Entropy in A Closed Manifold and Partial Regularity of Mean Curvature Flow Limit of Surfaces
受文献[CM 1]中Colding-Minicozzi的启发，我们定义了一般环境黎曼流形中子流形的（中曲率流）熵.特别地，这个熵等价于具有非负里奇曲率的闭环境流形中的闭子流形的面积增长。此外，该熵沿具有非负截面曲率和平行里奇曲率的闭黎曼流形中的中曲率流是单调的。作为应用，我们证明了具有非负截面曲率和平行里奇曲率的三维黎曼流形中曲面的中曲率流极限的部分正则性.
2020-08-03 math.DG
Improved relative volume comparison for integral Ricci curvature and applications to volume entropy
我们给出了几个Bishop-Gromov相对体积与积分里奇曲率的比较，改进了\cite{PW1}的结果.使用这些体积的比较，我们得到的体积熵的估计积分里奇曲率，大大提高了早期的估计\cite{Au2}，并给出了应用程序的代数熵的基本群。我们还将\cite{BBCG}的几乎最小体积刚度推广到积分里奇曲率.
2021-12-17 math.DG
On bounds of entropy and total curvature for ancient curve shortening flows
全曲率和熵的界是中曲率流的两个常见条件。我们证明了这两个假设对于一类古代完全嵌入光滑平面曲线缩短流是等价的，这类流是一维中曲率流。作为应用，我们给出了嵌入在$\mathbb{R}^2$中的具有有限熵的古光滑完备非紧曲线缩短流在无穷远处切流唯一性的一个简短证明。
2024-10-02 math.DG
Ricci curvature, entropy and optimal transport
这是关于最优输运和黎曼几何之间相互作用的课堂讲稿。在黎曼流形上，概率测度空间中熵沿最优输运的凸性表征了里奇曲率的下界。然后讨论了满足这一凸性条件的一般度量测度空间的几何性质。
2010-09-17 math.AP math.CA math.DG
A note on the entropy of mean curvature flow
超曲面的熵由所有具有不同中心和尺度的F-泛函的上确界给出，并且在刚性运动和膨胀下不变。作为Huisken单调性公式的结果，熵在中曲率流下是不增加的。本文证明了具有某种低熵的紧致平均凸超曲面是圆球面的同构。我们还将证明一个光滑的低熵自收缩器恰是一个超平面。
2014-12-24 math.DG
On the Entropy of Parabolic Allen-Cahn Equation
我们定义了一个（平均曲率流）熵的氡措施在$\mathbb{R}^n$或在一个紧凑的流形。此外，我们还证明了抛物型Allen-Cahn方程测度熵的单调性公式。如果环境流形是一个具有非负截面曲率和平行里奇曲率的紧致流形，这是抛物Allen-Cahn方程的一个新的单调性公式的一个结果.作为应用，我们证明了当初始数据的熵足够小（小于一维驻波能量的两倍）时，抛物型Allen-Cahn方程的极限测度在未来所有时间都具有单位密度.
2021-02-08 math.AP math.DG
The log-Minkowski inequality of curvature entropy for non-symmetric convex bodies
在\cite{mazeng}中，作者引入了曲率熵的概念，并在对称性假设下证明了曲率熵的平面log-Minkowski不等式.本文证明了一般凸体曲率熵的平面log-Minkowski不等式。证明了$\mathbb R^{2}$中一般凸体的锥体积测度唯一性、体积的log-Minkowski不等式和曲率熵的log-Minkowski不等式的等价性.
