Kaplansky-Hilbert 模上酉群表示的分解定理与 Furstenberg-Zimmer 结构定理
A Decomposition Theorem for Unitary Group Representations on Kaplansky-Hilbert Modules and the Furstenberg-Zimmer Structure Theorem
AI总结：
本文建立了 Stone 代数上 Kaplansky-Hilbert 模的酉群表示分解定理，并基于算子理论将其应用于推广著名的 Furstenberg-Zimmer 结构定理至任意群在任意概率空间上的保测作用情形。
摘要：
本文建立了 Stone 代数上 Kaplansky-Hilbert 模的（协变）酉群表示分解定理，推广了著名的 Hilbert 空间情形（此时与 Jacobs、de Leeuw 和 Glicksberg 的分解一致）。证明严重依赖 Kaplansky-Hilbert 模上的算子理论，特别是此类模上 Hilbert-Schmidt 同态的谱定理。作为应用，将著名的 Furstenberg-Zimmer 结构定理推广到任意群在任意概率空间上的保测作用情形。
英文摘要：
In this paper, a decomposition theorem for (covariant) unitary group representations on Kaplansky-Hilbert modules over Stone algebras is established, which generalizes the well-known Hilbert space case (where it coincides with the decomposition of Jacobs, de Leeuw and Glicksberg). The proof rests heavily on the operator theory on Kaplansky-Hilbert modules, in particular the spectral theorem for Hilbert-Schmidt homomorphisms on such modules. As an application, a generalization of the celebrated Furstenberg-Zimmer structure theorem to the case of measure-preserving actions of arbitrary groups on arbitrary probability spaces is established.
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