Long time dynamics and blow-up for the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation with spatial growing nonlinearity
研究了径向索伯列夫空间$H^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$中聚焦非齐次非线性薛定谔方程$i \partial_t u + Δu = - |x|^b |u|^{p-1} u$的Cauchy问题，其中$b>0$和$p>1$ .我们显示的全球存在和能量散射的临界区，即，如果是$N\geq 3$，则为$p>\frac{N+4+2b}{N}$和$p<\frac{N+2+2b}{N-2}$。我们还获得了质量临界和质量超临界非线性爆破解决方案。主要的困难，来自空间增长的非线性，克服了加细Gagliardo-Nirenberg型不等式。我们的证明是基于改进的Gagliardo-Nirenberg不等式，Morawetz-Sobolev方法的Dodson和Murphy，径向Sobolev嵌入，和本地维里估计。
2021-12-30 math.AP
Large $s$-harmonic functions and boundary blow-up solutions for the fractional Laplacian
利用Stampacchia理论，给出了分数拉普拉斯算子驱动的狄利克雷问题的弱解的概念.然后，我们研究了有界区域$Ω$上的半线性问题同时具有两种不同的边界条件：$Ω$外解的形状和边界的加权极限。我们允许非线性是正的或负的，我们寻找在边界处爆炸的解。我们首先观察到在边界处爆炸的s-调和函数的存在性：这些函数在负非线性情况下将被用作上解，在正非线性情况下将被用作下解。
2013-11-18 math.AP
Necessary conditions and sufficient conditions for global existence in the nonlinear Schrödinger equation
本文考虑了在吸引情形下具有超临界非线性幂的非线性薛定谔方程。给出了获得整体解或爆破解的一个充分条件和一个必要条件。这些条件在临界情况下是一致的，从而推广了温斯坦的结果。此外，我们改进了一个爆破条件。
2012-07-09 math.AP
Well-posedness of the Two-dimensional Nonlinear Schrödinger Equation with Concentrated Nonlinearity
考虑一类具有集中非线性项的二维非线性薛定谔方程。在聚焦和散焦的情况下，我们证明了局部适定性，即，短时间内解的存在唯一性，以及能量和质量守恒。此外，我们证明，这意味着全球存在的散焦的情况下，无论权力的非线性，而在聚焦的情况下爆破解决方案可能会出现。
2018-05-30 math-ph math.AP math.MP
On degenerate blow-up profiles for the subcritical semilinear heat equation
考虑了Sobolev次临界区具有超线性幂非线性项的半线性热方程。我们构造了一个解，该解仅在原点有限时间内爆破，具有一个全新的爆破剖面，它是十字形的。我们的方法是一般性的，并扩展到其他解决方案的建设爆破只有在原点，与各种各样的爆破配置文件，退化或不。
2022-05-13 math.AP
Regularity for fully nonlinear elliptic equations in generalized Orlicz spaces
Seoul National University（首尔大学）；Soongsil University（崇实大学）；Pusan National University（釜山国立大学）
本文研究了在广义Orlicz空间中全非线性椭圆方程粘性解的正则性问题，建立了最优的全局Calderón-Zygmund型估计。
2025-12-22 math.AP
Multiplicity of bounded solutions to the $k$-Hessian equation with a Matukuma-type source
本文的目的是处理的$k$ -海森对应的拉普拉斯方程涉及的非线性Matukuma研究。即，我们的模型是问题\begin{equation*} (1)\;\;\;\begin{cases} S_k(D^2u)= λ\frac{|x|^{μ-2}}{(1+|x|^2)^{\fracμ{2}}} (1-u)^q &\mbox{in }\;\; B,\\ u <0 & \mbox{in }\;\; B,\\ u=0 &\mbox{on }\partial B, \end{cases} \end{equation*}，其中$B$表示$\mathbb{R}^n,n>2k$中的单位球（$k\in\mathbb{N}$），$λ>0$是附加参数，$q>k$和$μ\geq 2$。在此背景下，通过两位作者最近引入的一个变换，将问题（1）转化为一个非自治的二维广义Lotka-Volterra系统，结合动力系统工具、正则解与奇异解的相交数和上下解方法，证明了上述问题解的存在性和多解性.
