Weak Unit Disk Contact Representations for Graphs without Embedding
弱单位盘接触图是指允许将节点表示为内部不相交的单位盘的集合的图，如果对应的节点之间存在边，则这些单位盘的边界接触。在这项工作中，我们专注于没有嵌入的图，即，可以任意选择相邻顺序。我们给出了一个线性时间算法来识别是否毛毛虫，每个节点相邻或在中心路径上的图，允许弱单位盘接触表示。另一方面，我们表明，这是NP-难决定是否树允许这样的表示。
2020-10-05 cs.CG
Recognizing Unit Disk Graphs in Hyperbolic Geometry is $\exists\mathbb{R}$-Complete
一个图G是（欧几里德）单位圆盘图，如果它是欧几里德平面$\mathbb{R}^2$中单位圆盘的交图.已知识别它们是$\exists\mathbb{R}$完全的，即，就像解一组多项式不等式一样难在本说明中，我们描述了一个简单的框架来翻译$\exists\mathbb{R}$ -硬度减少从欧几里德平面$\mathbb{R}^2$的双曲平面$\mathbb{H}^2$。我们应用我们的框架来证明，在双曲平面的单位盘图的识别也是$\exists\mathbb{R}$ -完全的。
2023-01-13 cs.CG
Unique Set Cover on Unit Disks and Unit Squares
研究了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖问题。对于给定的$n$点的集合$P$和$m$几何对象的集合$D$，唯一集合覆盖问题的目标是选择对象的子集$D'\subseteq D$，使得$P$中的每个点被$D'$中的至少一个对象覆盖，并且唯一覆盖的点的数量被最大化，其中，如果点被$D'$中的恰好一个对象覆盖，则该点被唯一地覆盖。本文证明了单位圆盘和单位正方形上的唯一集合覆盖都是NP-难的，并利用Chan和Hu（Comput. 48（5），2015）。
2016-07-25 cs.CG
Unit Disk Visibility Graphs
我们研究单位圆盘可见性图，其中一对几何实体之间的可见性关系不仅由障碍物定义，而且由它们之间的距离定义。也就是说，如果两个实体相距太远，则它们是不可见的，而不管它们之间是否存在障碍物。与传统的可见性图相比，这个特定的图类更准确地模拟真实世界的场景。本文首先定义了单位圆盘可见图，并对单位圆盘可见图进行了分类，然后证明了单位圆盘可见图模型用于线段集（适用于点集）和带洞多边形时的3-着色问题是NP-完全的.
2021-03-25 cs.CG
A PTAS for the Weighted Unit Disk Cover Problem
给出了欧氏平面上的一组加权单位圆和一组点。最小重量单位磁盘覆盖（\UDC）问题要求覆盖所有给定点的最小总重量的磁盘子集。\UDC \是几何集合覆盖问题中的一个，在过去的二十年里（对于许多不同的几何值域空间，如（单位）圆盘，半空间，矩形，三角形）得到了广泛的研究。已知未加权的\UDC \问题是NP-困难的，并且允许一个多项式时间近似方案（PTAS）.对于加权的\UDC \问题，已经开发了几个常数近似。然而，这个问题是否承认PTAS一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们肯定地回答这个问题，提出了第一个PTAS的\UDC。我们的结果暗示了单位圆盘图中最小权支配集问题的第一个PTAS。结合已有的思想，我们的结果还可以用于获得单位圆盘图中最大生存覆盖问题的第一个PTAS和连通支配集问题的改进的常数逼近比.