2022-11-26 math.DG math.MG
Ancient finite entropy flows by powers of curvature in $\mathbb{R}^2$
我们通过嵌入熵有限的$\mathbb{R}^2$中的曲率幂证明了非位似古流的存在性。我们确定了流的Morse指标和收缩算子的线性化算子的核，并利用线性化算子的不稳定本征函数构造了古流。
2020-12-18 math.DG
Entropy and a convergence theorem for Gauss curvature flow in high dimension
本文证明了高维正则高斯曲率流的一致正则性估计。在$C^\infty$ -拓扑的解收敛到光滑严格凸孤子作为$t$接近无穷大的结果得到这些估计连同早期的结果安德鲁斯。通过研究一个新的熵泛函的流量的估计。
2013-06-04 math.DG
Entropy and generic mean curvature flow in curved ambient spaces
本文将Colding和Minicozzi关于中曲率流的通有奇点的一些结果推广到了曲环境空间。为此，我们利用加权单调性公式推导出嵌入到$\R^\ell$中的熵的“几乎单调性”。我们还研究了熵泛函在某些情况下的连续性。
2017-06-29 math.DG
On compactness of Kähler metrics with bounded entropy and bounded $L^{2n+1}$ scalar curvature
本文针对Chen和Cheng关于紧Kähler流形上Kähler度量势的估计结果，研究放宽标量曲率有界性条件的问题，核心是将标量曲率的有界假设弱化为$L^{2n+1}$有界，推进了Kähler度量紧性相关的先验估计研究。
2023-11-04 math.DG
Bounds on the volume entropy and simplicial volume in Ricci curvature $L^p$ bounded from below
设$(M,g)$是一个具有里奇曲率几乎有界的紧致流形，$π:\bar{M}\to M$是一个正规的黎曼覆盖.我们表明，对于任何非负函数$f$上的$M$，平均值$føπ$上的测地球的$\bar{M}$是可比的平均值$f$上的$M$。结合对数体积估计，这意味着在里奇曲率$L^p$的几个拓扑不变量（体积熵，单纯体积，第一贝蒂数和介绍的基本组）的界限-有界从下面。
2008-11-26 math.DG
Relative expander entropy in the presence of a two-sided obstacle and applications
本文研究了由中曲率流的自膨胀引起的相对熵的概念。特别是，我们得到了这个数量的存在性，任意超曲面之间的两个不相交的自膨胀渐近到同一锥。这使我们能够开始发展变分理论的相对熵功能的相关障碍问题。我们还得到了Ilmanen提出的中曲率流的前向单调性公式。
2020-03-30 math.AP math.DG
Einstein manifolds of non-negative sectional curvature and entropy
在任意维光滑闭单连通流形上，我们发现了非负截面曲率的爱因斯坦度量存在的障碍。将经典的莫尔斯理论与测地流的曲率张量的拓扑熵的一个新的上界相结合，得到了这些结果.
2000-02-22 math.DG math.DS
Monotonicity of Perelman $\mathcal{W}$-Entropy of Mean Curvature Flow
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文通过修改Ecker的定义并应用Harnack不等式，证明了均曲率流中Perelman $\mathcal{W}$-熵随时间单调递减，并给出了该熵的刚性定理。
2025-11-28 math.DG
Mean curvature flow with generic low-entropy initial data II
本文证明在 $\mathbb{R}^4$、$\mathbb{R}^5$（熵 $\leq 2$）或 $\mathbb{R}^6$（熵 $\leq λ(\mathbb{S}^1)$）中，一般闭嵌入超曲面的平均曲率流仅产生一般奇点。
2024-12-20 math.DG
Epsilon regularity under scalar curvature and entropy lower bounds and volume upper bounds
例子表明，在数量曲率和Perelman熵上具有几乎欧几里德下界的黎曼流形在任何度量空间意义下都不需要接近于欧几里得空间.在这里，我们证明，如果另外假设一个几乎欧几里德上界的体积测地球，那么单位球在这样的空间是格罗莫夫-豪斯多夫关闭，实际上双-霍尔德和双- $W^{1,p}$同胚，欧几里德球。在同样的假设条件下，证明了一个紧性和极限空间结构定理。
2022-11-08 math.DG
Quantitative rigidity of almost maximal volume entropy for both RCD spaces and integral Ricci curvature bound
紧致测度空间的体积熵是度量在无穷远处提升到其泛覆盖的指数增长性。对于具有负里奇曲率下界和直径上界的紧致黎曼$n$ -流形，已知它存在几乎极大体积熵当且仅当它是双纯的且Gromov-Hausdorff接近于双曲空间形式.证明了具有负里奇曲率下界的$\operatorname{RCD}$ -空间和具有负$L^p$ -积分里奇曲率下界的黎曼流形的几乎极大体积熵的定量刚性.
