Heat Equation With a Geometric Rough Path Potential in One Space Dimension: Existence and Regularity of Solution
利用正则化方法构造了具有分布值位势的热方程的一个解。当势函数为Hölder连续函数的广义导数时，所得解的正则性符合标准抛物理论.
2017-12-21 math.AP math.PR
Random data wave equations
现在我们有很多方法可以利用非线性色散方程（如KdV方程、非线性波动方程或非线性Schroedinger方程）的线性部分的正则化性质来证明低正则性索伯列夫空间中的适定性。低正则性索伯列夫空间中的适定性意味着需要比能量方法施加的正则性更少的正则性（能量方法不利用方程线性部分的色散性质）。在许多情况下，这些方法来证明低正则性索伯列夫空间中的适定性导致最佳的结果，在规则的初始数据。通过最优，我们的意思是，如果一个人需要稍微少的正则性，那么相应的柯西问题在阿达玛意义上变得不适定。我们称之为索伯列夫空间，其中这些不适定性结果保持超临界正则空间。最近，证明超临界正则性的索伯列夫空间中的概率适定性的方法得到了发展。更准确地说，概率适定性是指，我们赋予相应的超临界正则性的索伯列夫空间一个非退化的概率测度，然后我们表明，几乎肯定关于这个测度，我们可以定义一个（唯一的）全局流。然而，在大多数情况下，当证明概率适定性的方法适用时，没有关于流传输的度量的信息。最近，一种方法来证明运输措施是绝对连续的关于初始措施的发展。在这种情况下，我们有一个措施，这是准不变下相应的流量。这些讲座的目的是在非线性波动方程的背景下提出所有上述的发展。
2018-12-13 math.AP math.PR
Spatial Sobolev regularity for stochastic Burgers equations with additive trace class noise
本文研究了带加性迹族噪声的随机Burgers方程温和解的空间Sobolev正则性。我们的研究结果是基于适当的引导型参数和方程中的非线性的详细分析相结合。
2019-08-16 math.FA math.PR
Sobolev regularity of occupation measures and paths, variability and compositions
证明了低分数Sobolev正则性路与有界变差函数的复合的分数Sobolev正则性。结果依赖于我们在前一篇文章中提出的可变性概念[43，arXiv：2003.11698]。在这里，我们在宽松的假设下工作，根据索伯列夫规范制定，我们可以允许不连续的路径，这是新的。结果适用于某些高斯或Lévy过程的典型实现，我们用它来证明存在的Stieltjes型积分涉及的组合。
2021-12-29 math.FA math.PR
Well-posedness and regularity for the Fractional Rough Burgers equation in Sobolev spaces with an application
School of Science, Sun Yat-sen University（中山大学科学学院）
本文研究了在 $H^s(\mathbb T)$ 空间中由时空噪声驱动的分数粗糙 Burgers 方程的适定性。对于高耗散情况，建立了局部适定性；当耗散系数限制在特定区间时，进一步获得了全局适定性。对于低耗散情况，通过正则性分析推导了 para 控制解。
2026-09-15 math.AP math.PR
Optimal regularity for the porous medium equation
基于速度平均技术，我们证明了索伯列夫空间中多孔介质方程解的最优正则性。特别地，所得到的正则性与线性极限下的最优正则性是一致的。
2019-06-16 math.AP math.PR
Sobolev regularity of Gaussian random fields
本文充分刻画了样本路径位于整数阶索伯列夫空间$W^{m,p}(\mathcal{D}),\ m\in\mathbb{N}_0,\ 1 <p<+\infty$中的可测高斯过程$(U(x))_{x\in\mathcal{D}}$，其中$\mathcal{D}$是任意开集.其结果是用对角线上的协方差函数的Sobolev正则性形式来表述的。然后，这与存在合适的Mercer或与协方差函数及其交叉导数相关联的积分算子的核分解相关联。在希尔伯特情况下，$p=2$，附加的链接是关于。所述积分算子的Mercer分解及其迹和RKHS在$W^{m,2}(\mathcal{D})$中的嵌入。我们提供了简单的例子和部分恢复最近的结果有关的Sobolev正则性的高斯过程。
2022-09-06 math.FA math.PR
Optimal extension to Sobolev rough paths
该研究证明满足α>1/p>0的Sobolev路径可提升为Lyons意义下的Sobolev粗糙路径，且存在关于严格凸泛函的唯一最优提升，给出了最小范数提升与布朗运动Stratonovich提升的实例，并提及Besov空间推广。
2022-04-28 math.CA math.FA math.PR
Existence and regularity of random attractors for stochastic evolution equations driven by rough noise
本文结合粗糙路径理论与随机动力系统，证明了自然系数假设下含粗糙非线性乘性噪声的抛物型偏微分方程存在正则的随机拉回吸引子，并应用于无法使用流变换的粗糙边界噪声情形。
2024-01-25 math.AP math.DS math.PR
On Sobolev regularity of mass transport and transportation inequalities
研究了概率测度$μ=e^{-V} \ dx$和$\R^d$上的$ν=e^{-W} \ dx$之间的最优运输$T = \nabla Φ$的Sobolev先验估计.假设均匀凸的潜在$W$，我们表明，$\int \| D^2 Φ\|^2_{HS} \ dμ$，其中$\|\cdot\|_{HS}$是希尔伯特-施密特范数，是由Fisher信息的$μ$。此外，我们证明了$\|D^2 Φ\|$的$L^p(μ)$ -模的类似估计，并得到了著名的Caffarelli压缩定理的一些$L^p$ -推广.我们建立了一个连接，我们的结果与Talagrand运输不等式。我们还证明了一个相应的无量纲版本的相对Fisher信息相对于高斯测度。