2016-01-12 cs.CG
Point Set Isolation Using Unit Disks is NP-complete
我们考虑的情况下，一个给定的一组S的点在平面和收集D的单位磁盘嵌入在平面上。我们发现，找到一个最小的基数子集的D，使任何两点之间的任何路径在S是由至少一个磁盘是NP-完全的。这解决了Matt Gibson等人提出的一个开放问题[1]。使用类似的约简，我们证明了找到D的最小基数子集D'使得R^2 -（D-D'）由单个连通区域组成也是NP完全的。最后，我们表明，多端切割问题仍然是NP-完全时，仅限于单位圆盘图。
2013-03-12 cs.CG
Parameterized Study of Steiner Tree on Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图上的Steiner树问题。给定$n$顶点单元圆盘图$G$、$t$顶点的子集$R\subseteq V(G)$和正整数$k$，目标是判定$G$中是否存在树$T$，该树跨越$R$的所有顶点，并且最多使用来自$V\setminus R$的$k$顶点. $R$的顶点称为终端，而$V(G)\setminus R$的顶点称为Steiner顶点。首先，我们证明该问题是NP-困难的。其次，我们证明了单位圆盘图上的Steiner树问题可以在$n^{O(\sqrt{t+k})}$时间内求解。我们还表明，施泰纳树问题的$k$参数化的单位盘图有一个FPT算法的运行时间$2^{O(k)}n^{O(1)}$。事实上，这些算法是为更一般的一类图设计的，称为cx-grid graphs。我们提到，算法的结果可以工作的Steiner树的磁盘图有界的纵横比。最后证明了由$k$参数化的圆盘图上的Steiner树是W[1]-硬的.
2020-04-20 cs.CG
Hardness of Liar's Domination on Unit Disk Graphs
单位圆图是平面上一组单位直径圆的交图。在本文中，我们考虑单位圆盘图的说谎者控制问题，控制集问题的一个变种。我们称这个问题为{ \it Euclidean liar's domination problem}。在欧几里得说谎者控制问题中，在欧几里得平面中给出$n$点（盘中心）的集合${\cal P}=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}$。对于$p \in {\cal P}$，$N[p]$是${\cal P}$的子集，使得对于任何$q \in N[p]$，$p$和$q$之间的欧几里得距离小于或等于1，即，相应的单位直径圆盘相交。欧几里得说谎者支配问题的目标是找到具有以下性质的最小尺寸的子集$D\; (\subseteq {\cal P})$：（i）$1 \leq i \leq n$的$|N[p_i] \cap D| \geq 2$，以及（ii）$i\neq j, 1\leq i,j \leq n$的$|(N[p_i] \cup N[p_j]) \cap D| \geq 3$。证明了欧氏说谎者控制问题是NP-完全的。
2016-11-23 cs.CG
A fast 25/6-approximation for the minimum unit disk cover problem
给定一个二维点集P，寻找覆盖所有P的最小单位圆盘集的问题是NP-困难的。我们提出了一个简单的算法，这个问题的近似因子为25/6的欧氏范数和2的最大范数，通过限制磁盘中心位于平行线上。该算法的运行时间和空间分别为O（nlog n）和O（n）。该算法扩展到任何Lp范数，并且对于相同的近似因子，比已知的替代近似算法渐近快。
2014-06-15 cs.CG
APUD(1,1) Recognition in Polynomial Time
单位圆盘图是欧氏平面上一组单位半径圆盘的交图。1998年，Breu和Kirkpatrick证明了单位圆盘图的识别问题是NP-难的。给定$k$水平线和$m$垂直线，APUD（$k,m$）是单位圆盘图，使得每个单位圆盘以给定的水平线或垂直线为中心。在2020年的研究表明，APUD（$k,m$）识别是NP难的。本文证明了APUD（$1,1$）识别是多项式时间可解的.
