Upward Partitioned Book Embeddings
我们分析了一个有向变化的书嵌入问题时，预先指定的页面分区和脊柱上的节点必须在拓扑顺序（向上的书嵌入）。给定一个有向无环图，并将其边划分为$k$页，我们是否可以对顶点进行线性排序，使得绘图是向上的（拓扑排序），并且每个页都避免交叉？我们证明了这个问题是NP完全的$k\ge 3$，和$k\ge 4$，即使在特殊情况下，当每个页面是一个匹配。相比之下，当页面被限制为匹配时，对于$k=2$页面，该问题可以在线性时间内解决。这个问题来自Jack Edmonds（1997），其动机是从计算折纸中推广地图折叠问题。
2017-08-22 cs.CC cs.CG
Upward-Planar Drawings with Bounded Span
John Cabot University（约翰卡伯特大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）；Roma III（罗马三大学）；Trier University（特里尔大学）；University of Passau（帕绍大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）
研究向上平面有向图的跨度问题，给出有向树和连通单源图的NP难性结果，并为具有有限源数的图族提供高效算法。
2026-05-01 cs.CG cs.DS
Upward Book Embeddings of st-Graphs
我们研究$k$ -页向上的书嵌入（$k$ UBE）的$st$ -图，即，书嵌入的单源单汇有向无环图的$k$页面的额外要求，即图的顶点出现在一个拓扑顺序沿脊柱的书。证明了对$k\geq 3$，检验一个图是否存在$k$ UBE是NP完全的.以前只知道$k = 6$的硬度结果[Heath和Pemmaraju，1999]。受此负面结果的启发，我们将注意力集中在$k=2$上。在算法方面，我们提出了多项式时间的算法来测试存在的$2$ UBE的平面$st$ -图的分支宽度$β$和平面$st$ -图的面有一个特殊的结构。这些算法分别以$O(f(β)\cdot n+n^3)$时间和$O(n)$时间运行，其中$f$是$β$上的单指数函数。此外，在组合方面，我们提出了两个显着的家庭的平面$st$ -图，总是承认一个嵌入保持$2$ UBE。
2019-03-19 cs.CG cs.DS
Monotone Simultaneous Embedding of Directed Paths
研究了平面向上有向图的单调同时嵌入问题，即每个有向图的图都是平面向上的，且不同图的向上方向不同的同时嵌入问题.我们首先考虑有向图是有向路的特殊情况，与已知的两条有向路同时单调嵌入的结果相反，存在三条路不同时单调嵌入的例子。我们证明，如果单调同时嵌入的三条路径存在，那么它也存在任何可能的选择方向的单调性。我们提供了一个多项式时间算法，给定三条路径，决定是否存在单调同时嵌入，并在存在的情况下，也构造这样的嵌入。另一方面，我们已经证明了对于三条路径，任何单调的同时嵌入可能需要一个指数网格（w.r.t.顶点的数目）大小。对于三个以上的路径，我们提出了一个多项式时间算法，给定任何数量的路径和预定义的方向的单调性，决定是否承认的路径单调同时嵌入相对于给定的方向，包括建设的解决方案，如果它存在。此外，我们展示了我们的结果对一般向上平面有向图的单调同时嵌入的几个影响。最后，我们讨论与我们的问题相关的复杂性问题。
2014-02-28 cs.CG cs.DS
Upward Pointset Embeddings of Planar st-Graphs
本文研究平面 st-图的上向点集嵌入问题，证明一般情形下存在性检验是 NP-完全的，并对有界 st-割集的图给出多项式时间检验与枚举算法，同时刻画了环状 st-图存在上向点集嵌入的充要条件。
2025-01-03 cs.CG cs.DM cs.DS
How to Fit a Tree in a Box
我们研究树的紧直线嵌入。我们发现，完美的二叉树可以嵌入最佳：一棵树与$n$节点可以绘制在一个$\sqrt n$由$\sqrt n$网格。我们还表明，测试一个给定的二叉树是否有一个向上嵌入与给定的组合嵌入在一个给定的网格是NP-难的。
2018-08-31 cs.CG
Upward Planar Drawings with Three and More Slopes
图形$G$的斜率数是表示$G$的任何直线图形中的边的线段所需的最小斜率数。它作为图形绘制的视觉复杂性的度量。在平面和非平面环境中，已经建立了几个特定图形类的斜率数的界限。此外，也可以为有向图和向上平面图定义斜率数。我们研究只使用常数斜率的向上平面直线绘图。特别是，对于一个固定数量的$k$的斜坡，我们感兴趣的是，是否一个给定的有向图$G$与最大的在和出度最多$k$承认一个向上的平面$k$ -斜坡绘图。我们调查这个问题，在固定和可变嵌入的情况下。我们证明了这个问题对于外平面图（$k = 3$）和平面图（$k \ge 3$）是NP-难判定的。在积极的一面，我们可以决定是否一个给定的仙人掌图允许向上的平面$k$ -斜坡图，并在肯定的情况下，构造这样一个图在FPT时间与参数$k$。此外，我们可以确定线性时间内给定树所需的最小斜率数，并有效地计算相应的绘图。