2018-07-31 math.AP
Regularity Bootstrapping For Fourth Order Non Linear Elliptic Equations
考虑非线性四阶双散度型椭圆型方程.我们证明了对于一类非线性项在Hessian中的方程，C^{2，alpha}的解在所有导数上都有内估计.
2017-06-17 math.AP
Blowing-up Solutions with Residual Mass in a Slightly Subcritical Dirichlet Problem
Department of Mathematics, College of Science, Qassim University（卡西姆大学理学院数学系）
研究了稍亚临界狄利克雷问题中解膨胀现象，探讨了残余质量与解结构的关系，揭示了势函数边界法向导数符号对解分布的影响。
2026-04-25 math.AP
Gradient ascent method for fully nonlinear parabolic differential equations with convex nonlinearity
该研究针对含凸非线性项的完全非线性抛物型PDE，提出将其转化为半线性问题并利用扩散系数方向最大值原理的梯度上升数值法，通过投资组合优化的HJB方程实验验证了可行性。
2024-10-07 math.AP
Existence, multiplicity and classification results for solutions to $k$-Hessian equations with general weights
本文研究了一类具有一般权\begin{equation} \label{Eq:Ma:0} \tag{$P$} \begin{cases} S_k(D^2u)= λρ(|x|) (1-u)^q &\mbox{in }\;\; B,\\ u=0 &\mbox{on }\partial B. \end{cases} \end{equation}的非线性$k$-Hessian方程的负古典解。这里，$B$表示$\mathbb R^n\!$中的单位球，$n>2k$，$λ$是正参数，$q>k$带有$k\in \mathbb N$。函数$rρ'(r)/ρ(r)$在径向方向$r=|x|$上满足非常一般的条件。我们证明了问题\eqref{Eq:Ma:0}解的存在性、不存在性和多重性。用于证明的主要技术是与\eqref{Eq:Ma:0}中的方程相关联的非自治动力系统相关的相平面分析。此外，使用上述非自治系统，我们给出了一个全面的表征$P_2$ -，$P_3^+$ -，$P_4^+$ -解决方案的相关问题\begin{equation*} \begin{cases} S_k(D^2 w)= ρ(|x|) (-w)^q, \\ w<0, \end{cases} \end{equation*}上给出的整个空间$\mathbb R^n\!$。特别是，我们描述了新的解决方案：快衰减$P^+_3$ -解决方案和$P…
2022-07-25 math.AP
On polyharmonic regularizations of $k-$Hessian equations: Variational methods
本文研究了一类具有Hessian矩阵特征值的边值问题\begin{eqnarray}\nonumber (-1)^αΔ^αu = (-1)^k S_k[u] + λf, \qquad x &\in& Ω\subset \mathbb{R}^N, \\ \nonumber u = \partial_n u = \partial_n^2 u = \cdots = \partial_n^{α-1} u = 0, \qquad x &\in& \partial Ω, \end{eqnarray}，其中$k-$ Hessian $S_k[u]$是Hessian矩阵特征值的$k^{\mathrm{th}}$初等对称多项式，数据$f$服从适当的可和性.我们证明了存在至少两个解决方案，其中至少有一个是孤立的，严格通过变分方法。我们寻找最佳值的$α\in \mathbb{N}$，允许建设这样的存在和多重性理论，并探讨如何一个较弱的定义的非线性允许改善这些结果。
2015-07-20 math.AP math.FA
Qualitative properties of blowing-up solutions of nonlinear elliptic equations with critical Sobolev exponent
