Partial model categories and their simplicial nerves
在本注记中，我们考虑部分模型范畴，我们的意思是相对范畴，满足一个削弱版本的模型范畴公理只涉及弱等价。更准确地说，部分模型范畴将是一个相对范畴，它具有六分之二的性质，并允许一个3-箭头演算。然后，我们表明，查尔斯Rezk的结果，从单纯模型类别通过采取Reedy的替代其单纯神经的单纯空间是一个完整的Segal空间也适用于这些部分模型类别。我们还注意到，相反，每一个完整的西格尔空间是里德相当于单纯神经的部分模型范畴，实际上是同伦满子范畴的一类图的单纯集。
2013-01-21 math.AT math.CT
Templicial nerve of an A-infinity category
本文针对富集拟范畴理论的发展，构造了Faonte的A∞神经到templicial向量空间的提升，证明其在dg范畴上恢复已知templicial dg神经，且A∞范畴的神经为向量空间中的拟范畴。
2024-11-29 math.AT math.CT
The universality of the Rezk nerve
我们在函数上将每个相关$\infty$ -范畴$(R,W)$关联到一个单纯空间$N^R_\infty(R,W)$，称为它的Rezk神经（Rezk的“分类图”构造的直接推广）。我们证明了该构造的以下局部和全局泛性质：（i）由Rezk神经$N^R_\infty(R,W)$生成的完整Segal空间恰好是对应于局部化$R[[W^{-1}]]$的空间;以及（ii）Rezk神经函子定义了来自相对$\infty$-范畴的$\infty$ -范畴的局部化的等价$RelCat_\infty [[ W_{BK}^{-1} ]] \xrightarrow{\sim} Cat_\infty$到$\infty$ -范畴的$\infty$ -范畴。
2015-10-12 math.AT math.CT
A homotopy coherent nerve for $(\infty,n)$-categories
本文为 $(\infty,n)$-范畴构造同伦相干神经，证明其给出严格丰富范畴与 Segal 范畴对象模型间的右 Quillen 等价，从而统一两种同伦相干图定义。
2024-02-05 math.AT math.CT
Classification diagrams of simplicial categories
本文研究相对单纯范畴所诱导相对 ∞-范畴的分类图，证明其等价于逐层神经，并据此联系同伦一致神经及单纯范畴的逐层局部化。
2025-10-21 math.AT math.CT
A homotopy coherent cellular nerve for bicategories
本文的主题是Leinster提出的双范畴的神经构造，它定义了Joyal范畴$Θ_2$上从双范畴和正规伪函子到预层范畴的完全忠实函子.我们证明了一个双范畴的神经是一个$2$ -拟范畴（一个模型的$(\infty,2)$ -范畴由于阿拉），而且，神经函子限制到右部分的Quillen等价之间的Lack的模型结构的双范畴和Bousfield本地化的阿拉的模型结构的$2$ -拟范畴。在$Θ_2$上的单纯预层范畴上，我们证明了双范畴的Lack模型结构与$(2,2)$ - $Θ$ -空间的Rezk模型结构是Quillen等价的.为此，我们构造了$2$ -拟范畴的同伦双范畴，并证明了$2$ -拟范畴的态射是等价的当且仅当它在对象上本质满射且完全忠实.我们还证明了Ara关于$2$ -拟范畴的模型结构与拟范畴丰富Segal范畴的Hirschowitz-Simpson-Pellissier模型结构之间的Quillen等价性，由此我们推出了关于$2$ -拟范畴的一些结果，包括Ara关于$2$ -范畴弱等价性的一个猜想.
2020-04-12 math.AT math.CT
Simplicial nerve of an A-infinity category
在本文中，我们引入一个函子，称为单纯神经的A-无限范畴，定义在范畴的（小）A-无限范畴的值在单纯集。证明了任意A-无穷范畴的单纯神经是无穷范畴。这种构造在函数上推广了J.Lurie在《高等代数》中提出的微分分次范畴的神经构造。证明了如果微分分次范畴在A. I. Bondal-M.Kapranov意义下是预三角化的，则它的神经在J. Lurie意义下是稳定无穷范畴.
