Corners with polynomial side length
本文研究整数网格中不含多项式角结构的集合大小上界，通过多维定量拼接结果和 box 范数降次论证，将无角集合与特定无三项算术级数集合的已知结果统一推广到多项式边长的情形。
2024-09-02 math.CO math.NT
Larger Corner-Free Sets from Better NOF Exactly-$N$ Protocols
如果整数平面网格$[N] \times [N]$的一个子集不包含$(x,y), (x+δ,y), (x,y+δ)$形式的三元组，则该子集被称为无角点的。已知这样的集合具有极小的密度，但是这个密度可以有多大仍然是未知的。以前最好的构造是基于Behrend的$[N]$的大子集，没有$3$ -项等差数列。在这里，我们提供了几十年来对这个下限的第一次实质性改进。我们解决这个问题的方法是基于通信复杂性理论。在$3$ -玩家确切地- $N$问题中，玩家需要决定$x+y+z=N$是否为输入$x,y,z$和固定的$N$。这是在多人前额数字（NOF）模型中考虑的第一个问题。尽管这是一个基本问题，但多年来没有取得任何进展。直到最近才首次发现了显式协议，但迄今为止尚未实现复杂性的改善。本文提出了第一个改进的协议，完全$N$问题。这也是通信复杂性的算法思想在加法组合学中结出果实的第一个重要例子。
2021-10-03 math.CO
Larger Corner-Free Sets from Combinatorial Degenerations
有大量重要的拉姆齐型组合问题，与复杂性理论中的中心问题密切相关，可以用固定的小（有向或无向）超图的最大独立集的大小的渐近增长来表示，也称为香农容量。这方面的一个重要例子是在多方通信复杂性的背景下研究的额头上的数字（NOF）模型的角落问题。这个问题和NOF连接的版本在Linial，Pitassi和Shraibman（ITCS 2019）和Linial和Shraibman（CCC 2021）的最近工作中引起了很大的兴趣（和进展）。我们介绍和研究一般的代数方法下界的香农容量的有向超图通过组合退化，一种组合的“近似”的子图，起源于研究矩阵乘法在代数复杂性理论（并发挥重要作用），但我们使用一种新的方式。使用组合退化方法，我们通过在$Ω(3.39^n/poly(n))$大小的$F_2^n \times F_2^n$中显式构造无角点子集，在角点问题上取得了进展，这改进了Linial，Pitassi和Shraibman（ITCS 2019）之前的下限$Ω(2.82^n)$，并使我们更接近最佳上限$4^{n - o(n)}$。我们的新建设的角落自由集意味着一个改进的NOF协议的Eval问题。在一组$G$的Eval问题中，三个参与者需要确定他们的输入$x_1, x_2, x_3 \in G$和是否为零。我们发现在$F_2^n$上Eval问题的NOF通信复杂性度至多为$0.24n + O(\log n)…
2021-11-16 cs.CC math.CO
Cop-Win Graphs: Optimal Strategies and Corner Rank
我们研究了在有限图上一个警察和一个强盗之间的警察和强盗的博弈。如果警察可以在图上强制获胜，则该图被称为cop-win。我们描述了一个程序，我们称之为角排名，在一个图上进行，它分配一个正整数或$\infty$到每个顶点。我们给一个表征的Cop-win的角落排名，也表明，著名的表征Cop-win通过拆卸排序如下从我们的工作。从角落排名，我们可以确定图的捕获时间，即警察需要赢得的回合数。我们描述了一类最优的警察策略，我们称之为较低的方式策略，和一类最优的强盗策略，我们称之为较高的方式策略。粗略地说，在低层策略中，警察把强盗推到低层的顶点，而在高层策略中，强盗移动到最高层的顶点，这是“安全的”。“虽然这些策略本身很有趣，但它们本身就是我们证明的工具。我们研究了Lower Way策略的各种性质。
2017-03-10 cs.DM math.CO
The number of $k$-dimensional corner-free subsets of grids
