析

Error analysis of quantization combined with Hadamard transforms

本文研究了图像编码过程中的误差界及最大绝对值界限，通过线性代数和Hadamard矩阵性质，分析了量化与反量化步骤中的误差控制及压缩效率与输出质量的平衡。

鲁棒的Hadamard矩阵、Birkhoff多面体中的unistochastic射线以及复合空间中的等纠缠基底

Robust Hadamard matrices, unistochastic rays in Birkhoff polytope and equi-entangled bases in composite spaces

本文研究了一类特殊的鲁棒Hadamard矩阵，其投影到二维子空间形成Hadamard矩阵。证明了当存在skew Hadamard矩阵时，此类矩阵存在。对于偶数维度n≤20，展示了Birkhoff多面体中任意射线上的双随机矩阵都是unistochastic的，并通过鲁棒Hadamard矩阵构造了具有相同纠缠度的正交基，从而在产品基和最大纠缠基之间进行插值。

矩阵、字符和下降

Matrices, Characters and Descents

引入一类新的Walsh-Hadamard型非对称矩阵。我们研究它们的性质，特别是计算它们的行列式，并讨论它们的特征值。这些矩阵的可逆性意味着某些特征公式是可逆的，产生具有规定下降集的组合对象的集合的基数的表达式，这些基数是根据对称群的特征值。

对扰动对角矩阵行列式的界

Bounds on determinants of perturbed diagonal matrices

本文研究了扰动对角矩阵行列式的上下界，提出了一种在特定条件下更优的下界，并给出了比Ostrowski等人的结果更强大的上界，同时探讨了这些界的最佳可能性条件。

关于线性3-树中最大电阻距离增长的猜想证明

Proof of a Conjecture on the Growth of the Maximal Resistance Distance in a Linear 3--Tree

本文证明了Barret等人关于线性3-树最大电阻距离增长极限为1/14的猜想，通过删除拉普拉斯矩阵行列式及拉普拉斯展开得到递推和Binet公式。

具有最大行列式的n阶0/1-矩阵的性质

Properties of 0/1-Matrices of Order n Having Maximum Determinant

给出了$0/1$ -行列式极大的必要条件。设${\bf M}$是阶为$n$的非退化$0/1$ -矩阵.用$\bf A$表示$n+1$阶矩阵，该矩阵在将由$1$组成的$(n+1)$第$(0,0,\ldots,0,1)$行和第$(n+1)$列相加后从${\bf M}$出现。假设${\bf A}^{-1}=(l_{ij}),$然后对于所有$i=1,\ldots,n$，我们有$\sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|\geq 2.$此外，如果$|\det({\bf M})|$等于$0/1$的最大值-阶$n$的行列式，则对于所有$i=1,\ldots,n$，有$\sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|= 2$。关键词：最大0/1-决定性，单纯形，立方体，轴径

以完全不连通图作为星补的极大符号二部图

Maximal signed bipartite graphs with totally disconnected graphs as star complements

本文研究以完全不连通图为星补的符号二部图的极大阶，利用Hadamard和Conference矩阵给出存在条件与极大阶公式，并刻画极图。