2015-09-08 math.AT math.CT
Comparison of the $n$-categorical nerves
我们的目的是比较严格的$n$ -类别的三个神经函子：街神经，细胞神经和多单纯神经。我们证明了这三个函子在某种适当的意义上是等价的。特别地，它们定义的$n$ -范畴弱等价的类是一致的：它们是等价的。我们给出了这个结果的两个应用：第一个应用指出了一个Dyer-Kan-型等价是一个Dyerason等价;第二个应用是基本的，是Dyerason等价类在严格$n$范畴的对偶下的稳定性。
2022-12-13 math.AT math.CT
A short proof that Rezk's nerve is fully faithful
本文通过简短的证明，展示了完全 Segal anima 与范畴之间的等价性。
2024-09-28 math.AT math.CT
Non-Simplicial Nerves for Two-Dimensional Categorical Structures
Duskin给出了（弱）双范畴的单纯神经的最自然的概念，他证明了单纯集同构于$(2,1)$ -范畴（即具有可逆$2$ -态射的双范畴）的神经当且仅当它是一个拟范畴，该拟范畴对于$3$及更大维度的内角具有唯一的填充符。使用Duskin的技术，我们展示了他的神经如何适用于$(2,1)$类函子，使其成为一个完全忠实的包含$(2,1)$类到单纯集。然后，我们考虑类似的Duskin的结果的扩展几个不同的二维范畴结构，定义和分析神经值的预层类别的基础上$Δ^2$，西格尔的类别$Γ$，和Joyal的类别$Θ_2$。在每一种情况下，我们的神经产生的正是那些满足一定的“角填充”条件的预层，具有用于高维角的独特填充物。将我们的定义推广到更高的维度，并放松这个唯一性条件，我们得到了几种不同类型的高范畴结构的建议模型，这些模型中的每一个都非常类似于拟范畴。特别有趣的是，我们猜想我们的“内Kan $Γ$ -集”是对称monoidal $(\infty,0)$ -范畴，即$E_\infty$ -空间的组合模型。这是一个版本的作者的博士学位。毕业论文，2013年在加州大学伯克利分校完成。包括微小的更正和变更。
2014-01-30 math.AT math.CT
Recognizing quasi-categorical limits and colimits in homotopy coherent nerves
在本文中，我们证明了各种准范畴，其对象是$\infty$ -范畴在一个非常普遍的意义上是完整的：承认限制指标的所有单纯集。这一结果和其他类似的味道遵循一个一般定理，在该定理中，我们描述了所需的数据，以定义一个极限锥的准范畴构造为同伦相干神经。由于所有的准范畴都是这样产生直至等价的，所以这个分析涵盖了一般情况。也就是说，我们表明，准范畴极限锥可以模拟在点集水平的伪同伦极限锥，其形状是由重量的伪极限在同伦连贯图，但定义泛性质等价，而不是同构的映射空间。我们的应用程序遵循的事实，即$(\infty,1)$的分类核心的$\infty$ -宇宙承认加权同伦限制的所有灵活的权重，其中特别包括伪锥的重量。
2019-10-03 math.AT math.CT
The nerve of a crossed module
对范畴交叉模的神经给出了一个明确的描述。
2011-03-31 math.AT
Finite Homotopy Limits of Nerves of Categories
设$I$是具有有限维神经的小范畴，$X\colon I\to Cat$是小范畴的图.我们证明了在Reedy拟自洽条件下，$X$的几何实现的同伦极限本身就是一个范畴的几何实现.这种同伦极限的范畴模型被明确地定义为图的自然变换的范畴。对于偏序集$\bullet\to\bullet\leftarrow\bullet$，我们恢复了Quillen定理$B$（特别是Barwick和Kan版本的Quillen定理$B_2$）提供的同伦回调模型。对于立方形图，这个定理给出了判定范畴立方的几何实现是同伦范畴的一个准则。我们进一步推广这一结果的范畴的等变图。对于作用于$I$的有限群$G$，证明了当$X\colon I\to Cat$具有$G$ -结构时，上述范畴的实现弱$G$ -等价于$X$的实现的同伦极限.对于$G$ -立方图形，这是Quillen定理$B$的等变形式。
2014-10-28 math.AT
Symmetries of the cyclic nerve
