无穿孔曲面的 $\mathfrak{sl}_3$ 线丛代数与簇代数
Skein and cluster algebras of unpunctured surfaces for $\mathfrak{sl}_3$
AI总结：
本文针对无穿孔标记曲面，构造了量子化装饰 $SL_3$-局部系统模空间的量子簇代数，证明其包含边界局部化线丛代数为子代数，并提供算法计算 $\mathfrak{sl}_3$-网的 Laurent 正展式。
摘要：
对于无穿孔标记曲面 $Σ$，我们考虑一个线丛代数 $\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}$，它由 $Σ$ 上的 $\mathfrak{sl}_3$-网构成，并在标记点处满足边界线丛关系。我们在分式除环 $\mathrm{Frac}\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}$ 内部构造了一个量子簇代数 $\mathscr{A}^q_{\mathfrak{sl}_3,Σ}$，它对 $Σ$ 上装饰 $SL_3$-局部系统的模空间 $\mathcal{A}_{SL_3,Σ}$ 上的簇 $K_2$-结构进行了量子化。我们证明簇代数 $\mathscr{A}^q_{\mathfrak{sl}_3,Σ}$ 包含边界局部化线丛代数 $\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}[\partial^{-1}]$ 作为子代数，且它们的自然结构（如分度和某些群作用）相互一致。我们还给出了一个算法，用于计算给定 $\mathfrak{sl}_3$-网在特定簇中的 Laurent 展式，并讨论了系数的正性。特别地，我们证明了 $Σ$ 中沿定向简单闭曲线的手镯和手环具有正系数的 Laurent 展式，从而产生量子 GS-普遍正 Laurent 多项式。
英文摘要：
For an unpunctured marked surface $Σ$, we consider a skein algebra $\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}$ consisting of $\mathfrak{sl}_3$-webs on $Σ$ with the boundary skein relations at marked points. We construct a quantum cluster algebra $\mathscr{A}^q_{\mathfrak{sl}_3,Σ}$ inside the skew-field $\mathrm{Frac}\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}$ of fractions, which quantizes the cluster $K_2$-structure on the moduli space $\mathcal{A}_{SL_3,Σ}$ of decorated $SL_3$-local systems on $Σ$. We show that the cluster algebra $\mathscr{A}^q_{\mathfrak{sl}_3,Σ}$ contains the boundary-localized skein algebra $\mathscr{S}_{\mathfrak{sl}_{3},Σ}^{q}[\partial^{-1}]$ as a subalgebra, and their natural structures, such as gradings and certain group actions, agree with each other. We also give an algorithm to compute the Laurent expressions of a given $\mathfrak{sl}_3$-web in certain clusters and discuss the positivity of coefficients. In particular, we show that the bracelets and the bangles along an oriented simple loop in $Σ$ have Laurent expressions with positive coefficients, hence give rise to quantum GS-universally positive Laurent polynomials.
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