2022-10-08 cs.CG
Robust Algorithms for Finding Triangles and Computing the Girth in Unit Disk and Transmission Graphs
本文提出了在单位圆盘图和传输图中寻找三角形及计算围长的最优鲁棒算法，该算法在输入为抽象图时能保证对可实现图给出正确结果，否则正确识别输入类型不符。
2024-05-02 cs.CG
EPTAS for Max Clique on Disks and Unit Balls
我们提出了一个多项式时间算法，它作为输入的一个有限的一组点的$\mathbb R^3$和计算，任意精度，直径最多$1$的最大子集。更确切地说，我们给出了单位球图中最大团的第一个随机EPTAS和确定性PTAS。我们的近似算法也适用于任意半径的圆盘图。近三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现的最大团单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。最近，它表明，两个奇数周期的不相交的工会从来没有补充的磁盘图[Bonnet，Giannopoulos，金，Rzewski，Sikora; SoCG '18]。这使作者能够推导出一个QPTAS和一个次指数算法的最大团盘图。在本文中，我们提高了一个随机EPTAS（和一个确定性PTAS）的近似性。更准确地说，我们得到了一个随机EPTAS计算的独立数的图没有不相交的两个奇循环的联合作为一个诱导子图，有界VC-维，和大的独立数。然后，我们解决的问题，计算最大团的磁盘在更高的维度。我们证明了单位球的交图和圆盘图一样，不允许两个奇圈的补图作为导出子图。这与第一个结果相结合，直接产生了单位球图上Max Clique的随机EPTAS。与此形成鲜明对比的是，我们表明，在球和单位4维磁盘图，最大团是NP-硬，不承认一个近似方案，即使在次指数时间，除非指数时间假设失败。
2018-04-11 cs.CG
Faster Algorithms for Cycle Hitting Problems on Disk Graphs
针对磁盘交图的三角形击中集、反馈顶点集、奇环横贯三类环击中问题，提出无需几何表示的亚指数参数化算法，给出几何表示时效率更高，改进了已有算法的时间复杂度。
2023-11-07 cs.CG cs.DS
Sparse Hop Spanners for Unit Disk Graphs
平面中给定点集$P$上的单位圆盘图$G$是两点之间存在边$p,q \in P$的几何图当且仅当$|pq| \leq 1$。$G$的生成子图$G'$是$k$ -跳图当且仅当对于每个边$pq\in G$，在$G'$中的$p,q$与至多$k$边之间存在路径。对于平面上的单位圆盘图，我们得到了如下结果。(I)每个$n$ -顶点单位圆盘图都有一个至多有$5.5n$条边的$5$ -跳图.我们分析了Biniaz（2020）构造的空间簇，并将$9n$的边数上界改进为$5.5n$ . (II)利用一种新的构造方法，证明了每个$n$ -顶点单位圆盘图都有一个至多含$11n$条边的$3$-跳图. (III)每个$n$ -顶点单位圆盘图都有一个$2$ -跳图，它的边是$O(n\log n)$.这是$2$ -hop spatial的第一个非平凡构造。(IV)对于每个足够大的正整数$n$，在圆上存在$n$点的集合$P$，使得$P$上的每个平面跳数具有至少$4$的跳伸展因子。以前，没有下限大于$2$已知。(V)对于圆上的每个有限点集，存在一个平面（即，无交叉）$4$ -跳脱。因此，这为圆上的点提供了紧边界。(VI)对于任何正整数$k$，$k$ -跳频的最大度不能由$k$的函数从上面限定。
2021-02-05 cs.CG
Unit Disk Cover Problem