$k$维网格$\{1,2, \cdots, N\}^k$的子集$A$被称为$k$维无角点，如果它不包含对于某些$a \in \{1,2, \cdots, N\}^k$和$d > 0$的形式为$\{ a \} \cup \{ a + de_i : 1 \leq i \leq k \}$的点集，其中$e_1,e_2, \cdots, e_k$是$\mathbb{R}^k$的标准基.我们通过$c_k(N)$定义了$\{1,2, \cdots, N\}^k$的$k$维无角子集的最大尺寸。在本文中，我们证明了$k$ -维网格$\{1,2, \cdots, N\}^k$的$k$ -维无角子集的数量是最多$2^{O(c_k(N))}$的$N$的无穷多个值。我们的主要工具的证明是一个过饱和的结果$k$ -维角集的大小$Θ(c_k(N))$和超图容器的方法。
2022-03-03 math.CO
Quasipolynomial bounds for the corners theorem
本文证明了有限阿贝尔群中无角子集大小的拟多项式上界，并由此推导出 Exactly-N 在 3-player 和 4-player Number-on-Forehead 模型中非确定性通信复杂度的下界，以及 3 维角问题着色版本的下界。
2025-07-14 cs.CC math.CO math.NT
On hyperbolic corners and unit-area triangles in planar sets of large measure
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究避免特定点配置（面积为1/2的直角三角形的顶点）的可测集，证明其测度上界为O(R^2/(log R)^c)，并给出下界Ω(R log R)；对于避免固定面积三角形的集合，将上界改进至c<1/2，部分推进了Erdős猜想。
2026-05-28 math.CA math.CO
Convexity of distinct sum sets
我们研究的组合概念，其中给定一组格点之一，采取了一组的所有总和的子集的一个固定的大小，我们问，如果给定的一组来自凸格多面体是否所产生的一组也来自凸格多面体。我们得到一个积极的结果，在2维和负面的结果，在更高的维度。我们将其应用于切角多面体。
2021-07-30 math.CO
Corners in Quasirandom Groups via Sparse Mixing
本文通过提出扩展Kelley-Lovett-Meka工作的一般组合定理，将拟随机群上无角点集合的密度上界改进至拟多项式级，并显著提升3玩家额前数字模型中置换函数通信复杂度的下界。
2025-04-10 cs.CC math.CO
Upper bounds on the growth rates of hard squares and related models via corner transfer matrices
本文研究了硬正方形格子气的增长率，它等价于正方形格子上独立集的数目，以及两个相关的模型--非攻击王和读写隔离存储器。我们使用组合数学，统计力学和线性代数的技术来证明这些增长率的上界。我们从Calkin和Wilf的转移矩阵特征值界出发，用线性代数中的Collatz-Wielandt公式来定义转移矩阵特征值界。为了获得一个近似的特征向量，我们使用一个从巴克斯特的角传递矩阵形式主义，优化西野和Okunishi的角传递矩阵重正化群方法的anterior。这导致了一个上界算法，它不再需要指数记忆，因此比直接计算Calkin-Wilf界要快得多。此外，它是非常可并行的，因此允许我们对以前最知名的上界进行戏剧性的改进。在所有情况下，我们减少了4-6个数量级的上限和下界之间的差距。
2014-11-27 cond-mat.stat-mech math.CO
New lower bounds for cardinalities of higher dimensional difference sets and sumsets
令$d \geq 4$是自然数，并且令$A$是$\mathbb{R}^d$的有限非空子集，使得$A$不包含在超平面的平移中。在这种情况下，我们表明，\[ |A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- δ}), \]的一些绝对常数$δ>0$，只依赖于$d$。这提供了一个尖锐的主项，因此回答了Ruzsa和Stanchescu的问题，直到$O_{d}(|A|^{1- δ})$错误项。我们还证明了$\mathbb{R}^d$中限制型差集和非对称和集的新的下界。
2022-11-30 math.CO math.NT
Cross-bifix-free sets in two dimensions