2022-11-02 math.DG math.MG
Approximation of mean curvature flow with generic singularities by smooth flows with surgery
我们构造光滑的中曲率流与手术，近似弱中曲率流，只有球形和颈部收缩奇点。这是通过结合Choi-Haslhofer-Hershkovits和Choi-Haslhofer-Hershkovits-White最近的工作来实现的，他们建立了这种奇点的规范邻域，并对手术流设置了适当的障碍。一个限制参数，然后用来控制这些近似流。最后，我们改进了低熵Schoenflies猜想的熵界。
2022-10-14 math.AP math.DG
Yamabe flow on non-compact manifolds with unbounded initial curvature
在初始度量$g_0=u_0g_M$共形等价于一个完备的背景度量$g_M$的条件下，证明了维数为$m\geq3$的非紧流形$M$上Yamabe流的整体存在性.我们不需要初始曲率界限。特别地，$(M,g_0)$的数量曲率可以从上方和下方无界而没有生长条件。
2018-11-19 math.AP math.DG
Minimizers of the sharp Log entropy on manifolds with non-negative Ricci curvature and flatness
考虑标度不变的，尖锐的对数熵（泛函）介绍了Weissler \cite{W:1}非紧流形上的非负里奇曲率。它也可以被看作是一个锐化版本的Perelman的W熵\cite{P:1}在平稳的情况下。证明了它有极小元当且仅当流形与$\R^n$等距。利用这个结果，证明了一类具有非负里奇曲率的非紧流形等距于$\R^n$ .与\cite{An:1}、\cite{Ba:1}和\cite{BKN:1}中关于渐近平坦流形和渐近局部欧氏（ALE）流形的平坦性结果相比，它们关于曲率张量的衰减或积分条件被度量在无穷远处在$C^1$意义下收敛到欧氏度量的条件所取代.不需要度量的二阶条件。
2017-08-03 math.DG
The Entropy of Ricci Flows with Type-I Scalar Curvature Bounds
本文推广了在有限时间奇点处满足I型数量曲率条件的里奇流理论。在[Bam16]中，Bamler证明了第一类重标度过程将产生一个奇异收缩梯度Ricci孤子，其奇点余维为4。我们证明了基于奇异时间的共轭热核的熵收敛于奇异孤子的孤子熵，并利用这一结果用热核密度函数刻画了里奇流解的奇异集.这推广了以前只知道与较强的假设的I型曲率界的结果。我们还证明了在4维情形下，奇异Ricci孤子在远离多个点处是光滑的，这些点是圆锥光滑轨道奇点
2022-02-28 math.DG
Alexandrov spaces with non negative curvature and displacement convexity of the entropy tensor
Sorbonne Université（索邦大学）
将熵张量推广到曲率有下界的Alexandrov空间，通过构造满足上循环条件和第二变分公式的平行平凡化，证明非负曲率等价于熵张量的矩阵位移凸性。
2026-06-25 math.DG math.FA math.MG
The entropy method under curvature-dimension conditions in the spirit of Bakry-Émery in the discrete setting of Markov chains
我们考虑离散空间上的连续时间（不一定是有限的）马尔可夫链，并确定了一个曲率维数不等式，条件$CD_Υ(κ,\infty)$，它作为一个自然的模拟经典Bakry-Emery条件$CD(κ,\infty)$在几个方面。特别地，它是为证明修正的对数Sobolev不等式的经典方法量身定做的，通过计算和估计熵沿马尔可夫链的生成元产生的热流的二阶时间导数.我们证明了曲率界的意义上的$CD_Υ$下张量保持，讨论链接到其他概念的离散曲率，并考虑各种例子，包括完全图，超立方体和生死过程。我们进一步考虑功率型熵和确定，在同样的精神，一个自然的CD条件，导致贝克纳不等式。的$CD_Υ$条件也被证明是兼容的扩散设置，在这个意义上，相应的混合动力过程享受张量化属性。
2020-07-02 math.AP math.DG math.PR
Sharp Entropy Bounds for Self-Shrinkers in Mean Curvature Flow
本文研究了平均曲率流中具有非平凡同调的自收缩子的几何不等式问题，证明了此类自收缩子的熵具有由圆球面熵给出的尖锐下界，并刻画了等号成立的条件。
2018-10-14 math.DG
Almost maximal volume entropy rigidity for integral Ricci curvature in the non-collapsing case
在这篇注记中，我们将证明在非坍缩情形下具有下积分里奇曲率界的流形的几乎最大体积熵刚性：给定$n, d, p>\frac{n}{2}$，存在$δ(n, d, p), ε(n, d, p)>0$，使得对于$δ<δ(n, d, p)$，$ε<ε(n, d, p)$，如果紧致$n$ -流形$M$满足积分里奇曲率有下界$\bar k(-1, p)\leq δ$，直径$diam(M)\leq d$和体积熵$h(M)\geq n-1-ε$，然后$M$的通用覆盖是Gromov-Hausdorff接近双曲空间形式$\Bbb H^k$，$k\leq n$ ;如果另外$M$的体积，$vol(M)\geq v>0$，然后$M$是双纯的和Gromov-Hausdorff接近双曲流形其中$δ, ε$也依赖于$v$。