给定欧氏平面上单位圆盘的集合${\cal D}$，我们考虑（i）{ \it离散单位圆盘覆盖}（DUDC）问题和（ii）{ \it矩形区域覆盖}（RRC）问题.在DUDC问题中，对于给定的点集合${\cal P}$，目标是选择最小基数子集${\cal D}^* \subseteq {\cal D}$，使得${\cal P}$中的每个点被${\cal D}^*$中的至少一个圆盘覆盖。另一方面，在RRC问题中，目标是选择最小基数子集${\cal D}^{**} \subseteq {\cal D}$，使得给定矩形区域${\cal R}$的每个点被${\cal D}^{**}$中的圆盘覆盖。对于DUDC问题，我们提出了一个$(9+ε)$因子（$0 < ε\leq 6$）近似算法.之前最著名的近似因子是15 \cite{FL12}。对于RRC问题，我们提出了（i）一个$(9 + ε)$ -因子（$0 < ε\leq 6$）近似算法，（ii）一个2.25-因子的近似算法，改进了以前的4-因子近似算法在相同的设置\cite{FKKLS07} . DUDC问题的解是基于子问题LSDUDC的PTAS，其中${\cal P}$中的所有点都在一条直线的一侧，并被以该直线另一侧为中心的圆盘覆盖。
2012-09-13 cs.CG
Experiments with Unit Disk Cover Algorithms for Covering Massive Pointsets
给定平面上的一组$n$点，单位圆盘覆盖（UDC）问题要求计算覆盖这些点所需的最小单位圆盘数以及圆盘的放置。该问题是NP-难的，在过去的三十年中已经设计了几种近似算法。在本文中，我们已经设计和实验比较了这些算法在大量点集上的实际性能。我们的目标是调查哪些算法运行速度快，并在实践中给出良好的近似。我们提出了一个简单的$7$近似算法的UDC，运行在$O(n)$预期的时间，并使用$O(s)$额外的空间，其中$s$表示的大小生成的封面。在我们的实验中，它被证明是最快的。我们还提出了两种方法来减少它生成的封面的大小，而不会减慢它。据我们所知，这是第一个工作，实验比较几何覆盖算法。使用大规模点集（数百万）进行的实验揭示了它们的实际用途。我们通过GitHub -https://github.com/ghoshanirban/UnitDiskCoverAlgorithms分享工程算法，以便在几何优化领域进行更广泛的使用和未来的研究。
2022-05-03 cs.CG
Computing a maximum clique in geometric superclasses of disk graphs
在90年代，Clark，Colbourn和Johnson写了一篇开创性的论文，他们证明了在单位圆盘图中，最大团可以在多项式时间内求解。从那时起，最大团的复杂性在d-维（单位）球的相交图进行了研究。对于球图，这个问题是NP难的，如Bonamy等人所示。他们还给出了一个有效的多项式时间近似方案（EPTAS）的磁盘图。然而，在这种情况下，最大集团的复杂性仍然是未知的。本文证明了单位圆盘图的一个几何超类的多项式时间算法的存在性。此外，我们给出了部分结果，以获得一个EPTAS的相交图的凸伪盘。
2021-07-26 cs.CG
Unit Disk Representations of Embedded Trees, Outerplanar and Multi-Legged Graphs
图$G$的单位圆盘相交表示（UDR）将图$G$的每个顶点表示为平面中的单位圆盘，使得两个圆盘相交当且仅当它们的顶点在$G$中相邻。具有相邻不相交圆盘的UDR称为单位圆盘接触表示（UDC）。我们证明了判定外平面图或嵌入树是否存在UDR是NP-困难的。我们进一步提供了一个线性时间可判定的卡特彼勒图，承认一个UDR的表征。最后，我们表明，它可以决定在线性时间，如果龙虾图承认一个弱的UDC，它允许非相邻顶点的磁盘之间的交叉。
2021-08-26 cs.CG cs.DM
Sublinear Average-Case Shortest Paths in Weighted Unit-Disk Graphs