一个方阵T的二维双固定（简称双固定）是T的一个正方形子矩阵，它出现在T的左上角和右下角。这使我们能够扩展的定义的bifix-free词和交叉bifix-free的词集的二维结构。在本文中，我们穷举生成所有的双双固定自由的方阵，我们构造了一个特殊的不可扩展的交叉双双固定自由的方阵集。此外，我们提供了一个格雷码列出这个集合。
2015-02-18 cs.DM math.CO
Boxes, extended boxes, and sets of positive upper density in the Euclidean space
我们证明了在足够大的维度上具有正的上Banach密度的集合包含三个特定的高维模式的所有足够大的扩张的全等副本。这些模式是：固定的$n$维矩形框的$2^n$顶点，相同的顶点用完成三项等差数列的$n$点扩展，并且相同的顶点用完成三点角的$n$点扩展。我们的结果提供了共同的推广几个欧几里德密度定理从文献中。
2020-08-27 math.CA math.CO
A lower bound for the size of Kakeya sets with respect to hyperplanes in $\mathbb{F}_q^n$
我们证明了一个子集的$\mathbb{F}_q^n$，其中包含一个超平面在任何方向上的大小至少为$q^{n}-O(q^2)$。
2017-05-29 math.CO
Improved lower bound on the size of Kakeya sets over finite fields
在最近的一次突破中，Dvir证明了$\F^n$中的每个Kakeya集必须至少具有$c_n |\F|^n$的基数，其中$c_n \approx 1/n!$。对于一个常数$β> 0$，我们将这个下界改进为$β^n |\F|^n$。这就把前导常数的增长固定在正确的形式上，作为$n$的函数。
2008-08-22 math.CO
Cutting corners
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（伊诺波利斯大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出了一种结合指数Ramsey集的新方法，改进了禁止等边三角形的色数估计，并推导了其他组合问题的结论。
2026-01-31 math.CO math.MG
Lower bounds for simplicial covers and triangulations of cubes
我们证明了多面体$P$的极小单纯覆盖的大小是$P$的极小三角剖分的大小的下界，包括具有额外顶点的三角剖分。然后，我们利用这一事实来研究立方体的最小三角剖分，我们提高了覆盖和三角剖分的下界，在4到至少12维（可能更多的维度）。重要的成分是一个分析的数量外面临的一个单一的立方体可以有一个指定的尺寸和体积，和一个表征的角落单纯形在其外面临的。
2003-10-10 math.CO math.MG
An Omega(n^2) Lower Bound for Random Universal Sets for Planar Graphs
一个集合$U\subseteq \reals^2$是$n$ -泛的，如果所有的$n$ -顶点平面图都有平面直线嵌入到$U$中.我们证明了，如果$Q \subseteq \reals^2$由随机和均匀地从单位正方形中选择的点组成，那么$Q$必须具有基数$Ω(n^2)$，以便以高概率成为$n$ -普适的。这表明，概率方法，至少在其基本形式，不能用于建立一个通用集上的$o(n^2)$上限。
2019-09-11 cs.CG cs.DM math.CO
On distance sets, box-counting and Ahlfors-regular sets
我们得到了平面离散Ahlfors-正则指数集$s>1$的钉扎距离集（稠密子集）的计盒估计。作为推论，我们改进了Orponen最近的一个结果，证明了如果$A$是维数为$s>1$的Ahlfors正则集，则几乎所有$A$的钉扎距离集都具有较低的计盒维数$1$ .我们还表明，如果$A,B\subset\mathbb{R}^2$有豪斯多夫维数$>1$和$A$是Ahlfors-正则的，那么$A$和$B$之间的距离集已经修改了较低的计盒维数$1$，这使得$B=A$在不同的方向上改进了Orponen的结果，通过降低包装维数到修改的较低的计盒维数。证明涉及遍历理论的思想，依赖于CP过程和投影的理论。
2017-05-21 math.CA math.CO math.DS
