Variations on twists of tuples of hyperelliptic curves and related results
令$f\in\Q[x]$是次数为$\geq 3$的无平方多项式，$m\geq 3$是正奇数。基于我们以前的研究，我们证明了存在一个函数$D_{1}\in\Q(u,v,w)$，使得曲线\begin{equation*} C_{1}:\;D_{1}y^2=f(x),\quad C_{2}:\;y^2=D_{1}x^m+b,\quad C_{3}:\;y^2=D_{1}x^m+c, \end{equation*}的Jacobian在$\Q(u,v,w)$上都有正秩。同样，我们证明了存在一个函数$D_{2}\in\Q(u,v,w)$，使得曲线\begin{equation*} C_{1}:\;D_{2}y^2=h(x),\quad C_{2}:\;y^2=D_{2}x^m+b,\quad C_{3}:\;y^2=x^m+cD_{2}, \end{equation*}的雅可比行列式在$\Q(u,v,w)$上都是正秩的.此外，如果$f(x)=x^m+a$对于某些$a\in\Z\setminus\{0\}$，我们证明了存在一个函数$D_{3}\in\Q(u,v,w)$，使得曲线\begin{equation*} C_{1}:\;y^2=D_{3}x^{m}+a,\quad C_{2}:\;y^2=D_{3}x^m+b,\quad C_{3}:\;y^2=x^m+cD_{3}, \end{equa…
2014-01-03 math.NT
On Diophantine $m$-tuples related to primitive elements of finite fields
School of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications（南京邮电大学理学院）
本文研究与有限域本原元相关的丢番图\(m\)元组，给出\(\mathbb{F}_q\)上\(\mathcal{P}\)-丢番图\(m\)元组数量\(N_m\)的渐近公式，并证明当\(q\)足够大时存在这样的\(m\)元组。
2026-07-27 math.CO math.NT
Some universal quadratic sums over the integers
设$a,b,c,d,e,f\in\mathbb N$与$a\ge c\ge e>0$，$b\le a$与$b\equiv a\pmod2$，$d\le c$与$d\equiv c\pmod2$，$f\le e$与$f\equiv e\pmod2$。如果任何非负整数都可以用$x,y,z\in\mathbb Z$写成$x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2$，则有序元组$(a,b,c,d,e,f)$被称为在$\mathbb Z$上通用。最近，Z W. Sun在$\mathbb Z$上找到了这种通用元组的所有候选者。在本文中，我们使用的理论三元二次型表明，44个具体元组$(a,b,c,d,e,f)$在孙的候选人名单确实是通用的$\mathbb Z$。例如，我们证明了$(16,4,2,0,1,1)$在$\mathbb Z$上的普适性，它与形式$x^2+y^2+32z^2$有关。
2020-01-11 math.NT
On the asymptotic density of $k$-tuples of positive integers with pairwise non-coprime components
本文利用多变量算术函数卷积方法，研究分量两两不互素及含指定数量互素对的正整数 $k$ 元组计数，给出渐近公式并回答、推广前人结果。
2024-12-06 math.CO math.NT
Note on a problem of Nathanson related to the $φ$-Sidon set
设$φ(x_{1}, \ldots, x_{h})=c_{1} x_{1}+\cdots+c_{h} x_{h}$是域$\mathbf{F}$中的系数的线性形式，并且设$V$是$\mathbf{F}$上的向量空间。$V$的一个非空子集$A$是$φ$-Sidon集，如果对于所有$h$ -元组$\left(a_{1}, \ldots, a_{h}\right) \in A^{h}$和$\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{h}^{\prime}\right) \in A^{h}$，$φ\left(a_{1}, \ldots, a_{h}\right)=φ\left(a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{h}^{\prime}\right)$蕴涵PDMATHABMSPDMATHABMT.我们称$A$为$B$的多项式扰动，如果对某些$r>0$和正整数$k_0$，$|a_k-b_k|< k^r$对所有整数$k \geq k_0$成立.本文证明了对于给定的集合$B$，存在一个整数的$φ$-Sidon集合$A$，它是$B$的多项式扰动。这对Nathanson最近提出的一个问题给出了肯定的回答。同时也证明了其它一些结果。
2021-11-30 math.NT
Power values of sums of certain products of consecutive integers and related results
设$n$为非负整数，并将$p_{n}(x)=\prod_{i=0}^{n}(x+i)$。本文的第一部分研究了丢番图方程$$ y^m=p_{n}(x)+\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x), $$的整数解的存在性，其中$m\in\N_{\geq 2}$和$a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{k}<n$是已知的.该方程可以看作是Erdens-Selfridge丢番图方程$y^m=p_{n}(x)$的推广。我们给出了关于上述方程整数解的一些一般有限性结果。特别地，如果$n\geq 2$与$a_{1}\geq 2$，那么我们的方程只有100个整数解。在本文的第二部分中，我们研究了方程$$ y^m=\sum_{i=1}^{k}p_{a_{i}}(x_{i}), $$的$m=2, 3$，它可以被看作是一个添加剂版本的方程考虑Erdensys和格雷厄姆。特别是，我们证明，如果$m=2, a_{1}=1$或$m=3, a_{2}=2$，那么对于每个$k-1$元组的正整数$(a_{2},\ldots, a_{k})$有无穷多个整数的解决方案。
2018-09-12 math.NT
Joint ergodicity of fractional powers of primes
我们建立了多个遍历平均的平均收敛与不同的分数幂的素数和相关的多个递归结果的迭代。我们的主要结果的一个结果是，每一个具有正上密度的整数集合都包含$\{m,m+[p_n^a], m+[p_n^b]\}$形式的模式，其中$a,b$是正的非整数，$p_n$表示$n$ -th素数，如果$a$或$b$是自然数，则该性质失败。我们的方法是基于最近的标准，联合遍历的序列集合和大部分的证明是专门获得良好的估计相关的多重遍历平均。数论的输入是素数$k$ -元组个数的上界，这些元组由初等筛法估计和素数在圆中的分数幂的等分布结果得出。
2022-05-18 math.CO math.DS math.NT
Proof of a conjecture by Starr and log-concavity for random commuting permutations
本文证明Starr关于给定联合轨道数的交换置换元组计数渐近猜想，并据此确认典型区间内的对数凹性，同时发展多重Ramanujan和与多极点鞍点渐近方法。
2025-06-07 hep-th math.CO math.NT