本文研究了常维$d$中加权单位圆盘图的最短路计算问题。虽然这个问题的单源和所有对的变体在平面的情况下，没有非平凡的精确距离预言单位盘图已被称为日期，即使是$d=2$。Sedgewick和Vitter的经典结果表明，对于平面中的加权单位圆盘图，$A^*$搜索具有优于标准最短路径算法的平均情况性能，例如，Dijkstra算法具体地，如果加权单位盘图$G$的$n$对应点是从单位正方形中随机均匀地选取的，并且连通性半径是$r\in (0,1)$，则即使$G$在期望中具有$Θ((nr)^2)$边，$A^*$也在$r=Ω(\sqrt{\log n/n})$时的$O(n)$期望时间内在$G$中找到最短路径。换句话说，该算法所做的工作与顶点数而不是边数成正比。在本文中，我们打破了这一自然障碍，并显示出更强的次线性时间的结果。我们提出了一种新的启发式方法来计算点到点的精确最短路径的单位圆盘图。我们分析了平均情况下的行为，我们的启发式使用相同的随机图模型所使用的Sedgewick和维特，并证明它优于$A^*$。具体地说，我们表明，如果我们能够报告的$G$的所有$k$点的集合，从一个任意的矩形区域的平面在$O(k + t(n))$的时间，然后任意两个点之间的最短路径这样的随机图在平面上可以找到在$O(1/r^2 + t(n))$预期的时间。特别地，最先进的范围报告数据结构意味着仅在点集的近线性预处理之后…
2021-03-17 cs.CG
Disks in Curves of Bounded Convex Curvature
我们说平面中的简单闭曲线$γ$具有有界凸曲率，如果对于$γ$上的每个点$x$，存在开单位圆$U_x$和$\varepsilon_x>0$，使得$x\in\partial U_x$和$B_{\varepsilon_x}(x)\cap U_x\subset\text{Int}\;γ$。证明了每一条有界凸曲率曲线的内部都包含一个开单位圆盘。
2019-09-02 cs.CG
Minimum clique partition in unit disk graphs
最小团划分（MCP）问题是将给定图的顶点集划分为最小数目的团的问题。给定平面中的$n$点，相应的单位圆盘图（UDG）将这些点作为顶点，并且边连接距离至多为1的点。MCP在单位圆盘图是已知的NP-难和几个常数因子近似是已知的，包括最近的PTAS。本文提出了两种改进的单位圆盘图最小团划分的近似算法：（I）一种按时间运行的多项式时间近似算法（PTAS）$n^{O(1/\eps^2)}$。这改进了以前的PTAS与$n^{O(1/\eps^4)}$运行时间\cite{PS09}。(II)近似比为2.16的随机二次时间算法。这改进了$O(n^2)$运行时间为\cite{CFFP04}的比率3算法。
2009-09-08 cs.CG cs.DS
Unit-Disk Range Searching and Applications
给定平面中$n$点的集合$P$，我们考虑计算查询单元盘中$P$的点数的问题（即，所有查询盘具有相同的半径）。我们表明，在平面上的单纯形范围搜索的主要技术可以适应这个问题。例如，通过修改Matoušek的结果，我们可以构建$O(n)$空间的数据结构，以便每个查询都可以在$O(\sqrt{n})$时间内得到回答。我们的技术导致其他几个经典问题的改进，如批量范围搜索，计数/报告单位圆的相交对，距离选择，离散2-中心等。例如，给定一组$n$单位圆盘和平面中的一组$n$点，批量范围搜索问题是计算每个圆盘中的点数。1997]在$O(n^{4/3}\log n)$时间内解决了这个问题，而我们的新算法在$O(n^{4/3})$时间内运行。
2022-04-19 cs.CG cs.DS
Balanced Line Separators of Unit Disk Graphs
我们证明了单位圆盘相交图的图分离定理的一个几何版本：对于平面中的任何$n$单位圆盘集合，存在一条线$\ell$，使得$\ell$与至多$O(\sqrt{(m+n)\log{n}})$圆盘相交，并且由$\ell$确定的每个半平面至多包含集合中的$2n/3$单位圆盘，其中$m$是相交圆盘对的数目.我们还表明，一个轴平行线相交$O(\sqrt{m+n})$磁盘存在，但每个半平面可能包含多达$4n/5$磁盘。我们给出了一个几乎紧的下限（亚对数因子），我们的方法，也表明，没有线分离器的次线性大小的$n$存在，当我们看磁盘的任意半径，即使当$m=0$。证明是建设性的，并建议在线性时间内运行的简单算法。实验结果表明，在随机情况下，该方法优于Fox和Pach（其分隔符大小为$O(\sqrt{m})$）方法.
