Two Optimization Problems for Unit Disks
我们提出了一个最近的算法来计算最短路径树在单位磁盘图在$O(n\log n)$最坏情况下的时间，其中$n$是磁盘的数量。在最小分离问题中，我们给定$n$单位圆盘和两个不包含在任何圆盘中的点$s$和$t$，我们想计算需要保留的最小圆盘数，以便连接$s$和$t$的任何曲线与某些保留的圆盘相交。我们提出了一种新的算法解决这个问题在$O(n^2\log^3 n)$最坏情况下的时间和实现。
2017-02-10 cs.CG
Covering the Boundary of a Simple Polygon with Geodesic Unit Disks
本文考虑了n个顶点上的简单多边形用最少测地单位圆盘数覆盖边界的问题。我们提出了一个O（n \log^2 n+k）时间2-近似算法来寻找圆盘的中心，其中k表示算法找到的中心个数.
2015-03-01 cs.CG
On embeddability of unit disk graphs onto straight lines
单位圆盘图是欧氏平面上单位半径圆盘的交图。判定给定的单位圆盘图是否存在嵌入，即单位圆盘图识别，是一个重要的几何问题，有着广泛的应用领域。一般来说，这个问题是$\exists\mathbb{R}$完全的。在某些应用中，对应于单位圆盘的物体具有预定义的（几何）结构，因此，许多研究人员通过限制圆盘中心的域来解决这个问题。这样的应用的一个示例是无线传感器网络，其中每个盘对应于无线传感器节点，并且一对相交的盘对应于能够彼此通信的一对传感器。无线传感器网络通常假设节点具有相同的感知范围，因此采用单位圆盘图模型对无线传感器网络问题建模。我们考虑在有限域上的单位圆盘图实现问题，假设无线传感器节点部署在建筑物的走廊上。基于这种情况下，我们施加一个几何约束，使单位磁盘必须集中到给定的直线。在本文中，我们首先描述了一个多项式时间约简，它表明，决定是否可以实现为单位圆盘到给定的直线是NP-困难的，当给定的直线平行于$x$轴或$y$轴。使用我们描述的减少，我们还表明，这个问题是NP-完全的，当给定的线只平行于$x$轴（和彼此）。我们得到这些结果使用Bhatt和Cosmadakis在1987年介绍的逻辑引擎的想法。
2020-03-22 cs.CG
Weak Unit Disk Contact Representations for Graphs without Embedding
弱单位盘接触图是指允许将节点表示为内部不相交的单位盘的集合的图，如果对应的节点之间存在边，则这些单位盘的边界接触。在这项工作中，我们专注于没有嵌入的图，即，可以任意选择相邻顺序。我们给出了一个线性时间算法来识别是否毛毛虫，每个节点相邻或在中心路径上的图，允许弱单位盘接触表示。另一方面，我们表明，这是NP-难决定是否树允许这样的表示。
2020-10-05 cs.CG
Recognizing Unit Disk Graphs in Hyperbolic Geometry is $\exists\mathbb{R}$-Complete
一个图G是（欧几里德）单位圆盘图，如果它是欧几里德平面$\mathbb{R}^2$中单位圆盘的交图.已知识别它们是$\exists\mathbb{R}$完全的，即，就像解一组多项式不等式一样难在本说明中，我们描述了一个简单的框架来翻译$\exists\mathbb{R}$ -硬度减少从欧几里德平面$\mathbb{R}^2$的双曲平面$\mathbb{H}^2$。我们应用我们的框架来证明，在双曲平面的单位盘图的识别也是$\exists\mathbb{R}$ -完全的。
2023-01-13 cs.CG
Unique Set Cover on Unit Disks and Unit Squares
研究了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖问题。对于给定的$n$点的集合$P$和$m$几何对象的集合$D$，唯一集合覆盖问题的目标是选择对象的子集$D'\subseteq D$，使得$P$中的每个点被$D'$中的至少一个对象覆盖，并且唯一覆盖的点的数量被最大化，其中，如果点被$D'$中的恰好一个对象覆盖，则该点被唯一地覆盖。本文证明了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖都是NP-难的，并利用Chan和Hu（Comput. 48（5），2015）。
2016-07-25 cs.CG
A PTAS for the Weighted Unit Disk Cover Problem
给出了欧氏平面上的一组加权单位圆和一组点。最小重量单位磁盘覆盖（\UDC）问题要求覆盖所有给定点的最小总重量的磁盘子集。\UDC \是几何集合覆盖问题中的一个，在过去的二十年里（对于许多不同的几何值域空间，如（单位）圆盘，半空间，矩形，三角形）得到了广泛的研究。已知未加权的\UDC \问题是NP-困难的，并且允许一个多项式时间近似方案（PTAS）.对于加权的\UDC \问题，已经开发了几个常数近似。然而，这个问题是否承认PTAS一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们肯定地回答这个问题，提出了第一个PTAS的\UDC。我们的结果暗示了单位圆盘图中最小权支配集问题的第一个PTAS。结合已有的思想，我们的结果还可以用于获得单位圆盘图中最大生存覆盖问题的第一个PTAS和连通支配集问题的改进的常数逼近比.