本研究以因子化同调视角系统研究$(\n,1)$-范畴的循环神经即Hochschild同调，通过箭图表示编码范畴，识别其对称性并构造非稳定循环迹映射，统一三类循环范畴，给出$n=1$因子化同调的组合描述。
2025-02-23 math.AT math.CT math.KT
Čech complexes for covers of small categories
我们提出了一个组合模拟的神经定理覆盖的小范畴，使用Grothendieck建设。我们应用这个结果证明了有限范畴的欧拉示性数的容斥原理。
2015-08-15 math.AT math.CT
Decomposing the classifying diagram in terms of classifying spaces of groups
分类图是由Rezk定义的，是范畴神经的推广;与神经相反，两个范畴的分类图等价当且仅当范畴等价。本文证明了任何范畴的分类图都可用群的稳定子的分类空间来刻画。我们还证明了有限序集范畴、有限维向量空间范畴和有限集范畴的分类图在群的分类空间上的显式分解。
2019-11-25 math.AT math.CT
Towards the Nerves of Steel Conjecture
本文探讨了局部⊗-三角范畴中关于纤维序列的性质，分析了钢铁神经猜想的成立条件及其实现方式。
2025-08-25 math.AG math.AT math.CT
A Quillen adjunction between globular and complicial approaches to $(\infty,n)$-categories
我们证明了$ω$ -范畴的悬挂结构和复合神经之间的相容性。作为一个激励性的应用，我们在Rezk的完备Segal $Θ_n$ -空间和Verity的$n$ -复集所给出的$(\infty,n)$ -范畴的模型之间建立了一个Quillen对.
2022-06-06 math.AT math.CT
Model Structures on the Category of Small Double Categories
本文给出了小双范畴{ \bf DblCat}上的几种模型结构.我们的模型结构有三个来源。我们首先转移到一个神经分支上。其次，我们把双范畴看作是{ \bf Cat}中的内部范畴，并把通过Grothendieck拓扑定义的各种内部等价作为我们的弱等价.第三，{ \bf DblCat}继承了一个模型结构，作为2-单子上的代数范畴。这些模型结构中的一些是一致的，不同的观点给我们提供了关于凝聚替换和凝聚对象的进一步结果。作为该计划的一部分，我们给出明确的描述和讨论的性质的自由双范畴，商双范畴，双范畴的colimits，几个神经，和水平范畴。
2008-06-12 math.AT math.CT
Dowker Duality for Relations of Categories
我们提出了一个分类的Dowker对偶定理的关系。道克定理指出集合$X$和$Y$的关系$R \subseteq X \times Y$的道克复形同伦等价于转置关系$R^T \subseteq Y \times X$的道克复形。给定小范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$的关系$R$，即$R \colon \mathcal{R} \to \mathcal{C} \times \mathcal{D}$形式的函子，我们定义了双单纯矩形神经$ER$和Dowker神经$DR$ .双单纯集$ER$的对角$d(ER)$通过自然投影$d(π_R) \colon d(ER) \to DR$映射到单纯集$DR$。我们引入了一个标准的关系的类别，确保从对角线的双单纯矩形神经的Dowker神经的投影是一个弱等价。满足这个条件的关系称为Dowker关系。若范畴的关系$R$及其转置关系$R^T$都是Dowker关系，则Dowker神经$DR$和$DR^T$是弱等价单纯集.为了证明我们的分类所引入的抽象，我们给出两个应用。第一个应用是证明Quillen定理A可以被认为是Dowker对偶的一个例子。在第二个应用程序中，我们考虑了一个单纯复$K$与顶点集$V$和表明，几何实现的$K$自然同伦等价的几何实现的单纯集的一组$n$ -单纯的功能$\{0,1,\dots,n\}\to V$，其图像是一个单…
2023-03-28 math.AT
Homology of strict $ω$-categories