2019-08-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Faster Algorithms for Reverse Shortest Path in Unit-Disk Graphs and Related Geometric Optimization Problems: Improving the Shrink-and-Bifurcate Technique
本文改进收缩-分叉技术，将单位圆盘图反向最短路径等几何优化问题的时间复杂度从约O(n^1.2)降至O(n^1.143)，无权情形进一步降至O(n^1.125)。
2025-04-08 cs.CG cs.DS
ETH-Tight Algorithm for Cycle Packing on Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图上环打包问题的 2^{O(√k)}n^{O(1)} 时间算法，改进先前结果并在指数时间假说下达到最优。
2024-03-18 cs.CG cs.DS
EPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk and Unit Ball Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们证明了两个奇圈的不交并不是一个圆盘图的补图，也不是一个单位（三维）球图的补图。从这一事实和现有的结果，我们得到一个简单的QPTAS和一个次指数算法运行的时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘和单位球图。然后，我们得到了一个随机EPTAS计算图的独立数没有不相交的两个奇循环作为一个诱导子图，有界VC-维，和线性独立数。这，结合我们的结构结果，产生一个随机EPTAS的\textsc{Max Clique}上的磁盘和单位球图。单位球图上的\textsc{Max Clique}等价于给定$\mathbb R^3$中的点的集合，找到直径至多为某个固定值的点的最大子集。与此形成鲜明对比的是，球图上的\textsc{Maximum Clique}和单位$4$维球图，以及填充椭圆（甚至接近单位圆盘）或填充三角形的相交图不太可能有这样的算法。事实上，我们表明，对于所有这些问题，有一个常数比的近似，甚至不能达到时间$2^{n^{1-\varepsilon}…
2021-10-28 cs.CC cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Intersection Graphs of Unit Disks
设$G$是由位置已知的$n$圆盘定义的平面中的单位圆盘图。对于$G$不加权的情况，我们给出了一个在$O(n\log n)$时间内从给定源计算最短路径树的简单算法。对于$G$加权的情况下，我们表明，从一个给定的源的最短路径树可以在$O(n^{1+\varepsilon})$时间计算，提高了以前的最佳时间界的$O(n^{4/3+\varepsilon})$。
2014-11-17 cs.CG cs.DM cs.DS
Shortest Path Separators in Unit Disk Graphs
本文提出单位圆盘图中基于两条最短路径及其1跳邻居的平衡分隔符定理，改进了先前需移除3跳邻域的结果，并利用Delaunay三角剖分及推广的Lipton-Tarjan定理进行证明。
2024-07-22 cs.CG cs.DS
Dynamic parameterized problems on unit disk graphs
本文针对动态单位圆盘图上的基本参数化问题，首次提出高效数据结构，实现$k$-路径/环的$2^{O(\sqrt{k})}$更新时间和$O(k)$查询时间，其他问题支持$O(\log n)$更新和$2^{O(\sqrt{k})}$查询。
2024-09-20 cs.CG cs.DS
Distributed coloring and the local structure of unit-disk graphs