2022-01-20 math.DG
Mean curvature flow with generic initial data II
我们表明，中曲率流的一般闭曲面在$\mathbb{R}^3$避免多重性1切线流，不是圆球/圆柱。特别是，我们表明，任何非圆柱形的自收缩与圆柱形的结束不能出现一般。
2023-02-16 math.AP math.DG
Scalar curvature and volume entropy of hyperbolic 3-manifolds
本文证明任意闭双曲3-流形上存在数量曲率不小于-6但体积熵严格大于2的黎曼度量，从而构造出Agol–Storm–Thurston猜想的反例。
2025-06-04 math.DG math.GT
Lower Bound for Weighted Intermediate Ricci Curvature and Tensorial Entropy Convexity
本研究引入加权中间里奇曲率，建立其下界的等价刻画，推广相关结果并对比不同学者的刻画，为几何分析领域提供了新的理论进展。
2026-08-05 math.DG
Low Entropy and the Mean Curvature Flow with Surgery
在这篇文章中，我们推广了中曲率流与手术的平均凸超曲面的熵小于$Λ_{n-2}$。特别地，不假设2-凸性。接下来，我们展示了仅具有初始凸性假设$H - \frac{\langle x, ν\rangle}{2} > 0$的手术流程，并且作为应用，我们使用手术流程来展示熵小于$Λ_{n-2}$的光滑$n$维闭合自收缩器与圆形$n$球是同位素的。
2020-11-26 math.DG math.GT
A characterization of the rate of change of $Φ$-entropy via an integral form curvature-dimension condition
设$M$是一个无边界的紧致黎曼流形，$V:M\to \mathbb R$是一个光滑函数.用$P_t$和${\rm d}μ=e^V\,{\rm d} x$表示二阶微分算子$L=Δ+\nabla V\cdot\nabla$的半群和对称测度。对于定义在区间$\mathcal I$上的适当凸函数$Φ:{\mathcal I}\to\mathbb R$，我们考虑对任意$f\in C^\infty(M,\mathcal I)$，$P_t f$（关于$μ$）的$Φ$ -熵.我们表明，积分形式的曲率维数条件是等价的$Φ$ -熵的变化率的估计。我们也将这个结果推广到完备黎曼流形上的有界光滑域。
2015-01-08 math.DG
Perelman's entropy on ancient Ricci flows
在[ZY2]中，第二作者证明了Perelman的断言，即对于一个具有有界非负曲率算子的古里奇流，有界熵等价于在所有尺度上的非坍缩。在本文中，我们继续这一讨论。结果表明，曲率算子的非负性不是一个必要条件，我们只需要假设哈密尔顿迹Harnack的一个推论。此外，我们还证明了这个条件对具有非负里奇曲率的稳定里奇孤子也成立。
2021-07-07 math.DG
Local Entropy and Generic Multiplicity One Singularities of Mean Curvature Flow of Surfaces
本文证明了用重数闭自收缩器建模的$\mathbb R^3$中闭嵌入曲面的中曲率流的通有奇点重数为1。结合文献[CM 12]中Colding-Minicozzi的结果，我们得出结论：在闭自收缩体模型$\mathbb R^3$中，闭嵌入曲面的中曲率流的唯一通有奇点是一个重数为1的球面.我们还构建了特定的扰动流，以避免那些奇点的多重性高于一。我们的结果部分解决了著名的多重性1猜想的Ilmanen。
2021-07-23 math.DG
$d_p$ convergence and $ε$-regularity theorems for entropy and scalar curvature lower bounds
本文针对数量曲率和熵下界趋于零的黎曼流形序列，提出 $d_p$ 收敛概念，证明 $\varepsilon$-正则性定理和紧性定理，并给出 Sobolev 嵌入及 $L^p$ 数量曲率界等应用。
2021-01-11 math.AP math.DG
Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula
本文的第一部分证明了一般黎曼流形上p-调和函数的局部内部梯度和边界梯度估计。在此基础上，根据R. Moser，我们证明了一个关于满足体积急剧增长假设的超曲面的1/H（逆中曲率）流的水平集形式的弱解的存在性定理.在本文的第二部分中，我们考虑了p-Laplace方程的两个抛物型类似方程，并证明了这两个方程在非负里奇曲率流形上的正解的Li-Yau型梯度估计.对于其中一个方程，我们还证明了一个熵单调性公式，推广了第二作者的线性热方程的一个较早的这样的公式。作为这个公式的应用，我们证明了具有非负里奇曲率和尖锐的L ^p-对数Sobolev不等式的完备黎曼流形必等距于欧几里得空间.