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文研究了非线性椭圆方程临界Sobolev指数解的定性性质，通过分析特征值和特征函数的估计，揭示了单泡解的Morse指数及解的渐进行为。
2025-12-16 math.AP
Uniform Estimates in Periodic Homogenization of Fully Nonlinear Elliptic Equations
本文研究完全非线性椭圆型方程周期均匀化的一致$C^{1,α}$和$C^{1,1}$估计。分析是基于紧性方法，其中涉及线性化的运营商在每个近似步骤。由于方程的非线性，线性化的算子涉及在前一步中出现的校正器的Hessian。校正子的Hessian的引入使线性化算子的正则性变差，有时甚至改变其振荡模式。这些问题得到解决，新的近似技术，产生一个精确的分解的均匀化过程中的规则部分和不规则部分，随着统一控制的海森的校正在一个中间的水平。近似技术在线性方程的上下文中甚至是新的。我们的结论不仅适用于凹算子，而且也适用于某些非凹算子。
2021-12-09 math.AP
Error estimates for approximations of nonhomogeneous nonlinear uniformly elliptic equations
得到了非齐次完全非线性一致椭圆型方程的黏性解与δ-黏性解之间的误差估计。主要的假设，除了一致椭圆性，是非线性是Lipschitz连续的空间与线性增长的海森。我们还建立了一个收敛速率的单调和一致的有限差分逼近格式，这样的方程。
2016-03-04 math.AP
Preventing blow up by convective terms in dissipative PDEs
我们研究了对流项对耗散偏微分方程解的整体可解性或有限时间爆破的影响。我们考虑了一维Burger型方程、对流Cahn-Hilliard方程、广义Kuramoto-Sivashinsky方程和KdV型方程的模型例子，我们建立了以下常见场景：添加足够强的（与失稳非线性相比）对流项的加入防止了方程解在有限时间内爆破，使所考虑的系统全局良好-对于足够弱的对流项，方程的有限时间爆破与不含对流项时的情形类似。这类结果在Burger型方程的情况下是已知的，并且是基于最大值原理的。与此相反，我们的结果是基于加权能量估计，不需要考虑的问题的最大值原理。
2015-09-13 math.AP
On viscosity solutions to the Dirichlet problem for elliptic branches of nonhomogeneous fully nonlinear equations
对于依赖于Hessian坐标和空间坐标的标量完全非线性偏微分方程，我们给出了一个一般理论，得到了连续边界条件下相应的狄利克雷问题的比较原理和适定性.特别是，我们对待允许的黏性解的椭圆分支的方程，其中的非线性不需要是单调的所有空间的对称N × N矩阵。一个椭圆分支（在Krylov，1995年的意义上）的方程编码的集值映射从坐标域到椭圆子集的对称矩阵（椭圆映射）。非线性项沿该映射是单调的，退化椭圆型偏微分方程被α微分包含所取代。利用Harvey-Lawson（2009）给出的概念，以逐点方式定义了这类微分包含的弱解.如果椭圆映射是一致上连续的，我们证明了比较原理对这些弱解成立，并且Perron方法给出了相关抽象狄利克雷问题的唯一连续解，只要边界相对于椭圆映射及其对偶在Harvey和Lawson意义下是适当凸的。当映射编码一个给定的偏微分方程的椭圆分支，这些解决方案被证明是可容许的黏性解的偏微分方程问题。各种应用中描述的结构条件，确保所需的椭圆映射的存在。例子包括非完全退化方程和涉及海森特征值及其扰动的方程。在某些情况下，这里采用的方法将被证明是自由操作，而经典的粘度方法可能不会。
2015-05-08 math.AP
On positive solutions of fully nonlinear degenerate Lane-Emden type equations
在有界区域上证明了具有幂型零级扰动的完全非线性退化椭圆型方程正黏性解的存在唯一性结果.这种方程的主部是$\mathcal{P}^-_{k}(D^2u)$或$\mathcal{P}^+_{k}(D^2u)$，某种\lq \lq截断拉普拉斯算子\rq \rq，分别由海森矩阵的$k$特征值的最小和最大部分和给出。关于半线性情况的新现象出现。此外，对于$\mathcal{P}^-_{k}$，我们明确地找到了区分Dirichlet边界条件为零的非平凡解的存在和不存在范围的幂非线性的临界指数$p$.
