Christian Le Merdy, Edward McDonald
Let $1<p<\infty$ and let $n\geq 1$. It is proved that a function $f:{\mathbb R}\to {\mathbb C}$ is $n$-times Fréchet differentiable on ${\mathcal S}^p$ at every self-adjoint operator if and only if $f$ is $n$-times differentiable, $f',f'',\ldots,f^{(n)}$ are bounded and $f^{(n)}$ is uniformly continuous.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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GÂteaux-Differentiability of Convex Functions in Infinite Dimension
众所周知，在$R^n$中，凸连续函数在某点的G{<$}teaux（因此Fr{é}chet）可微性等价于在该点的偏导数的存在性。我们证明了这一结果自然地推广到某些无限维向量空间，特别是具有Schauder基的巴拿赫空间。
Higher order differentiability of operator functions in Schatten norms
本文建立了由定义在固定可分Hilbert空间上的连续纯量函数$f$和自伴算子所产生的算子函数的高阶$\mathcal{S}^p$ -可微性$1<p<\infty$的下列结果：（i）$f$在每个有界自伴算子处是$n$次连续Fréchet $\mathcal{S}^p$ -可微的当且仅当$f\in C^n(\mathbb{R})$ ;（ii）如果$f',\ldots,f^{(n-1)}\in C_b(\mathbb{R})$和$f^{(n)}\in C_0(\mathbb{R})$，则$f$是$n$ ×连续Fréchet $\mathcal{S}^p$ -可微的在每个自伴算子;（iii）如果$f',\ldots,f^{(n)}\in C_b(\mathbb{R})$，则$f$是$n-1$ ×连续Fréchet $\mathcal{S}^p$ -可微的和$n$ × Gâteaux $\mathcal{S}^p$ -可微的在每个自伴算子。我们还证明了，如果$f\in B_{\infty1}^n(\mathbb{R})\cap B_{\infty1}^1(\mathbb{R})$，则$f$是$n$次连续Fréchet $\mathcal{S}^q$ -可微的，$1\le q<\infty$，在每个自伴算子.这些结果推广和推广了[10]中的类似结果到任意的$n$和无界算子，并实质上推广了[2，…
Gâteaux differentiability on non-separable Banach spaces
本文讨论了R.费尔普斯关于可分巴拿赫空间上的Lipschitz函数到不可分情形的Gâteaux可微性。该定理的推广对于一般的不可分巴拿赫空间是不可能的，如Larman所示。因此，我们将研究一些重要的非可分空间。我们考虑了不可可分空间$\ell^{\infty}(\mathbb{R})$的一个范数，证明了它与上述定理命题是一致的.我们还考虑了其他例子如$L^{\infty}(\mathbb{R})$和$NBV[a,b]$，在所有情况下显示了它们的$G$ -可微集和这些集的一些性质。所有上述，密切遵循菲尔普斯定理的假设，这将在可分离的情况下扩展到Asplund空间上的秩函数，并在不可分离的情况下，投射极限和局部Lipschitz柱面函数。
Let $W$ be a finite reflection group. A $W$-invariant function of class~$C^{\infty}$ may be expressed as a functions of class $C^{\infty}$ of the basic invariants. In finite class of differentiability, the situation is not this simple. Let~$h$ be the greatest Coxeter number of the irreducible components of $W$ and $P$ be~the Chevalley mapping, if $f$ is an invariant function of class $C^{hr}$, and $F$ is the function of invariants associated by $f=F\circ P$, then $F$ is of class $C^r$. However if~$F$ is of class $C^r$, in general $f=F\circ P$ is of class $C^r$ and not of class $C^{hr}$. Here w…
Higher order $\Sc^2$-differentiability and application to Koplienko trace formula
设$A$是可分Hilbert空间中的自伴算子，$K$是自伴Hilbert-Schmidt算子，$f\in C^n(\mathbb{R})$是自伴Hilbert-Schmidt算子.我们建立了$φ(t)=f(A+tK)-f(A)$是$n$ -次连续可微的$\mathbb{R}$在Hilbert-Schmidt范数，提供要么$A$是有界的或衍生物$f^{(i)}$，$i=1,\ldots,n$，是有界的。作为二阶$\Sc^2$ -可微性的一个应用，我们将Besov类$B_{\infty1}^2(\R)$中的Koplienko迹公式推广到了除差$f^{[2]}$允许某种Hilbert空间因子分解的函数$f$.