2022-10-12 cs.CG
Improved Upper and Lower Bounds for LR Drawings of Binary Trees
在SODA'99中，Chan介绍了一种简单的二叉树平面直线向上保序绘图，称为LR绘图：这种绘图是通过选择根到叶的路径，将路径绘制为直线，并沿着路径递归地绘制子树来获得的。Chan证明了任何具有$n$节点的二叉树都允许LR绘图具有$O(n^{0.48})$宽度。在SODA'17中，Frati、Patrignani和Roselli证明了存在$n$ -节点二叉树族，其中任何LR图都具有$Ω(n^{0.418})$宽度。本文将Chan的上界改进为$O(n^{0.437})$和Frati等人的上界.是$Ω(n^{0.429})$的下限。
2020-08-22 cs.CG
On a Tree and a Path with no Geometric Simultaneous Embedding
两个图$G_1=(V,E_1)$和$G_2=(V,E_2)$允许几何同时嵌入，如果存在一组点P和一个双射M：P -> V，它们诱导$G_1$和$G_2$的平面直线嵌入。虽然它是已知的，两个毛毛虫总是承认一个几何同时嵌入，两棵树并不总是承认一个，关于树和路径的问题仍然是开放的，往往被认为是最突出的开放问题在这方面。我们通过提供一个反例来否定地回答这个问题。此外，由于反例使用两个图的不相交的边集，我们还否定地回答了另一个开放的问题，即是否有可能同时嵌入两个边不相交的树。作为最后的结果，我们研究了同样的问题时，对树施加一些限制。也就是说，我们表明，树的深度2和路径总是承认几何同时嵌入。事实上，这样一个强约束并没有缩小与不允许任何解的实例之间的差距，因为我们的反例中使用的树的深度为4。
2010-01-04 cs.CG
Trapezoidal Diagrams, Upward Triangulations, and Prime Catalan Numbers
d维卡塔兰数形成了一个著名的数列，它可以计算大小为d的字母表上的平衡括号表达式。在本文中，我们介绍和研究我们所说的d维素加泰罗尼亚数，一个数字序列，只计数一个非常具体的子集的不可分解的平衡括号表达式。我们进一步介绍的概念，梯形图的交叉自由的几何图，如三角剖分或交叉自由完美匹配。本质上，这样的图是通过用梯形分解来扩充所讨论的几何图，然后忘记各个顶点的精确坐标，同时保留顶点和线段之间的垂直可见性关系来获得的。我们注意到三角剖分的梯形图与抽象的向上三角剖分密切相关。我们研究了（i）完美匹配和（ii）三角剖分情况下的图数。我们给双射的证明，建立与3维（素）Catalan数的关系。这使我们能够精确地确定相应的指数增长率为（i）5.196^n和（ii）23.459^n（基数四舍五入到小数点后3位）。最后，我们给出了梯形图在任意给定点集上的最大嵌入数的下界。
2016-02-26 cs.CG math.CO
On L-shaped point set embeddings of trees: first non-embeddable examples
树在点集中的L形嵌入是树的平面图，其中顶点被映射到不同的点，并且每个边被绘制为两个轴对齐的线段的序列。有相当多的工作建立上界的最小基数的点集，以保证任何树的相同大小的最大程度4承认一个L形嵌入的点集。然而，到目前为止，还没有已知的非平凡下限，即，没有已知的$n$顶点树需要多于$n$的点被嵌入。在本文中，我们提出了第一个例子的$n$ -顶点树$n\in\{13,14,16,17,18,19,20\}$，需要严格更多的点比顶点承认一个L形嵌入。此外，使用计算机的帮助下，我们证明了每棵树上的$n\leq 12$顶点承认一个L形嵌入在每一组$n$点。我们还考虑嵌入有序树，其中每个顶点的邻居在嵌入的循环顺序是规定的。对于这种设置，我们确定最小的不可嵌入的有序树$n=10$顶点，我们表明，每一个有序树$n\leq 9$或$n=11$顶点承认一个L形嵌入在每一组$n$点。我们还构建了一个无限家庭的有序树并不总是承认一个L形嵌入，回答了一个问题提出的Biedl，陈，Derka，Jain，和Lubiw。
2020-04-29 cs.CG math.CO
A pair of trees without a simultaneous geometric embedding in the plane
任何平面图在平面内都有一条不相交的直线。两个n-顶点图的同时几何嵌入是两个图在一个公共的n个点的集合上的直线绘制，使得每个单独的图内的边不交叉。我们考虑同时嵌入两个标记的树，与预先描述的顶点对应，并提出了这样一个对不能嵌入的实例。此外，我们提供了一个平面图的例子，不能嵌入在一起的路径时，顶点对应。
2005-11-01 cs.CG
Clan Embeddings into Trees, and Low Treewidth Graphs