2016-01-12 cs.CG
Faster Approximation for Maximum Independent Set on Unit Disk Graph
从给定的与水平线相交的单位圆盘集合$D$中得到的最大独立集可以在$O(n^2)$时间和$O(n^2)$空间中求解。作为推论，我们设计了单位圆盘图上最大独立集问题的一个因子2近似算法，该算法占用了$O(n^2)$的时间和空间。该问题的最佳已知因子2近似算法在$O(n^2 \log n)$时间内运行，并占用$O(n^2)$空间[Jallu and Das 2016，Das et al. 2016]。
2016-11-10 cs.CG
Point Set Isolation Using Unit Disks is NP-complete
我们考虑的情况下，一个给定的一组S的点在平面和收集D的单位磁盘嵌入在平面上。我们发现，找到一个最小的基数子集的D，使任何两点之间的任何路径在S是由至少一个磁盘是NP-完全的。这解决了Matt Gibson等人提出的一个开放问题[1]。使用类似的约简，我们证明了找到D的最小基数子集D'使得R^2 -（D-D'）由单个连通区域组成也是NP完全的。最后，我们表明，多端切割问题仍然是NP-完全时，仅限于单位圆盘图。
2013-03-12 cs.CG
Parameterized Study of Steiner Tree on Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图上的Steiner树问题。给定$n$顶点单元圆盘图$G$、$t$顶点的子集$R\subseteq V(G)$和正整数$k$，目标是判定$G$中是否存在树$T$，该树跨越$R$的所有顶点，并且最多使用来自$V\setminus R$的$k$顶点. $R$的顶点称为终端，而$V(G)\setminus R$的顶点称为Steiner顶点。首先，我们证明该问题是NP-困难的。其次，我们证明了单位圆盘图上的Steiner树问题可以在$n^{O(\sqrt{t+k})}$时间内求解。我们还表明，施泰纳树问题的$k$参数化的单位盘图有一个FPT算法的运行时间$2^{O(k)}n^{O(1)}$。事实上，这些算法是为更一般的一类图设计的，称为cx-grid graphs。我们提到，算法的结果可以工作的Steiner树的磁盘图有界的纵横比。最后证明了由$k$参数化的圆盘图上的Steiner树是W[1]-硬的.
2020-04-20 cs.CG
Hardness of Liar's Domination on Unit Disk Graphs
单位圆图是平面上一组单位直径圆的交图。在本文中，我们考虑单位圆盘图的说谎者控制问题，控制集问题的一个变种。我们称这个问题为{ \it Euclidean liar's domination problem}。在欧几里得说谎者控制问题中，在欧几里得平面中给出$n$点（盘中心）的集合${\cal P}=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$。对于$p \in {\cal P}$，$N[p]$是${\cal P}$的子集，使得对于任何$q \in N[p]$，$p$和$q$之间的欧几里得距离小于或等于1，即，相应的单位直径圆盘相交。欧几里得说谎者支配问题的目标是找到具有以下性质的最小尺寸的子集$D\; (\subseteq {\cal P})$：（i）$1 \leq i \leq n$的$|N[p_i] \cap D| \geq 2$，以及（ii）$i\neq j, 1\leq i,j \leq n$的$|(N[p_i] \cup N[p_j]) \cap D| \geq 3$。证明了欧氏说谎者控制问题是NP-完全的。
2016-11-23 cs.CG
A fast 25/6-approximation for the minimum unit disk cover problem
给定一个二维点集P，寻找覆盖所有P的最小单位圆盘集的问题是NP-困难的。我们提出了一个简单的算法，这个问题的近似因子为25/6的欧氏范数和2的最大范数，通过限制磁盘中心位于平行线上。该算法的运行时间和空间分别为O（nlog n）和O（n）。该算法扩展到任何Lp范数，并且对于相同的近似因子，比已知的替代近似算法渐近快。
2014-06-15 cs.CG
APUD(1,1) Recognition in Polynomial Time
单位圆盘图是欧氏平面上一组单位半径圆盘的交图。1998年，Breu和Kirkpatrick证明了单位圆盘图的识别问题是NP-难的。给定$k$水平线和$m$垂直线，APUD（$k,m$）是单位圆盘图，使得每个单位圆盘以给定的水平线或垂直线为中心。在2020年的研究表明，APUD（$k,m$）识别是NP难的。本文证明了APUD（$1,1$）识别是多项式时间可解的.