We establish, for $1 < p < \infty$, higher order $\mathcal{S}^p$-differentiability results of the function $φ: t\in \mathbb{R} \mapsto f(A+tK) - f(A)$ for selfadjoint operators $A$ and $K$ on a separable Hilbert space $\mathcal{H}$ with $K$ element of the Schatten class $\mathcal{S}^p(\mathcal{H})$ and $f$ $n$-times differentiable on $\mathbb{R}$. We prove that if either $A$ and $f^{(n)}$ are bounded or $f^{(i)}, 1 \leq i \leq n$ are bounded, $φ$ is $n$-times differentiable on $\mathbb{R}$ in the $\mathcal{S}^p$-norm with bounded $n$th derivative. If $f\in C^n(\mathbb{R})$ with bounded $f^{(n)…
Differentiability of monotone maps related to non-quadratic costs
本文研究非二次齐次成本下单调映射的正则性，通过建立局部 $L^\infty$ 估计证明其几乎处处可微，并揭示其与有界形变映射的联系及 Hölder 连续性。
The Frolicher--Kriegl differentiabilities as a particular case of the Bertram--Glockner--Neeb construction
我们证明了顺序$k$可微类$k=0,1,...\infty$在“弧生成”的解释Lipschitz理论的分化Frolicher和Kriegl可以得到特殊情况下的一般建设由Bertram，Glockner和Neeb导致$C^k$可微性从一个给定的$C^0$概念。
Let $\mathcal{L}(X;Y)$ be the space of bounded linear operators from a Banach space $X$ to a Banach space $Y$. Given an operator-valued function $u:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathcal{L}(X;Y)$, suppose that every orbit $t\mapsto u(t)x$ has a regularity property (e.g. continuity, differentiability, etc.) on some interval $(t_x,\infty)$ in general depending on $x\in X$. In this paper we develop an abstract set-up based on Baire-type arguments which allows, under certain conditions, removing the dependency on $x$ systematically. Afterwards, we apply this theoretical framework to several diffe…
On Yamamuro's inverse and implicit function theorems in terms of calibrations
对Frechet空间E=C^{ \infty }（S^1）和光滑的R：R到R，我们证明了x映射到\circ x的伴随映射E到E满足Yamamuro的反函数定理中的连续BΓ-可微条件，仅当R是仿射的.通过较复杂的例子，我们也一般地讨论了用这类简单映射检验所提出的逆函数和隐函数定理的适用性的重要性。
Higher order $\mathcal{S}^{p}$-differentiability: The unitary case
本文研究了复可分 Hilbert 空间上酉算子集合的高阶 $\mathcal{S}^{p}$-可微性，证明了函数在酉算子上的 $n$ 次连续 Fréchet 与 Gâteaux 可微性条件，通过多重算子积分给出导数显式表达式，并推导了算子 Taylor 余项的公式与估计。
On equality of the $L^\infty$ norm of the gradient under the Hausdorff and Lebesgue measure
本文证明对于定义在 $\mathbb R^n$ 开子集上的函数，其梯度在 $k$ 维 Hausdorff 测度下的 $L^\infty$ 范数等于在 $n$ 维 Lebesgue 测度下的范数，并推出 Sobolev 空间 $W^{1,\infty}$ 中的收敛保持处处可微性。
Paraproducts via $H^\infty$-functional calculus
设$X$是齐型空间，$L$是$L^2(X)$上具有有界全纯谓词演算的扇形算子.我们假设半群$\{e^{-tL}\}_{t>0}$满足Davies-Gaffney估计。在本文中，我们引入了一种新的类型的仿积算子，它是通过与$L$相关的恒等式的某些近似构造的。我们证明了$L^p(X)$和最近发展的Hardy和BMO空间$H^p_L(X)$和$BMO_L(X)$上的各种有界性.在通过卷积算子构造的标准仿积的推广中，我们给出了$L^2(X)$非对角估计作为Calderón-Zygmund核估计的替代。作为应用，我们研究了仿积关于算子$L$的分数幂的可微性。本文的结果对于证明Calderón-Zygmund理论之外的算子的T（1）-定理至关重要，这将是即将发表的论文的主题。
Metric Rigidity in Anchored Sobolev Spaces on Intervals
该研究证明区间上带锚定的Sobolev空间的正单位球的满射等距性等价于可微阶相等，这类等距可延拓为复线性等距序同构，结论也适用于满射相位等距及1<p<∞时的满射范数可加映射。
Orlicz functions that do not satisfy the $Δ_2$-condition and high order Gateaux smoothness in $ h_M(Γ) $