2007-11-14 math.AP math.DG
Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy
研究了离散空间上马尔可夫链的里奇曲率的一个新概念。这个概念依赖于熵的测地凸性，类似于洛特、斯特姆和维拉尼为测地测度空间引入的概念。为了适用于离散设置，沃瑟斯坦度量的作用由不同的度量接管，具有连续时间马尔可夫链是熵的梯度流的性质。利用这个概念的里奇曲率，我们证明离散类似物的基本结果由巴克里-埃默里和奥托-维拉尼。此外，我们证明了张量化下的里奇曲率的界限。作为特例，我们得到了离散超立方体的锐里奇曲率的下界.
2012-06-22 math.DG math.FA math.MG
Sharp Entropy Bounds for Plane Curves and Dynamics of the Curve Shortening Flow
我们证明了一个封闭的浸入平面曲线的全曲率$2πm$的熵至少$m$倍的嵌入圆的熵，只要它产生的曲线缩短流（CSF）下的I型奇点。我们构造了全曲率$2πm$的封闭浸入平面曲线，其熵小于$m$乘以嵌入圆的熵。作为一个应用程序，我们扩展了Colding-Minicozzi的概念，一个通用的中曲率流封闭浸没平面曲线通过构建一个分段CSF，其唯一的奇点是嵌入的圆和II型奇点。
2020-12-25 math.DG
Curvature-dimension condition, rigidity theorems and entropy differential inequalities on Riemannian manifolds
Key Laboratory RCSDS, CAS（中国科学院随机复杂系统动力学与控制重点实验室）
本文通过信息论方法研究黎曼流形上的曲率-维度条件、刚性定理和熵微分不等式，提供了新的等价特征化和流形特征化。
2026-03-05 math.DG
Entropy-information inequalities under curvature-dimension conditions for continuous-time Markov chains
在可逆连续时间马尔可夫链的情形下，$CD_Υ$条件最近被证明是扩散情形下Bakry-Émery条件在有限维项下证明Li-Yau不等式和在正曲率界下证明修正的对数Sobolev不等式的一个一致的类似.在这篇文章中，我们研究的情况下，两者都是给定的，一个有限维项和一个正曲率界。为此，我们引入了$CD_Υ(κ,F)$条件，其中维数项由所谓的$CD$ -函数$F$表示。我们得到的函数不等式的熵的Fisher信息，我们将称为熵信息不等式。进一步，我们推导了熵信息不等式在超压缩性界、Lipschitz函数的指数可积性、有限直径界和著名Nash不等式的一个修正形式等方面的应用.
2020-10-13 math.DG math.FA math.PR
On the Shannon entropy power on Riemannian manifolds and Ricci flow
本文证明了完备黎曼流形上具有适当曲率维数条件的Laplacian或Witten Laplacian算子的热方程的Shannon熵幂在紧致超里奇流上的存在性.在适当的曲率维数条件下，证明了Shannon熵幂的刚性模型是具有Hessian孤子的Einstein流形或拟Einstein流形。此外，我们还证明了G. Perelman关于里奇流的理论，并指出相应的刚性模型是收缩的Ricci孤子.作为应用，我们证明了具有非负（Bakry-Emery）里奇曲率和最大体积增长条件的完备黎曼流形上的熵等周不等式.