2022-10-08 cs.CG
Robust Algorithms for Finding Triangles and Computing the Girth in Unit Disk and Transmission Graphs
本文提出了在单位圆盘图和传输图中寻找三角形及计算围长的最优鲁棒算法，该算法在输入为抽象图时能保证对可实现图给出正确结果，否则正确识别输入类型不符。
2024-05-02 cs.CG
EPTAS for Max Clique on Disks and Unit Balls
我们提出了一个多项式时间算法，它作为输入的一个有限的一组点的$\mathbb R^3$和计算，任意精度，直径最多$1$的最大子集。更确切地说，我们给出了单位球图中最大团的第一个随机EPTAS和确定性PTAS。我们的近似算法也适用于任意半径的圆盘图。近三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现的最大团单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。最近，它表明，两个奇数周期的不相交的工会从来没有补充的磁盘图[Bonnet，Giannopoulos，金，Rzewski，Sikora; SoCG '18]。这使作者能够推导出一个QPTAS和一个次指数算法的最大团盘图。在本文中，我们提高了一个随机EPTAS（和一个确定性PTAS）的近似性。更准确地说，我们得到了一个随机EPTAS计算的独立数的图没有不相交的两个奇循环的联合作为一个诱导子图，有界VC-维，和大的独立数。然后，我们解决的问题，计算最大团的磁盘在更高的维度。我们证明了单位球的交图和圆盘图一样，不允许两个奇圈的补图作为导出子图。这与第一个结果相结合，直接产生了单位球图上Max Clique的随机EPTAS。与此形成鲜明对比的是，我们表明，在球和单位4维磁盘图，最大团是NP-硬，不承认一个近似方案，即使在次指数时间，除非指数时间假设失败。
2018-04-11 cs.CG
Unit Disk Representations of Embedded Trees, Outerplanar and Multi-Legged Graphs
图$G$的单位圆盘相交表示（UDR）将图$G$的每个顶点表示为平面中的单位圆盘，使得两个圆盘相交当且仅当它们的顶点在$G$中相邻。具有相邻不相交圆盘的UDR称为单位圆盘接触表示（UDC）。我们证明了判定外平面图或嵌入树是否存在UDR是NP-困难的。我们进一步提供了一个线性时间可判定的卡特彼勒图，承认一个UDR的表征。最后，我们表明，它可以决定在线性时间，如果龙虾图承认一个弱的UDC，它允许非相邻顶点的磁盘之间的交叉。
2021-08-26 cs.CG cs.DM
Minimum clique partition in unit disk graphs
最小团划分（MCP）问题是将给定图的顶点集划分为最小数目的团的问题。给定平面中的$n$点，相应的单位圆盘图（UDG）将这些点作为顶点，并且边连接距离至多为1的点。MCP在单位圆盘图是已知的NP-难和几个常数因子近似是已知的，包括最近的PTAS。本文提出了两种改进的单位圆盘图最小团划分的近似算法：（I）一种按时间运行的多项式时间近似算法（PTAS）$n^{O(1/\eps^2)}$。这改进了以前的PTAS与$n^{O(1/\eps^4)}$运行时间\cite{PS09}。(II)近似比为2.16的随机二次时间算法。这改进了$O(n^2)$运行时间为\cite{CFFP04}的比率3算法。
2009-09-08 cs.CG cs.DS
Unit-Disk Range Searching and Applications
给定平面中$n$点的集合$P$，我们考虑计算查询单元盘中$P$的点数的问题（即，所有查询盘具有相同的半径）。我们表明，在平面上的单纯形范围搜索的主要技术可以适应这个问题。例如，通过修改Matoušek的结果，我们可以构建$O(n)$空间的数据结构，以便每个查询都可以在$O(\sqrt{n})$时间内得到回答。我们的技术导致其他几个经典问题的改进，如批量范围搜索，计数/报告单位圆的相交对，距离选择，离散2-中心等。例如，给定一组$n$单位圆盘和平面中的一组$n$点，批量范围搜索问题是计算每个圆盘中的点数。1997]在$O(n^{4/3}\log n)$时间内解决了这个问题，而我们的新算法在$O(n^{4/3})$时间内运行。
2022-04-19 cs.CG cs.DS
ETH-Tight Algorithm for Cycle Packing on Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图上环打包问题的 2^{O(√k)}n^{O(1)} 时间算法，改进先前结果并在指数时间假说下达到最优。
2024-03-18 cs.CG cs.DS
Balanced Line Separators of Unit Disk Graphs
我们证明了单位圆盘相交图的图分离定理的一个几何版本：对于平面中的任何$n$单位圆盘集合，存在一条线$\ell$，使得$\ell$与至多$O(\sqrt{(m+n)\log{n}})$圆盘相交，并且由$\ell$确定的每个半平面至多包含集合中的$2n/3$单位圆盘，其中$m$是相交圆盘对的数目.我们还表明，一个轴平行线相交$O(\sqrt{m+n})$磁盘存在，但每个半平面可能包含多达$4n/5$磁盘。我们给出了一个几乎紧的下限（亚对数因子），我们的方法，也表明，没有线分离器的次线性大小的$n$存在，当我们看磁盘的任意半径，即使当$m=0$。证明是建设性的，并建议在线性时间内运行的简单算法。实验结果表明，在随机情况下，该方法优于Fox和Pach（其分隔符大小为$O(\sqrt{m})$）方法.
