Kostka 半群及其 Hilbert 基
The Kostka semigroup and its Hilbert basis
AI总结：
本文研究 Kostka 半群的 Hilbert 基判定问题，利用 Gale-Ryser 定理提出 KGR 图与保守子树准则，刻画 Hilbert 基分拆宽度及相关锥的极射线，并证明结论不能推广至 Littlewood-Richardson 半群。
摘要：
Kostka 半群由具有正 Kostka 系数、至多含 r 个部分的分拆对组成。对于该半群，判定一个元素是否属于 Hilbert 基是一个 NP 完全问题。我们借助关于列联表的 Gale-Ryser 定理，引入 KGR 图和保守子树，作为成员资格的判定准则。在主要应用中，我们证明：若一个分拆对属于 Hilbert 基，则两个分拆的宽度至多为 r。我们还对相关多面体锥的极射线进行了分类；这些射线对应于 Hilbert 基的一个（严格）子集。在附录中，第二和第三作者表明，我们关于 Kostka 半群的主要结果的一个自然推广不能延伸到 Littlewood-Richardson 半群。这进一步给出了一个反例，反驳 P. Belkale 最近关于控制非零共形块的半群的一个推测。
英文摘要：
The Kostka semigroup consists of pairs of partitions with at most r parts that have positive Kostka coefficient. For this semigroup, Hilbert basis membership is an NP-complete problem. We introduce KGR graphs and conservative subtrees, through the Gale-Ryser theorem on contingency tables, as a criterion for membership. In our main application, we show that if a partition pair is in the Hilbert basis then the partitions are at most r wide. We also classify the extremal rays of the associated polyhedral cone; these rays correspond to a (strict) subset of the Hilbert basis. In an appendix, the second and third authors show that a natural extension of our main result on the Kostka semigroup cannot be extended to the Littlewood-Richardson semigroup. This furthermore gives a counterexample to a recent speculation of P. Belkale concerning the semigroup controlling nonvanishing conformal blocks.
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