2020-01-02 math.DG
Volume Entropy and Scalar Curvature near a Hyperbolic Metric
Michigan State University（密歇根州立大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文计算闭双曲流形上约束标量曲率下体积熵的Hessian，证明三维负定及熵上界，并给出高维符号判据与鞍点存在性。
2026-10-06 math.DG
The $L_p$-floating area, curvature entropy, and isoperimetric inequalities on the sphere
该研究将欧氏几何中的$L_p$-仿射表面积等概念推广到球面空间，引入球面凸体的$L_p$-浮动面积与曲率熵，证明相关等周不等式、对偶公式与单调性，并推广到非负常曲率空间形式。
2024-11-03 math.DG math.MG
Flexibility of entropies for surfaces of negative curvature
本文研究了具有固定亏格$\geqslant 2$的光滑闭曲面$M$，其黎曼度量$g$为负曲率且总面积固定.第二作者证明了$g$的测测地流的拓扑熵大于或等于总面积相同的$M$上常负曲率度量的拓扑熵，且大于或等于$g$的测测地流关于Liouville测度的度量熵。只有在负曲率不变的情况下，等式才成立。我们证明了这些是唯一的限制的拓扑熵和度量熵值的度量的负曲率。
2017-09-29 math.DG math.DS
Continuous dependence of curvature flow on initial conditions
我们研究的曲率流，也被称为曲线缩短流，并通过水平集流，这是一个弱的曲率流制定的2-球面上的约旦曲线的演变。我们表明，曲线的演变连续依赖于初始曲线的Fréchet距离的情况下，曲线平分球。这甚至在时间无限大时也成立。这建立在约瑟夫劳尔的工作存在性和唯一性的解决方案的曲率流问题的领域时，初始曲线是不光滑的。
2021-06-16 math.AP math.DG math.MG
Isoperimetric inequality on Finsler metric measure manifolds with non-negative weighted Ricci curvature
本文在具有非负加权 Ricci 曲率的 Finsler 度量测度流形上，通过定义体积熵和第二 Cheeger 常数，证明了精确等周不等式，并以此推导出 Finsler Laplacian 第一特征值的 Cheeger-Buser 型不等式。
2025-07-11 math.DG
Entropy, noncollapsing, and a gap theorem for ancient solutions to the Ricci flow
本文讨论了里奇流古解的渐近熵。我们证明了古代的解决方案，这可以被视为一个熵对应横田的工作的间隙定理。此外，我们还证明了在一定的假设下，对于具有非负曲率算子的完全古解的一个时间片，有限渐近熵蕴涵着在所有尺度上的kappa-非坍缩.这为Perelman的更一般的断言提供了证据，即在具有非负曲率算子的完全古解上，有界熵等价于kappa-非坍缩。
2017-06-06 math.DG
Minimal entropy and collapsing with curvature bounded from below
我们证明了如果一个闭流形M有一个F-结构（可能秩为0），那么它的最小熵为零。特别是，如果M承认一个非平凡的圆作用，就会出现这种情况。作为推论，我们得到了允许F-结构的闭流形的单纯体积为零。我们还表明，如果M承认一个F-结构，那么它崩溃的曲率有界从下面。这又意味着M以有界的数量曲率坍缩，或者等价地，它的Yamabe不变量是非负的。我们表明，F-结构的秩为零，而经常出现：每一个紧凑的复杂的椭圆曲面承认一个以及任何单连通5-流形。我们利用这些结果来研究最小熵问题。我们证明了以下两个定理：设M是由CP^2（具有任意方向）、S^2（\times）、S^2和K3曲面的拷贝的连通和得到的。则M的最小熵为零。此外，M容许拓扑熵为零的度量当且仅当M同构于S^4，CP^2，S^2 \times S^2，CP^2 #CP^2或CP^2 #（-CP^2）。最后，假设M是闭单连通5-流形。则M的最小熵为零。此外，M容许一个拓扑熵为零的度量当且仅当M同构于S^5，S^3 \times S^2，S^2上的非平凡S^3-丛或Wu流形SU（3）/SO（3）。
2000-11-15 math.DG math.DS
Entropy and lowest eigenvalue on evolving manifolds
本文确定了一般发展流形上共轭热方程的经典Boltzmann-Shannon熵的前两阶导数。基于Boltzmann-Shannon熵的二阶导数，我们构造了抽象几何流中的Perelman F熵和W熵。当满足一个技术条件时，熵的单调性成立。在具有非负里奇曲率的静态黎曼流形上，当周围空间具有非负截面曲率时，Hamilton里奇流、List推广里奇流、Müller里奇流与调和映射流耦合以及Lorentz中曲率流都满足这个条件.在最低本征值随时间可微的额外假设下，得到了抽象情形下带位势的Laplace-Beltrami算子最低本征值的演化公式.