2018-08-20 math.AP
Nonlinear Stability of Periodic Traveling Wave Solutions of the Generalized Korteweg-de Vries Equation
本文研究了广义Korteweg-de Vries方程四参数周期定态行波解族的轨道稳定性。特别地，我们得到了这样一个解在相应的行波常微分方程的经典作用量的Hessian意义下是轨道稳定的充分条件.我们证明了这个条件是等价的解决方案是谱稳定的扰动的情况下，同一时期的Korteweg-de Vries方程，并在同宿和平衡的解决方案的情况下，幂律非线性的邻域。
2009-02-09 math.AP
Global existence for certain fourth order evolution equations
本文为外延生长中的Hessian方程和薄膜方程建立全局存在性条件，改进了关键空间范数条件。
2023-12-30 math.AP
Ground state energy threshold and blow-up for NLS with competing nonlinearities
考虑了一类具有组合非线性项的非线性薛定谔方程，其中首项为临界聚焦幂型非线性项，微扰为幂型散焦项.我们完全回答了基态能量是否达到的问题，这是一个整体存在和形成奇点之间的阈值。对于任何规定的质量，对于质量超临界或质量临界散焦扰动，基态能量是通过径向对称和减少的解决方案，以实现相关的固定方程。对于质量亚临界扰动，我们表明存在一个临界规定的质量，正是质量的唯一的，静态的，正的解决方案，以相关的椭圆型方程，使基态能量实现任何质量等于或小于的临界。此外，基态能量是不实现的质量大于临界的。作为一个副产品的变分表征的基态能量，我们证明了存在的爆破解决方案在有限的时间内，任何能量低于基态能量阈值。
2020-12-20 math.AP
Neural networks-based backward scheme for fully nonlinear PDEs
提出了一种求解高维全非线性偏微分方程的数值方法。该算法利用多层神经网络通过向后时间归纳法同时估计解及其梯度，而Hessian函数则通过前一步梯度的自动微分来逼近。这种方法扩展到完全非线性的情况下，最近提出的方法在\cite{HPW19}半线性偏微分方程。数值实验表明，该方法在高维情形下具有很好的性能和精度，其中包括控制扩散系数的线性二次控制问题、Monge-Jacobi-Bellman方程和投资组合优化问题.
2021-01-26 cs.NE math.AP math.OC
Log-free estimate of the full nonlinearity in the three-dimensional Navier-Stokes equations outside the diagonal regime
研究三维Navier-Stokes方程对角线区域外完整非线性的贡献，通过六重分部积分、局部Strichartz估计和双线性无epsilon解耦，在整个非对角区域获得了L^1_t H^-1_x范数下无对数损失的先验估计。
2025-10-09 math.AP
Fully Nonlinear Elliptic Grad--Mercier Equations in Weighted Orlicz Spaces
本文研究带斜边界条件的完全非线性椭圆Grad--Mercier型方程在加权Orlicz空间中的存在性和全局正则性，通过渐近分析将全局正则性从极限剖面（即主算子的衰退算子）转移，并推导Hessian的全局加权Orlicz估计和全局Morrey型估计。
2026-05-29 math.AP
Uniform regularity estimates for nonlinear diffusion-advection equations in the hard-congestion limit
本文研究多孔介质型非线性漂移-扩散方程在硬拥塞不可压缩极限下的正则性，放宽漂移项假设并纳入线性扩散，建立压力梯度的稳定 $L^4$ 可和性及压力 Hessian 的 $L^2$ 估计。
2024-05-11 math.AP
Existence results for a fourth order partial differential equation arising in condensed matter physics
我们研究了凝聚态物理中出现的高阶抛物型偏微分方程。它是一个四阶半线性方程，其非线性度是解的黑塞矩阵的行列式。我们考虑这个模型在一个有界区域的实平面和研究其平稳的解决方案时，这个域的几何形状是任意的，当它是单位球和解决方案是径向对称的。我们还考虑了完全抛物型方程的初边值问题。我们总结了我们的结果在这些情况下的解决方案的存在性，并提出了一个开放的问题有关的自相似解决方案的存在性。
2015-03-23 math.AP math.CA
An inverse source problem for a fully nonlinear elliptic equation
National Cheng Kung University（国立成功大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；National Taiwan University（国立台湾大学）
研究完全非线性椭圆方程F(D^2u)=f的反源问题，通过二次线性化结合非线性非退化条件，证明Dirichlet-to-Neumann映射可唯一确定源项。
2026-11-03 math.AP
Asymptotic behavior of solutions for the nonlinear Hartree equation involving the fractional Laplacian
Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
研究带分数阶拉普拉斯算子的非线性Hartree方程在临界指数扰动下解的存在性、爆破行为及爆破点位置，并推广到分数阶Brezis-Nirenberg问题。
2026-06-29 math.AP
Stable Semilinear Elliptic Equations: $\varepsilon$-Regularity à la Brezis and Dimensional Bounds for the Singular Set
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
针对稳定半线性椭圆方程，建立了与非线性性无关的 ε-正则性准则，并基于稳定性势的积分可积性给出了奇异集的 Hausdorff 维数上界，在二维情形证明了最优的 Hessian 估计。
2026-08-26 math.AP