本文证明不满足零点$Δ_2$条件的Orlicz函数可关于某趋于零的正序列满足$Δ_2$条件，并据此构造$h_M$的单向量生成子空间同构于$h_N$，最终确定不可数$Γ$下$h_M(Γ)$上连续bump函数Gateaux可微性的最大阶数。
We study interior $L^p$-regularity theory, also known as Calderon-Zygmund theory, of the equation \[ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{K(x,y)\ (u(x)-u(y))\, (φ(x)-φ(y))}{|x-y|^{n+2s}}\, dx\, dy = \langle f, φ\rangle \quad φ\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n). \] For $s \in (0,1)$, $t \in [s,2s]$, $p \in [2,\infty)$, $K$ an elliptic, symmetric, Hölder continuous kernel, if $f \in \left (H^{t,p'}_{00}(Ω)\right )^\ast$, then the solution $u$ belongs to $H^{2s-t,p}_{loc}(Ω)$ as long as $2s-t < 1$. The increase in differentiability is independent of the Hölder coefficient of $K$. For example, …
On Differentiable Vectors for Representations of Infinite Dimensional Lie Groups
在本文中，我们开发了两种类型的工具来处理的连续表示$π\: G \to \GL(V)$的无限维李群$G$局部凸空间$V$上的向量的可微性。第一类结果涉及光滑向量空间$V^\infty$。如果$G$是一个Banach-李群，我们定义一个拓扑空间$V^\infty$上的光滑向量的$G$在这个空间上的作用是光滑的。如果$V$是Banach空间，则$V^\infty$是Fréchet空间。这特别适用于$C^*$ -动力系统$(\cA,G, α)$，其中$G$是一个Banach-李群。对于酉表示，我们证明了一个向量$v$是光滑的，如果相应的正定函数$\la π(g)v,v\ra$是光滑的。第二类结果涉及标准的$C^k$ -向量的运营商的派生代表的Banach-李群$G$作用于Banach空间$V$。特别是，我们为每个$k \in \N$提供连续酉表示的例子，其中$C^{k+1}$ -向量的空间是平凡的，并且$C^k$ -向量的空间是稠密的。
Exponential laws for weighted function spaces and regularity of weighted mapping groups
设$E$是局部凸空间，$U\subseteq\mathbb{R}^n$和$V\subseteq\mathbb{R}^m$都是开的，且$k,l\in\mathbb{N}_0\cup\left\{\infty\right\}$ . H.Alzaareer最近研究了局部凸空间$C^{k,l}(U\times V,E)$，其中的函数在$U$ -和$V$ -变量中具有不同的可微度，他建立了$C^{k,l}(U\times V,E)\cong C^k(U,C^l(V,E))$形式的指数律。本文对适当的加权$C^{k,l}$ -映射空间建立了一个类似的指数律$C^{k,l}_{\mathcal{W}_1\otimes\mathcal{W}_2}(U\times V,E)\cong C^k_{\mathcal{W}_1}(U,C^l_{\mathcal{W}_2}(V,E))$，对局部紧空间上的加权连续函数空间也建立了类似的指数律.本文的结果是：B.Walter引入的加权映射的李群$C^l_\mathcal{W}(U,H)$是$C^k$ -正则的，对于每个$C^k$ -正则李群$H$，其模化在局部凸空间和适当的权集$\mathcal{W}$上.
Point Feature Descriptor via Directional Partition of Unity on Maps
本文提出一种基于单位分割的平滑方向点描述子，通过完全性和Parseval型恒等式保证渐近单射性，并给出稳定性界，支撑可认证误差的GPS-free地图定位。
Riesz transform, function spaces and their applications on infinite dimensional compact groups
本文在紧致连通群上，通过引入两类Lipschitz空间，利用半群可微性和Riesz变换的L^p有界性，建立了泊松方程解在强与弱意义下的正则性结果。
Noncommutative $L_p$-differentiability and trace formulae
本文研究了非交换 $L_p$-空间中函数的可微性，扩展了高阶迹公式的应用范围。
Functions of unitaries with $\mathcal{S}^p$-perturbations for non continuously differentiable functions
本文研究非连续可微函数的酉算子函数可微性，证明当酉算子差的$p$阶Schatten类$n$次可微时，函数差算子也$n$次可微，给出导数与泰勒余项估计，推广了已有结果。
On best approximation by multivariate ridge functions with applications to generalized translation networks
本文证明了多元脊函数之和逼近 Sobolev 函数的精确上下界，将单变量结果推广至多元情形，并据此给出了广义平移网络与复值神经网络逼近 Sobolev 函数的精确渐近界限。
A Gaussian Convexity for Logarithmic Moment Generating Functions with Applications in Spin Glasses
本文证明了对数矩生成函数关于参数λ的凸性，并由此改进了高斯凸函数的下偏差不等式，给出了SK自旋玻璃模型中DFM猜想的定量界，并证明了负副本退火自由能的可微性。
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