2019-08-17 cs.CG cs.DM cs.DS
EPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk and Unit Ball Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们证明了两个奇圈的不交并不是一个圆盘图的补图，也不是一个单位（三维）球图的补图。从这一事实和现有的结果，我们得到一个简单的QPTAS和一个次指数算法运行的时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘和单位球图。然后，我们得到了一个随机EPTAS计算图的独立数没有不相交的两个奇循环作为一个诱导子图，有界VC-维，和线性独立数。这，结合我们的结构结果，产生一个随机EPTAS的\textsc{Max Clique}上的磁盘和单位球图。单位球图上的\textsc{Max Clique}等价于给定$\mathbb R^3$中的点的集合，找到直径至多为某个固定值的点的最大子集。与此形成鲜明对比的是，球图上的\textsc{Maximum Clique}和单位$4$维球图，以及填充椭圆（甚至接近单位圆盘）或填充三角形的相交图不太可能有这样的算法。事实上，我们表明，对于所有这些问题，有一个常数比的近似，甚至不能达到时间$2^{n^{1-\varepsilon}…
2021-10-28 cs.CC cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Intersection Graphs of Unit Disks
设$G$是由位置已知的$n$圆盘定义的平面中的单位圆盘图。对于$G$不加权的情况，我们给出了一个在$O(n\log n)$时间内从给定源计算最短路径树的简单算法。对于$G$加权的情况下，我们表明，从一个给定的源的最短路径树可以在$O(n^{1+\varepsilon})$时间计算，提高了以前的最佳时间界的$O(n^{4/3+\varepsilon})$。
2014-11-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Distributed coloring and the local structure of unit-disk graphs
有效地着色单位圆盘图是一个重要的问题，在全球和分布式设置，与无线电信道分配问题时，通信依赖于全向天线的相同功率的应用程序。在这种情况下，重要的是不仅要约束着色算法的复杂性，而且要约束所使用的颜色的数量。在本文中，我们考虑两个自然分布的设置。在位置感知的情况下（当节点知道它们在平面上的坐标时），给出了一个常数时间分布的算法，对任意单位圆盘图$G$进行至多$4ω(G)$颜色着色，其中$ω(G)$是$G$的团数.这改进了经典的3-近似算法为这个问题，所有的单位圆盘图的色数显着超过他们的团数。当节点不知道它们在平面上的坐标时，我们给出了一个分布式算法，在该算法中，每个单位圆盘图$G$在$O(\log^* n)$轮中最多用$5.68ω(G)+1$颜色着色.该算法是基于单位圆盘图的局部结构的研究，这是独立的利益。我们猜想每个单位圆盘图$G$的平均度至多为$4ω(G)$，这意味着在该模型中存在一个用（近似）$4ω(G)$颜色对任何单位圆盘图$G$着色的$O(\log n)$轮算法.我们提供了部分结果对这个猜想使用傅立叶分析工具。
2022-12-13 cs.CG cs.DC math.CO
Integer realizations of disk and segment graphs
圆盘图是平面中圆盘的交图，单位圆盘图是平面中相同半径圆盘的交图，线段图是平面中线段的交图。可以看出，每个圆盘图都可以由中心在整数网格上且半径为整数的圆盘来实现;类似地，每个单位圆盘图都可以由中心在整数网格上且半径相等的圆盘来实现;每个线段图都可以由端点位于整数网格上的线段来实现。在这里，我们表明，存在盘图$n$顶点，使在每一个实现整数磁盘至少有一个坐标或半径是$2^{2^{Ω(n)}}$，另一方面，每个磁盘图可以实现磁盘的整数坐标和半径，最多$2^{2^{O(n)}}$ ;我们显示了类似的结果，为单位盘图和段图。对于（单位）盘图，这回答了一个问题的Spinrad，和段图，这改善了以前的结果Kratochv\'ıl和Matou{\displaystyle\matou}ek。
2011-11-28 cs.CG math.CO math.MG