2011-03-08 math.PR
Solving rough differential equations with the theory of regularity structures
本文的目的是利用正则结构理论求解粗糙微分方程。这些新的工具，最近开发的Martin Hairer为解决半线性偏微分随机方程的启发，粗糙路径理论。我们采取教学方法，以促进对这一新理论的理解。我们恢复粗糙路径理论的结果与规则性结构的框架。因此，我们展示了如何制定一个不动点问题的抽象空间中的建模分布来解决粗糙的微分方程。利用正则结构理论证明了粗糙路径提升的存在性。
2019-10-14 math.PR
Hlder-Sobolev regularity of the solution to the stochastic wave equation in dimension 3
研究了空间维随机波动方程解的样本路径正则性$d=3$。驱动噪声在时间上是白色的，并且具有空间上均匀的协方差，该协方差被定义为里斯核和光滑函数的乘积。我们证明，在任何固定的时间，空间变量中的采样路径属于某些分数索伯列夫空间。此外，对于任何固定的$x\in\IR^3$，时间上的样本路径是Hölder连续函数。因此，我们得到了时间和空间变量的联合Hölder连续性。我们的结果依赖于对随机积分的性质的详细分析，该随机积分用于由Dalang和Mueller（2003）引入的spde的严格公式。广义里斯位势的一维和二维空间和时间增量的精确结果是分析这一问题的重要组成部分。对于由里斯核给出的空间协方差，我们证明了我们得到的Hölder指数是最优的。
2005-12-23 math.PR
Two quadrature rules for stochastic Itô-integrals with fractional Sobolev regularity
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文研究了具有分数Sobolev正则性的随机积分的数值正交问题，提出两种正交规则，分别适用于σ∈(0,1)和σ∈(1,2)的情况，并在L^p范数下具有σ阶收敛性。
2018-12-12 cs.NA math.NA math.PR
Existence, uniqueness and regularity for a class of semilinear stochastic Volterra equations with multiplicative noise
考虑一类由乘性高斯噪声驱动的半线性Volterra型随机发展方程.记忆核，不一定是解析的，使得确定性线性方程呈现抛物线特征。在适当的Lipschitz型和线性增长的非线性项的假设下，我们证明了唯一的温和的解决方案是平均- $p$ Hölder连续的值在一个适当的索伯列夫空间取决于内核和数据。特别是，我们获得了路径的时空（Sobolev-Hölder）的正则性的解决方案，以及空间Sobolev范数的最大类型界。作为主要的技术工具之一，我们建立了确定性发展算子族导数的光滑性质。
2014-05-14 math.PR
On the regularity of stochastic currents, fractional Brownian motion and applications to a turbulence model
本文研究了映射$$ ϕ\mapsto I(ϕ) = \int_0^T < ϕ(X_t), dX_t>$$的路径正则性，其中$ϕ$是$\R^d$上属于某个Banach空间$V$的向量函数，$X$是一个随机过程，积分是通过正则化定义的随机积分的某种形式.一个\emph{stochastic current}是这个映射的一个连续版本，可以看作是$V$的拓扑对偶的一个随机元素。我们给充分条件的电流生活在一些Sobolev空间的分布，我们提供的元素猜想，这些也是必要的。其次，我们证明了过程$X$是$d$维分数布朗运动（fBm）的充分条件，并利用Hurst指数$H \in (1/4,1)$证明了fBm在Sobolev空间中的正则性.其次，我们给出了布朗流的一般Sobolev正则性的一些结果。最后，我们讨论了应用程序的湍流流体中的随机涡丝模型。
2007-03-04 math.PR
Intrinsic regularity in the discrete log-Sobolev inequality
本文研究了离散对数Sobolev不等式中极值子的正则性，证明其对数Lipschitz常数受$\log d$的通用倍数限制，并推导出有限状态空间上可逆Markov链的对数Sobolev常数下界，确立了稀疏参数$\log d$作为从Markov扩散转移到离散链的通用代价。
2025-03-04 math.FA math.PR
A regularity structure for rough volatility
最近在金融建模中出现了一种新的范式：粗糙（随机）波动率，Gatheral等人首先在高频数据中观察到，随后在市场微观结构模型中推导出，结果也发现它可以捕获整个隐含波动率表面的简约关键程式化事实，包括被认为超出随机波动率范围的极端偏斜。在数学方面，马尔可夫性和部分半鞅性都丢失了。在本文中，我们表明，Hairer的正则性结构，粗糙路径理论的一个主要的扩展，这引起了随机偏微分方程领域的革命，也提供了一个新的和强大的工具来分析粗糙波动率模型。
2017-10-20 math.PR q-fin.PR
Poincaré and logarithmic Sobolev constants for metastable Markov chains via capacitary inequalities
研究了可逆马尔可夫链在可能可数无限状态空间上的亚稳态行为。基于亚稳马尔可夫过程的一个新定义，精确计算了亚稳集之间的平均转移时间。在亚稳集的额外大小和正则性的情况下，我们建立了庞加莱常数和对数索博列夫常数的渐近精确估计。在证明的主要成分是一个电容不等式沿着线V. Maz'ya的关系规律性的调和函数和能力。在随机场Curie-Weiss模型的背景下，亚稳性和额外的规律性假设是可验证的，我们证明了这个新定义的有用性。
2019-05-11 math-ph math.MP math.PR