有效地着色单位圆盘图是一个重要的问题，在全球和分布式设置，与无线电信道分配问题时，通信依赖于全向天线的相同功率的应用程序。在这种情况下，重要的是不仅要约束着色算法的复杂性，而且要约束所使用的颜色的数量。在本文中，我们考虑两个自然分布的设置。在位置感知的情况下（当节点知道它们在平面上的坐标时），给出了一个常数时间分布的算法，对任意单位圆盘图$G$进行至多$4ω(G)$颜色着色，其中$ω(G)$是$G$的团数.这改进了经典的3-近似算法为这个问题，所有的单位圆盘图的色数显着超过他们的团数。当节点不知道它们在平面上的坐标时，我们给出了一个分布式算法，在该算法中，每个单位圆盘图$G$在$O(\log^* n)$轮中最多用$5.68ω(G)+1$颜色着色.该算法是基于单位圆盘图的局部结构的研究，这是独立的利益。我们猜想每个单位圆盘图$G$的平均度至多为$4ω(G)$，这意味着在该模型中存在一个用（近似）$4ω(G)$颜色对任何单位圆盘图$G$着色的$O(\log n)$轮算法.我们提供了部分结果对这个猜想使用傅立叶分析工具。
2022-12-13 cs.CG cs.DC math.CO
Computational Aspects of Problems on Visibility and Disk Graph Representations
本论文主要讨论了在计算几何领域中被广泛研究的两个概念。即可见性和单位圆盘图。在可见性领域，我们研究了多边形的无冲突色保护，为此我们描述了一个多项式时间算法，该算法使用$O(n \log^2 n)$颜色来保护多边形在无冲突设置中，以及多边形可见性图的适当着色，为此我们描述了一个算法，该算法返回简单多边形的适当4-着色。此外，我们还证明了简单多边形可见图的5-可着色性问题是NP-完全的，而带洞多边形可见图的4-可着色性问题是NP-完全的。然后，我们进一步移动与可见性的概念，并定义一个图形类，考虑现实世界中的限制可见性图的应用。也就是说，没有物理对象具有无限的范围，并且两个对象可能从一定距离不可见，尽管其间没有障碍物。为了模拟这个属性，我们引入了单位盘可见性图，并证明了3-着色性问题是NP-完全的单位盘可见性图的一组线段，和一个多边形与孔。在弥合了可视性和单位圆盘图之间的差距之后，我们给出了在一个受限的设置-轴平行单位圆盘图中识别单位圆盘图的结果。我们证明了，当圆盘中心在预先给定的平行线上时，单位圆盘图的识别是NP-完全的。另一方面，如果两条线不平行，那么识别问题是NP难的，即使预先给定的线是轴平行的（即任何一对线都是平行或垂直的）。
2021-10-31 cs.CG math.CO
Computing Diameter +1 in Truly Subquadratic Time for Unit-Disk Graphs
针对单位圆盘图直径计算复杂度未明的问题，提出运行时间为$\tilde{O}(n^{2-1/18})$的真正次平方近似算法，误差不超过1，还推导了距离预言机等新结果，可推广至多类伪圆盘图。
2024-10-31 cs.CG cs.DS
QPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们展示了一个相当令人惊讶的结构结果，一个不相交的联盟的周期是补充的磁盘图当且仅当在最多的一个周期是奇数长度。从这一点，我们得出的第一个QPTAS和次指数算法运行在时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘图。与此形成鲜明对比的是，填充椭圆或填充三角形的相交图上的\textsc{Maximum Clique}不太可能具有这样的算法，即使当椭圆接近单位圆盘时也是如此。事实上，我们表明，有一个常数的近似，这是无法实现的，即使在时间$2^{n^{1-\varepsilon}}$，除非指数时间假说失败。
2018-02-28 cs.CG cs.DS
Integer realizations of disk and segment graphs
圆盘图是平面中圆盘的交图，单位圆盘图是平面中相同半径圆盘的交图，线段图是平面中线段的交图。可以看出，每个圆盘图都可以由中心在整数网格上且半径为整数的圆盘来实现;类似地，每个单位圆盘图都可以由中心在整数网格上且半径相等的圆盘来实现;每个线段图都可以由端点位于整数网格上的线段来实现。在这里，我们表明，存在盘图$n$顶点，使在每一个实现整数磁盘至少有一个坐标或半径是$2^{2^{Ω(n)}}$，另一方面，每个磁盘图可以实现磁盘的整数坐标和半径，最多$2^{2^{O(n)}}$ ;我们显示了类似的结果，为单位盘图和段图。对于（单位）盘图，这回答了一个问题的Spinrad，和段图，这改善了以前的结果Kratochv\'ıl和Matou{\displaystyle\matou}ek。
