Algorithms and Complexity on Indexing Founder Graphs
Massimo Equi, Tuukka Norri, Jarno Alanko, Bastien Cazaux, Alexandru I. Tomescu, Veli Mäkinen
备注：
This is an extended full version of WABI 2020 paper (https://doi.org/10.4230/LIPIcs.WABI.2020.7), whose preprint is in arXiv:2005.09342, and of ISAAC 2021 paper (to appear)
研究了标号图中字符串的匹配问题。以前的研究表明，除非正交向量假设（OVH）是假的，否则无法在强次二次时间内解决这个问题，也无法在多项式时间内索引图以有效地回答查询（Equi et al. ICALP 2019，SOFSEM 2021）。这些条件下界甚至覆盖具有二进制字母表的确定性图，但是自然也存在易于索引的图类：例如Wheeler图（Gagie et al. Theor.比较科学2017）覆盖图承认基于Burrows-Wheeler变换的索引方案。然而，识别一个图是否是Wheeler图是NP完全的（Gibney，Escherachan，ESA 2019）。我们提出了一种方法来缓解惠勒图的建设瓶颈。而不是从一个任意的图开始，我们研究从多序列比对（MSA）引起的图形。弹性退化弦（Bernadini et al. SPIRE 2017，ICALP 2019）可以被看作是这样的图，我们在这里介绍它们的推广：弹性创始人图。我们首先证明，即使是这样的诱导图是很难索引下OVH。然后，我们介绍了两个子类，重复自由和半重复自由图，这是很容易索引。我们给出了一个线性时间算法来构造一个无重复的非弹性创始人图从一个无间隙的MSA，和（参数化）近线性时间算法来构造半无重复（无重复，分别）弹性创始人图从一般MSA。最后，我们证明了无重复弹性创始人图承认减少惠勒图在多项式时间。
英文摘要：
We study the problem of matching a string in a labeled graph. Previous research has shown that unless the Orthogonal Vectors Hypothesis (OVH) is false, one cannot solve this problem in strongly sub-quadratic time, nor index the graph in polynomial time to answer queries efficiently (Equi et al. ICALP 2019, SOFSEM 2021). These conditional lower-bounds cover even deterministic graphs with binary alphabet, but there naturally exist also graph classes that are easy to index: E.g. Wheeler graphs (Gagie et al. Theor. Comp. Sci. 2017) cover graphs admitting a Burrows-Wheeler transform -based indexing scheme. However, it is NP-complete to recognize if a graph is a Wheeler graph (Gibney, Thankachan, ESA 2019).
We propose an approach to alleviate the construction bottleneck of Wheeler graphs. Rather than starting from an arbitrary graph, we study graphs induced from multiple sequence alignments (MSAs). Elastic degenerate strings (Bernadini et al. SPIRE 2017, ICALP 2019) can be seen as such graphs, and we introduce here their generalization: elastic founder graphs. We first prove that even such induced graphs are hard to index under OVH. Then we introduce two subclasses, repeat-free and semi-repeat-free graphs, that are easy to index. We give a linear time algorithm to construct a repeat-free non-elastic founder graph from a gapless MSA, and (parameterized) near-linear time algorithms to construct semi-repeat-free (repeat-free, respectively) elastic founder graphs from general MSAs. Finally, we show that repeat-free elastic founder graphs admit a reduction to Wheeler graphs in polynomial time.
近年来，人们对条件下界的证明进行了大量的研究，以揭示类P的内部结构。这些条件下界是基于许多流行的关于研究问题的理论。最常用的假设之一是著名的强指数时间假设（SETH）。事实证明，在许多情况下，基于SETH证明的条件硬度通过一个中间问题-正交向量（OV）问题。几乎所有关于条件下界的研究工作都集中在时间复杂度上。很少有人关注空间复杂度。在最近的一项工作中，Goldstein et al. [WADS[2017]为证明空间及其与时间的相互作用的条件下界奠定了基础。在这种精神下，研究OV的数据结构变体（称为\emph{OV indexing}）的空间复杂度是很有吸引力的。在这个问题中，给定大小为$c\log{n}$的$n$布尔向量用于预处理。作为一个查询，给出一个向量$v$，我们需要验证是否有一个输入向量与它正交。这个OV索引问题本身就很有趣，但它也可能对已知有条件困难的问题有很强的影响，就时间复杂度而言，基于OV。基于此，本文从多个方面对OV标引进行了研究。我们给出了一些空间有效的算法的问题，显示空间和查询时间之间的权衡，描述如何解决其报告的变体，揭示了这个问题和研究良好的SetDisjointness问题之间的一个有趣的连接，并演示了如何可以更有效地解决随机输入。
在\emph{weighted sequence}中，对于序列的每个位置和字母表的每个字母，指定该字母在该位置出现的概率。加权序列通常用于表示不精确或不确定的数据，例如，在分子生物学中，它们以位置权重矩阵的名称而闻名。给定概率阈值$\frac1z$，如果$X$中位置$i,\ldots,i+m-1$处的$P$的字母的概率乘积至少为$\frac1z$，则我们说长度为$m$的字符串$P$出现在加权序列$X$中的位置$i$处。在这篇文章中，我们考虑一个\emph{indexing}变种的问题，在其中，我们要预处理一个加权序列，以回答多个模式匹配查询。我们提出了一个$O(nz)$ -时间结构的$O(nz)$ -大小的索引的加权序列的长度$n$在一个恒定大小的字母表，回答模式匹配查询的最佳，$O(m+Occ)$的时间，其中$Occ$是报告的发生次数。我们的数据结构的基石是一个新的构造家庭的$\lfloor z \rfloor$特殊字符串，携带的信息，发生在加权序列中的所有字符串具有足够的概率。我们获得了一个加权指数，其复杂性与Barton et al.（CPM 2016）之前已知的最有效指数相同，但我们的构造要简单得多。在我们的索引的基本形式所需的最复杂的算法工具是后缀树，我们使用它来开发一个新的，更简单的所谓的属性匹配问题的索引。我们提供了数据结构的实现。我们的构造还使我们能够显著改善Bis…
