纤维化的理想值指标：全空间为 $G_{2}$ 旗流形的情形
The ideal-valued index of fibrations with total space a $G_{2}$ flag manifold
AI总结：
本文计算了全空间为 $G_2$ 旗流形的纤维丛在复共轭 $\mathbb{Z}_2$ 作用下的 Fadell-Husseini 指标，并推广到球丛的 $n$ 重积情形，最终将结果应用于离散几何问题。
摘要：
利用 $G_2$-旗流形 $G_2/U(2)_{\pm}$ 的上同调及其作为齐性空间 $G_2/SO(4)$ 上纤维丛的结构，我们计算了这些纤维丛在复共轭给出的 $\mathbb{Z}_2$ 作用下的 $\mathbb{Z}_2$ Fadell-Husseini 指标。此外，考虑 $\widetilde{G}_{4}(\mathbb{R}^{7})$ 上的重言丛 $γ$，我们计算了 $sγ$ 的拉回丛的 $\mathbb{Z}_2$ Fadell-Husseini 指标，其中拉回沿以下映射的复合进行：纤维丛 $G_2/U(2)_{\pm} \to G_2/SO(4)$、$G_2/SO(4)$ 到 $\widetilde{G}_{3}(\mathbb{R}^{7})$ 的嵌入，以及取子空间正交补的映射。这里 $sγ$ 表示 $γ$ 的关联球丛。进一步，我们对 $n$ 重积丛 $sγ^n$ 推导了一般公式并进行了同样的计算。最后，我们将计算结果应用于一个离散几何问题。
英文摘要：
Using the cohomology of the $G_2$-flag manifolds $G_2/U(2)_{\pm}$, and their structure as a fiber bundle over the homogeneous space $G_2/SO(4)$, we compute the $\mathbb{Z}_2$ Fadell-Husseini index of such fiber bundles, for the $\mathbb{Z}_2$ action given by complex conjugation. Also, considering the tautological bundle $γ$ over $\widetilde{G}_{4}(\mathbb{R}^{7})$, we compute the $\mathbb{Z}_2$ Fadell-Husseini index of the pullback bundle of $sγ$ along the composition of the fiber bundle $ G_2/U(2)_{\pm} \to G_2/SO(4)$, the embedding between $G_2/SO(4)$ and $\widetilde{G}_{3}(\mathbb{R}^{7})$, and the map that takes the orthogonal complement of a subspace. Here $sγ$ means the associated sphere bundle of $γ$. Furthermore, we derive a general formula for the $n$-fold product bundle $sγ^n$ for which we make the same computations. We finish our work with an application of our computations in a problem concerning discrete geometry.
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