2011-11-28 cs.CG math.CO math.MG
ETH-Tight Algorithms for Long Path and Cycle on Unit Disk Graphs
我们提出了一个算法，广泛研究的长路径和长周期问题的单位盘图，运行在时间$2^{O(\sqrt{k})}(n+m)$。在指数时间假设下，单位圆盘图上的长路径和长循环不能在时间$2^{o(\sqrt{k})}(n+m)^{O(1)}$中求解[de Berg等人，STOC 2018]，因此我们的算法是最优的。除了de Berg等人[STOC 2018]针对（可以说）更简单的顶点覆盖问题的$2^{O(\sqrt{k})}(n+m)^{O(1)}$时间算法（很容易从该问题的$2k$顶点核的存在中得出）之外，这是UDG上唯一已知的ETH最优固定参数易处理算法。以前，单位圆盘图上的长路径和长循环只知道在时间$2^{O(\sqrt{k}\log k)}(n+m)$上可解。该算法引入了一种新型的树分解，需要设计一个非常繁琐的动态规划过程。我们的算法基本上更简单：我们完全避免使用这种新型的树分解。相反，我们使用一个标记过程，以减少问题（加权版本）本身的标准树分解的宽度$O(\sqrt{k})$。
2020-03-02 cs.CG cs.DS
Weak Unit Disk and Interval Representation of Planar Graphs
我们研究了单位球相交表示的一种变体，即平面上的单位圆盘和直线上的单位区间。给定一个平面图和一个将图的边二分为近集和远集的图，目标是用单位球表示图的顶点，使得表示两个相邻顶点的球相交当且仅当对应的边是近的。我们考虑的问题，在平面上，并证明这是NP-难的决定是否存在这样的表示为一个给定的边划分。另一方面，每一个串-平行图允许这样的表示与单位圆盘的任何近/远标签的边缘。我们还表明，表示线上的问题是等价的一个变种的图着色。我们给出了围长为4的平面图和围长为3的外平面图的例子，这些图没有这样的单位区间表示。另一方面，所有无三角形的外平面图和所有最大平均度小于26/11的图总是可以表示的。特别是，这给出了一个简单的证明，表示所有平面图与大围长。
2014-08-29 cs.CG cs.DM math.CO
Subcoloring of (Unit) Disk Graphs
本文研究（单位）圆盘图的子着色问题，证明单位圆盘图子色数可在多项式时间内3-近似，给出若干NP困难性结果，并证明一般圆盘图存在O(log^3 n)种颜色的子着色及O(log^2 n)近似算法。
2025-06-24 cs.CC cs.CG cs.DS
Subexponential Algorithms for Clique Cover on Unit Disk and Unit Ball Graphs
本文研究单位圆盘图和单位球图上的团覆盖问题，提出单位圆盘图上的 $2^{O(\sqrt{n})}$ 时间算法并证明其在 ETH 下最优，同时证明 5 维单位球图上不存在 $2^{o(n)}$ 时间算法，揭示了该问题的维度诅咒现象。
2024-10-04 cs.CG cs.DS
Finding, Hitting and Packing Cycles in Subexponential Time on Unit Disk Graphs
我们给算法的运行时间$2^{O({\sqrt{k}\log{k}})} \cdot n^{O(1)}$为以下问题。给定一个$n$ -顶点单位圆盘图$G$和一个整数$k$，判定$G$是否包含（1）恰好/至少$k$顶点上的路径，（2）恰好在$k$顶点上的圈，（3）至少在$k$顶点上的圈，（4）大小至多为$k$的反馈顶点集，以及（5）$k$成对顶点不相交循环的集合。对于前三个问题，没有亚指数时间参数化算法是以前已知的。对于剩下的两个问题，我们的算法显着优于以前最好的已知的参数化算法，运行时间$2^{O(k^{0.75}\log{k})} \cdot n^{O(1)}$。我们的算法是基于一种新的树分解的单位盘图中的分隔符可以有大小高达$k^{O(1)}$，并存在一个解决方案，交叉每个分隔符在最多$O(\sqrt{k})$倍。假设指数时间假设，我们的算法的运行时间是最佳的指数中的$\log{k}$因子。
2017-04-24 cs.CG cs.DS