在这篇论文中，我们比较了$ω$-范畴的"经典"同调（定义为它的Street神经的同调）和它的多图同调。更确切地说，我们证明，这两个同源性一般不一致，并呼吁同源连贯的特定严格的$ω$-类别的多相同源性和同源性的神经不一致。追求的目标是找到抽象和具体的标准来检测同源连贯的$ω$-范畴。例如，我们证明了所有的（小）类别，被认为是严格的$ω$-类别与单位细胞以上的维度1，是同调一致的。我们还引入了无泡2-范畴的概念，并猜想一个相干2-范畴是同调相干的当且仅当它是无泡的。我们还证明了有关自由严格$ω$-范畴在多道图上的重要结果（也称为computads），例如，如果F是从C到D的离散Conduché $ω$-函子，如果D是自由严格$ω$-范畴，则C也是.总之，本文利用Quillen的模型范畴理论和Grothendieck的导子理论等抽象同伦代数工具，建立了一个研究严格$ω$-范畴同调性的一般框架。
2021-04-26 math.AT math.CT
On the homotopy type of a cofibred category
本文描述了核范畴产生双单纯集的两种途径。“同伦神经”是Segal范畴的经典神经的自然扩张，它构成了全范畴同伦型的另一种单纯描述。如果纤维化是分裂的，那么可以构建“分裂的神经”，这是一种从独特的闭合分裂中出现的较小变体。利用我们的构造解释了Quilason和Quillen的一些经典定理，并利用分裂神经建立了关于小范畴的同伦和同调的新结果.
2011-06-10 math.AT
Fundamental pushouts of n-complicial sets
本文主要研究在饱和$n$ -复集给出的$(\infty,n)$ -范畴的一个特殊实现中，严格$n$ -范畴之间的某些关系是如何保持的.在这个模型中，我们证明了$n$ -范畴的$(\infty,n)$-范畴神经与$1$ -范畴悬挂和楔形是同伦相容的。作为一个应用，我们证明了某些在$n$ -范畴中编码复合的推出是饱和$n$ -复集的同伦推出。
2020-05-12 math.AT math.CT
Iterated Monoidal Categories
我们提出了迭代幺半范畴的概念，并证明了这个概念与迭代闭路空间的概念是精确对应的。具体地说，这样一个范畴的神经的群完备化是一个迭代回路空间，而自由迭代幺半范畴产生了与经典小立方体运算相同同伦类型的有限单纯运算，这些运算用于参数化迭代闭路空间的更高H空间结构。迭代幺半范畴范畴包含了一个特殊的情形，即辫状张量范畴的概念，如在量子群理论中所使用的。
1998-08-18 math.AT math.CT
Models for dagger $(\infty,1)$-categories III: Univalent flagged dagger $(\infty,1)$-categories and unitarily complete dagger Segal anima
Chiba University（千叶大学）
该文将 dagger 模型的 (∞,1)-范畴与万有带标记 dagger (∞,1)-范畴等同，构造伴随对证明其等价性，将万有性对应酉完备性，还等同了万有化与酉完备化。
2026-10-14 math-ph math.AT math.CT
2-Dimensional Categories
这本书是一个介绍2-范畴和bicategories，假设只有最基本的方面的范畴论。回顾了基本的范畴论，然后系统地讨论了2-/双范畴，粘贴图，松弛函子，2-/双极限，Duskin神经，2-神经，双范畴中的分离和单子，2-单子，双等价，双范畴的Yoneda引理，以及双范畴的相干定理。接下来讨论格罗滕迪克纤维化和格罗滕迪克结构，然后是三范畴，monoidal双范畴，格雷张量积和双范畴。一些基本的，但很难找到的结果的完全详细的证明是第一次。有练习和大量的动机和解释，这本书对初学者和专家都很有用。
2020-06-17 math.AG math.AT math.CT
Generalized Homotopy theory in Categories with a Natural Cone
在真同伦理论中，为了得到研究拓扑空间的无穷远的同伦群，对经典同伦理论中的点概念进行了推广。这个想法：“以任意对象为基点“，甚至“任意态射为零态射”，在大多数代数同伦理论中都可以得到发展。特别地，具有自然锥的范畴具有通过相对同伦关系得到的广义同伦理论。建立了广义同伦群和它们的正合列，使得相应的经典点同伦群是它们的特例。
