关于具有有限平方类数的域的符号长度
On the Symbol Length of Fields with finite Square Class Number
AI总结：
本文研究平方类有限的域上的 Pfister 形式数量与 n-符号长度，通过有限域上向量空间相关对象的组合论证给出上界，并重新发现可由 Bruno Kahn 未证明结果推出的一个上界。
摘要：
设 $F$ 是一个特征不为 $2$ 且平方类有限的域。通过对与有限域上向量空间相关的对象应用组合论证，我们推导出 $F$ 上 Pfister 形式数量的一个上界。此外，我们计算了 $F$ 的 $n$-符号长度（$n\in\mathbb N$）的上界，即最小的整数 $\mathrm{sl}_n(F)\geq 0$，使得对每个二次型 $ϕ\in \mathsf I^n(F)$，存在某个 $0\leq k\leq \mathrm{sl}_n(F)$ 以及 Pfister 形式 $π_1,\ldots, π_k$，满足 $φ\equiv π_1+\ldots+π_k\mod \mathsf I^{n+1}(F)$。特别地，我们重新发现了一个上界，该上界也可以从 Bruno Kahn 未给出证明的一个结果中推导出来。
英文摘要：
Let $F$ be a field of characteristic not $2$ with finitely many square classes. Using combinatorial arguments applied to objects related to vector spaces over finite fields, we deduce an upper bound for the number of Pfister forms over $F$. Moreover, we compute upper bounds for the $n$-symbol length $F$ ($n\in\mathbb N$), i.e., the smallest integer $\mathrm{sl}_n(F)\geq 0$ such that to each quadratic form $ϕ\in \mathsf I^n(F)$ there exists some $0\leq k\leq \mathrm{sl}_n(F)$ and Pfister forms $π_1,\ldots, π_k$ such that $φ\equiv π_1+\ldots+π_k\mod \mathsf I^{n+1}(F)$. In particular, we rediscover a bound that can also be deduced from a result by Bruno Kahn that he stated without proof.
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