2014-08-20 math.DG
Gaussian-Weighted Curvature Gaps for Self-Shrinkers
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Nanjing University（南京大学）
本文利用法坐标函数和加权Poincaré不等式，证明嵌入自收缩子高斯加权L²曲率积分的下界，并结合熵间隙定理得到非球面闭自收缩子的严格曲率间隙，在二维情形推广到完整嵌入自收缩子。
2026-06-15 math.DG
Local Poincaré inequalities from stable curvature conditions on metric spaces
证明了在各种曲率维数条件下的局部Poincaré不等式在测量格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是稳定的.我们考虑的第一类空间是Lott和Villani定义的弱CD（K，N）空间。我们研究的第二类空间由这样的空间组成，在这些空间中，我们有一个流满足Rényi熵泛函$E_N(ρm) = -\int_X ρ^{1-1/N} dm$或Shannon熵泛函$E_\infty(ρm) = \int_X ρ\log ρdm$的演化变分不等式。我们还证明了如果Rényi熵泛函在Wasserstein空间中是强位移凸的，那么在空间的每一点上，我们对空间的几乎所有点都有唯一的测地线。
2011-07-25 math.AP math.DG math.FA
Volume growth, entropy and stability for translating solitons
研究了中曲率流中平移孤子的体积增长、熵和稳定性。首先，我们证明，每一个完整的适当沉浸翻译至少有线性体积增长。然后，利用Huisken的单调性公式，计算了碗孤子和死神的熵。在小熵的情况下，我们还给出了$\mathbf{R}^3$中平移算子的曲率估计.最后，我们估计了平移算子的稳定性算子$L$的谱，并给出了$L$ -稳定平移算子的刚性结果.
2016-12-15 math.DG
On the entropy of closed hypersurfaces and singular self-shrinkers
自收缩子是$\mathbf{R}^{n+1}$中中曲率流的特殊解，它们通过相似收缩而演化，作为流的奇异性模型。超曲面的熵是由Colding-Minicozzi引入的中曲率流的李雅普诺夫泛函，并且是他们的一般中曲率流理论的基础。本文证明了Colding-Ilmanen-Minicozzi-White的一个猜想，即$\mathbf{R}^{n+1}$中的任何闭超曲面的熵至少等于圆球的熵，在任意维数$n$中成立. Bernstein-Wang用一个精心构造的弱流，对$n\leq 6$的情况，以前已经建立了这个结果。本文的主要技术成果是一个扩展的冷Minicozzi的分类熵稳定的自收缩奇异设置。特别是，我们表明，任何熵稳定的自收缩的奇异集满足Wickramasekera的$α$结构假设必须是一个圆形的圆柱$\mathbf{S}^k(\sqrt{2k})\times \mathbf{R}^{n-k}$。
2016-07-26 math.DG
Compact Mean Curvature Flows from Non-Compact Initial Data
University of Tennessee（田纳西大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
该研究在ℝⁿ⁺¹中构造了源自非紧初始数据、存在有限时间的紧嵌入平均曲率流解。
2026-10-12 math.DG
On mean curvature flow with driving force starting as singular initial hypersurface
研究了在奇异初始超曲面下，轴对称闭超曲面在驱动力作用下按其中曲率演化的问题。我们用水平集方法研究这个问题。给出了界面肥化与非肥化的判别准则。
2017-12-27 math.DG