2012-03-02 math.AT math.CT
Lax colimits and free fibrations in $\infty$-categories
定义并讨论了$\infty$ -范畴中图的松弛和加权余极限，证明了与函子相关的余笛卡尔纤维化是由其松弛余极限给出的.一个关键的成分，独立的利益，是一个简单的表征的自由笛卡尔纤维相关的一个函子的$\infty$ -类别。作为这些结果的一个应用，我们证明了松弛可表示函子在指数化下保持不变，并且证明了$\infty$ -范畴之间的可表示笛卡尔纤维化的全空间是可表示的，从而将Makkai和Paré的一个定理推广到了$\infty$ -范畴的情形.最后，在附录中，我们观察到（2，1）-范畴之间的伪函子通过Duskin神经产生$\infty$ -范畴之间的函子。
2020-10-31 math.AT math.CT
Sketchable infinity categories
本文将草图理论同伦相干地推广到$\infty$-范畴，证明了可展示$\infty$-范畴是极限草图模型，可及$\infty$-范畴是任意草图模型，并为多种$\infty$-范畴给出了具体草图。
2025-11-03 math.AT math.CT
On the equivalence between Lurie's model and the dendroidal model for infinity-operads
我们比较了两种方法的无穷操作同伦理论。其中之一，理论的树状集，是基于一个扩展的理论单纯集和无穷范畴取代单纯树。另一种是基于Segal范畴Gamma神经上的标记单纯集的同伦理论。在本文中，我们证明，对于没有常数的操作，这两个理论是等价的，在精确的意义上存在一个之字形的奎伦等价的各自的模型类别之间。
2015-01-29 math.AT math.CT
Complicial sets, an overture
这些笔记的目的是介绍的直觉动机的概念“complicial集”，一个单纯集与某些显着的“薄”单形，见证了组成关系的单形之间的边界。通过改变标记约定，复杂集可以用于为每个$n \geq 0$（包括$n=\infty$）建模$(\infty,n)$ -类别。出于这个原因，复杂集提供了一个肥沃的设置思考弱无限维范畴在不同的维度。这一提议提出了三个行为：第一次介绍单纯模型的更高阶范畴;第二次定义的街道神经，其中嵌入严格的$ω$ -类别作为“严格”复杂集;第三次探索一个重要的饱和条件，在复杂集的标记单形，并提出了各种模型结构，捕捉其基本同伦理论。对于那些想要更深入地了解这些概念的读者，各处都有建议的练习。
2016-10-21 math.AT math.CT
Intersecting families of sets and the topology of cones in economics
经济学中的两个经典问题，市场均衡的存在性和社会选择函数的存在性，在这里通过与经济相关的一族圆锥的性质来形式化。最近建立了求解前者的一个充要条件是锥族的非空交，求解后者的一个这样的条件是其子族的并的非圆性。我们显示出一个意想不到的，但明确的两个问题之间的联系，通过建立一个对偶性质的同调群的神经定义的家庭锥。特别是，我们证明了锥族的交集是非空的当且仅当每个子族都有非循环工会，从而确定了解决这两个经济问题的两个条件。除了他们在经济学中的应用，结果显示显着扩展几个经典定理，提供统一和简单的证明：Helly定理，Caratheodory的表示定理，Knaster-Kuratowski-Marzukiewicz定理，Brouwer的不动点定理，和Leray定理的非循环覆盖。
1993-10-01 math.AT math.OC
Functorial invariants of trees and their cones
我们研究的范畴，其对象是树（有或没有根），其态射是压缩。我们证明了相应的逆变模范畴是Noether的，并研究了这些范畴上的两个自然模族。第一种方法把一棵树带到它的无序构形空间的同调的一个分次段，或者带到它的锥的无序构形空间的同调。第二种方法是将树取为它的锥的倒易平面的交同调的分次段，这是一个向量空间，其维数由Kazhdan-Lusztig系数给出。我们证明了这些模块的有限生成结果，这使我们能够获得的结果的增长贝蒂数的配置空间和Kazhdan-Lusztig系数的图形拟阵。
2019-07-23 math.AG math.AT math.CO