在低失真度量嵌入中，目标是将主机“硬”度量空间嵌入到“简单”目标空间中，同时近似保持成对距离。一个非常理想的目标空间是树度量的目标空间。不幸的是，这样的嵌入将导致巨大的失真。一个著名的旁路这个问题是随机嵌入对数预期失真。另一种绕过方法是Ramsey类型的嵌入，其中失真保证仅适用于点的子集。然而，这两种解决方案都未能提供嵌入到单个树中，并在所有对上保证最坏情况下的失真。在本文中，我们提出了一种新的第三旁路称为\emph{clan embedding}。这里，每个点$x$被映射到点$f(x)$的子集，称为\emph{clan}，具有特殊的\emph{chief}点$χ(x)\in f(x)$。如果对于每一对$(x,y)$，$y$族中的某个拷贝$y'\in f(y)$接近$x$族的主族：$\min_{y'\in f(y)}d(y',χ(x))\le t\cdot d(x,y)$，则族嵌入具有乘性失真$t$。我们的第一个结果是一个家族嵌入到一棵树与乘法失真$O(\frac{\log n}ε)$，使每个点有$1+ε$副本（在预期）。此外，我们提供了一个“跨越”的版本，这个定理的图形，并使用它来设计第一个紧凑的路由方案与恒定大小的路由表。然后，我们专注于小的自由图的直径prameterized $D$，这是已知的随机嵌入到有界树宽图与预期的附加失真$εD$。我们设计了随机嵌入的Ramsey型嵌…
2021-04-15 cs.CG cs.DS
Embedding a balanced binary tree on a bounded point set
给定一个具有n个顶点的无向平面图G和一个位于简单多边形P内的n个点的集合S，G在S上的点集嵌入是G的一个平面图，使得每个顶点映射到S的一个不同点，并且边是由P包围的多边形链。本文给出了一个新的算法，它在O（m^2 + n（log n）^2 + mn）时间内把一个n点平衡二叉树BBT嵌入到一个由m边形P围成的n点集S上，每条边最多有O（m）次弯曲.
2013-10-21 cs.CG cs.DS
Euclidean Greedy Drawings of Trees
贪婪嵌入（或抽取）是无线传感器网络中一种简单有效的消息路由策略。对于贪婪嵌入中的每个源-目的节点对s，t，根据某个距离度量，总有s的邻居u更接近t。对于某些图类，如3连通平面图，在欧几里得平面R^2上存在贪婪嵌入是已知的。我们完全刻画了在R^2中允许贪婪嵌入的树。这回答了Angelini等人（Graph Drawing 2009）提出的一个问题，并且是表征允许欧几里得贪婪嵌入的图的进一步步骤。
2013-06-21 cs.CG
Complexity of Planar Embeddability of Trees inside Simple Polygons
图在平面点集上的几何嵌入是一个众所周知的问题。在本文中，这一问题的一个变种，其中点集是由一个简单的多边形，被认为是复杂的。给定一个由简单多边形和一棵自由树包围的平面上的点集，证明了判定树在简单多边形内的点集上是否有平面直线嵌入是NP完全的.这意味着树的直线约束点集嵌入也是NP-完全的，这在[8]中是一个公开问题。
2009-08-27 cs.CC cs.CG
Peeling Half the Onion: Embedding $k$-Outerplanar Graphs into $\ell_1$ and Trees with a Polynomial Distortion (in $k$)
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文提出新洋葱剥皮法，将k-外平面图每次剥去k/2层，首次得到其到树与ℓ₁空间的poly(k)失真嵌入，较此前指数级失真界有指数改进，更接近k-外平面图的失真下界Ω(k)。
2026-10-09 cs.CG cs.DS
Dynamic Planar Embeddings of Dynamic Graphs
本文提出了一个支持动态图平面嵌入的算法。一条边可以在面边界上的两个顶点之间插入（我们称这样的顶点对为顶点对），边可以被删除。平面嵌入也可以通过翻转最多两个顶点连接到图的其余部分的组件来局部改变。给定顶点$u,v$，嵌入器$(u,v)$决定$u$和$v$是否在当前嵌入中被嵌入，并且如果是，则返回用于嵌入中的$(u,v)$的放置的建议的列表。对于非翻转顶点$u,v$，我们定义了一个新的查询，一个翻转-翻转$(u,v)$，提供一个翻转的建议，如果存在的话，将使它们成为翻转。我们支持O（log $^2 n$）时间的所有更新和查询。我们的时间界限匹配Italiano等人。静态（无翻转）嵌入的动态图。利用连通平面图的生成树的补图是其对偶图的生成树的思想，提出了一种新的算法。原始树和对偶树被解释为具有相同的欧拉之旅，新算法的主要思想是通过它们的共同欧拉之旅在两棵树上的顶树之间进行优雅的交互。
2017-04-03 cs.CG cs.DS
A Surprisingly Simple Method for Distributed Euclidean-Minimum Spanning Tree / Single Linkage Dendrogram Construction from High Dimensional Embeddings via Distance Decomposition
提出一种基于距离分解的分布式方法，用于高维嵌入的精确欧几里得最小生成树和单链接树状图构建，解决了神经网络高维聚类中低维算法失效的问题。
2024-06-03 cs.CG cs.DC cs.DS
